標準形のソースを表示

{{interwiki
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| en = Normal forms
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| ja = 標準形
}}
[[レギュラーテンペラメント]]は複数の等価な[[マッピング]]行列（ヴァルのリスト）あるいは[[コンマ基底]]（音程リスト…音程がコンマのことだとは）で表されるが、等価なそれらの中から一つを選ぶ方法を確立できれば、それを一意な識別子として使える――テンペラメントをカタログ化したり見つけたテンペラメントと既知のものを比較したりする際に役立つ。あらゆる等価なリスト（行列や基底のこと）を唯一のリストに絞り込む（変形する）完全なルールを'''標準形'''（normal form）といい、テンペラメントを一意に識別するリストを'''標準リスト'''（normal list）ともいう。マッピングに関するものは'''normal val list'''、コンマ基底に関するものは'''標準音程リスト'''という。

複数の標準形が開発されたため、各テンペラメントは複数の異なる標準形を持っている。標準形の定義には重なる部分があるため、テンペラメントによっては別々の標準形が同じリストになることがある。

== エルミート標準形 ==
{{wikipedia|エルミート標準形}}
'''エルミート標準形'''（Hermite normal form, HNF）は、線形代数の分野において整数行列の標準形として重要なものである。整数行列は単純に整数の2次元配列で、ヴァルのリストやコンマのリストを行列として扱うことでHNFが大活躍する。

エルミート標準形は一意である。それに加えて、それは{{w|行簡約階段形|}}の整数による類似物といえる。行階段形の一種であるため、ガウスの消去法による求解に利用できる。

HNFにはいくつかのわずかに異なる定義があり、プログラムや数学ライブラリを使う際には、同じ結果が得られるように注意する必要がある。以下に示すウィキペディアによる定義がたぶんもっとも標準的である。

（WIP）

== マッピングの標準形 ==
=== Defactoredエルミート標準形 ===
"'''defactored Hermite form'''"は"'''canonical form'''"（訳さないほうがいいかも）とも言い、{{en仮リンク|Dave Keenan}}と{{en仮リンク|Douglas Blumeyer}}により開発された。テンペラメントの正規化としてマッピングの[[defactoring]]を必須としたエルミート標準形である。

（WIP）

=== 正ジェネレーター標準形（仮） ===
（WIP）

== コンマ基底の標準形 ==
抽象的なレギュラーテンペラメント、つまり素数のマッピングが明らかになっているがジェネレーターの大きさ（チューニング）が指定されていない状況は、その{{w|零空間|核}}つまり 1/1 にマップされる純正音程の群で特徴づけられる。なのでこの核空間を特定するのに基底（commas（複数形）、unison vectors）の正規形を定めればよい。マッピングの標準形に類似したものをこのコンマのリストに対して定義できる。defactoredエルミート標準形や正何々標準形の発想をそのまま転用できる。ただし、"minimal"という語をその名に含んだ標準形は、全く異なるコンセプトに基づく。（WIP）

=== Minimal form ===
'''Minimal form'''あるいは''reduced form''は基底がなるべく簡単な純正音程になるようにするものである。簡単さは{{en仮リンク|テニー高さ|Tenney height}}などに基づいて評価される。そのため厳密には''Tenney-minimal form''などと呼ぶことになる。これの有用さは明らかであるが、不運なことに、これを求めることはNP困難問題である''shortest basis problem''と同じことである。[https://ja.wikipedia.org/w/index.php?search=LLL%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%82%BA%E3%83%A0&title=%E7%89%B9%E5%88%A5%3A%E6%A4%9C%E7%B4%A2 LLLアルゴリズム]が良い近似を与える。あるいは、手計算で経験的に処理される（なら一意性の保証はないが、まあそれでも簡単な分数が優先されることの利便性は大きい）

'''Note:''' テンペラメントのデータのページにある"comma lists"はこの形式が使われる。

=== Antitransposed defactoredエルミート標準形 ===
（WIP）