ジェネレーターのソースを表示

{{interwiki
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{{上級者向け|ジェネレーターとピリオド}}
'''ジェネレーター'''（generator）は群論の用語で'''生成元'''といい、それを繰り返し積み重ねることで音律あるいは音階の音高を生成する音程である。

[[MOSスケール]]の場合、ひとつのジェネレーターを積み重ねて[[ピリオド]]という音程を基準に単音程化する（＝法として剰余を取る）ことでピリオドの範囲内のMOSスケールを構成する。（※剰余群のように説明しましたが、RTTとの整合性の面ではピリオドも生成集合に含めてランク2の自由アーベル群だと考えることをおすすめします。）ピリオドとジェネレーターがMOSを定義する2つの音程である。例えば:
* [[5L 2s|ダイアトニック]]（LLLsLLs）は、完全5度がジェネレーターで、主音から上方向に 6 回5度を積み重ねて単音程化するとLLLsLLs（リディア旋法）を得る。なお、完全4度や完全12度をジェネレーターとして説明することもできる。
* [[2L 8s|jaric]]（ssLssssLss）は、完全5度（~3/2）がジェネレーターで、半オクターブがピリオドである。

== 数学的定義 ==
ある群の'''生成集合'''（generating set）または'''生成系'''とは、その群の元の部分集合であり、どんな{{w|真部分群}}の部分集合になることもないものをいう（この条件さえ満たせば元の群を生成できる？）。生成集合が有限集合にな（れ）るなら、その群は有限生成となる。その群が{{w|アーベル群}}でもあるなら、{{w|有限生成アーベル群}}という。生成集合の要素を生成元という。例えば、{2, 3} は 2.3.5 サブグループの真部分群である 2.3 サブグループに含まれるので 2.3.5 サブグループの生成集合ではないし、{2, 9} は 2.3 サブグループの真部分群である 2.9 サブグループに含まれるので 2.3 サブグループの生成集合ではない。See: [[純正律サブグループ #群の指数]]

'''最小生成集合'''（minimal generating set）は、生成集合であってその中に「冗長な」あるいは「不要な」生成元がないものをいう。[[純正律サブグループ]]や[[レギュラーテンペラメント]]のような{{w|自由アーベル群}}においては、この概念は[[基底]]{{Wikilink|基底 (線型代数学)}}と同じものになる。例えば、{2, 3, 5} と {2, 3, 5/3} は 2.3.5 サブグループの基底になれる。しかし、{2, 3, 5, 15} は基底ではない。15 = 3 × 5 であるから、集合が生成集合であることを保ったまま 15 を取り除くことができる。

群の演算を加法的に書くことにすると、<math>\lbrace g_1, g_2, \ldots g_k \rbrace</math> を生成集合とした場合、群の任意の要素 <math>g</math> は以下のように書ける:

<math>g = n_1 g_1 + n_2 g_2 + \ldots + n_k g_k</math>

ここで各 <math>n_i</math> は整数である。群の演算を乗法的に書くことにすると、

<math>g = {g_1}^{n_1} {g_2}^{n_2} \ldots {g_k}^{n_k}</math>

となる。

=== 音楽との関係 ===
重要な例がレギュラーテンペラメントによりもたらされる。テンペラメントの特定のチューニングを加法的に表現するとき、生成元は[[セント]]値で表される音程であり、乗法的に表現するとき、[[周波数比]]で表される音程である。純正律サブグループなら、基底を構成する生成元は正の有理数であるが、典型的には指定された素数リミットまでの範囲の素数である。抽象的レギュラーテンペラメントの生成元を求めようとするときにこの2つの例が出会う。

=== 慣習 ===
ランク2以上の系において、ジェネレーターはピリオドに対立するものと位置づけられる。具体的には、最初のジェネレーター（※順序付けられた基底）がピリオドと呼ばれ、残りがジェネレーターと呼ばれる。

純正律サブグループと[[マッピング]]行列の[[標準形]]というさらなる慣習と組み合わさることにより、多くのテンペラメントにおいてオクターブまたはその整数分の1がピリオドとなる。しかしながら、これはそのテンペラメントから非オクターブな音階を作成したり、テンペラメントを異なる基底に基づいて表現したりすることを妨げるものではない。

== 関連項目 ==
* [[Wikipedia: 群の生成系]]