モンゾと音程空間のソースを表示

{{interwiki
| de = Intervallraum
| en = Monzos and interval space
| es = 
| ja = モンゾと音程空間
}}
{{上級者向け|モンゾ}}
このページでは'''モンゾ'''の正式な数学的定義を与え、また'''音程空間'''との関連も示す。

==定義==
''p''-[[リミット]]の有理数 ''q'' は定義より ''p'' 以下の素数の積に分解でき、以下のように表せる。

:<math>\displaystyle q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotsm p^{e_p}</math>

ただし指数は整数である。

これはしばしばケットベクトル（詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95 Wikipedia – ブラ-ケット記法]を参照のこと）を模した表記を用いて、

:<math>\displaystyle |e_2 \, e_3 \, e_5 \ldots e_p \rangle</math>

のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、{{en仮リンク|ジョセフ・モンゾ|Joseph Monzo}}の情熱的な支援にちなんでいる。

モンゾの{{en仮リンク|テニー高さ|Tenney height}}は以下のように与えられる。

:<math>\displaystyle \| |e_2 \, e_3 \ldots e_p \rangle \| = |e_2| + |e_3| \log_2 3 + \dotsb + |e_p| \log_2 p</math>

これはベクトル空間のノルムである。よって写像 <math>M:monzos \rightarrow I </math> によって ''p''-リミットモンゾを次元 <math>n = \pi(p)</math> のノルム線型空間 <math>I</math> に埋め込むことができる。ただし <math>\pi(x)</math> は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E8%A8%88%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0 素数計数関数]。この埋め込みの下、モンゾは格子を定義する。この格子は有限次元実ノルム線型空間 <math>I</math> を張る <math>I</math> の離散部分群である。

素数 ''k'' に対応する座標 ''e''<sub>''k''</sub> に log<sub>2</sub> ''k'' を乗じて座標を変換すると、このノルムは通常の ''L''<sup>1</sup>-ノルムとなる（詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 Wikipedia – ''L''<sup>''p''</sup> 空間#有限次元における ''p''-ノルム]を参照。）このベクトル空間はテニー音程空間であり、この通常の ''L''<sup>1</sup>-ノルムによって変換された座標がテニー空間の標準基底を構成する。
ここで、モンゾはある正の実数（モンゾの場合は常に有理数）と一対一で対応するが、テニー空間のベクトルはそうではないことに注意。例えば、{{monzo| 1 0 }} は周波数比 2 を表すが、{{monzo|0 log<sub>3</sub> 2}} も同様に 2 を表す。

ユークリッドノルムは数学的な利点を持つため、よく ''L''<sup>1</sup>-ノルムの代わりに音程空間のベクトルに対して適用される。この場合、テニー音程空間の代わりに{{en仮リンク|テニー-ユークリッド音程空間|Tenney-Euclidean metrics}}が得られる。明示的にモンゾ {{monzo | ''e''<sub>2</sub> ''e''<sub>3</sub> … ''e''<sub>''p''</sub>}} をとったとき、そのテニー-ユークリッドノルム(またはTEノルム)は以下のようになる。

:<math>\displaystyle \sqrt{e_2^2 + (e_3 \log_2 3)^2 + \dotsb + (e_p \log_2 p)^2}</math>

そして、座標が重み付けられた音程空間の座標ならば、そのTEノルムは標準ユークリッドノルム、または [https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 ''L''<sup>2</sup>-ノルム]となる。

==別の定義==

''q'' を有理数とすると、以下に示す定義によって ''q'' をモンゾ形式に書き換えることができる。

:<math>\displaystyle q = |v_2 (q) \, v_3 (q) \, v_5 (q) \ldots v_p (q) \rangle</math>

このモンゾのTenney高さは以下のように与えられる。

:<math>\displaystyle \| |v_2 (q) \, v_3 (q) \ldots v_p (q) \rangle \| = |v_2 (q)| + |v_3 (q)| \log_2 3 + \dotsb + |v_p (q)| \log_2 p</math>

ただし、<math>v_p(q)</math> は ''q'' の [https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E4%BB%98%E5%80%A4 ''p'' 進付値]である。

==例==

5-リミットの音程 {{en仮リンク|16/15|16/15}} は 2<sup>4</sup>×3<sup>-1</sup>×5<sup>-1</sup> と分解され、モンゾでは {{monzo|4 -1 -1}} となる。重み付き座標の場合、{{monzo|4 -log<sub>2</sub> 3 -log<sub>2</sub> 5}} となり、近似値では {{monzo|4 -1.585 -2.322}} となる。

したがってTEノルムは

:<math>\displaystyle \sqrt{4^2 + (\log_2 3)^2 + (\log_2 5)^2} ≅ \sqrt{23.903} ≅ 4.889</math>

となる。

==関連項目==
* {{en仮リンク|分数モンゾ|Fractional monzo}}
* [[ヴァルと調律空間]]

==脚注==
<references />