レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメントのソースを表示

{{interwiki
| de = Verallgemeinerte reguläre Temperatur
| en = Mathematical theory of regular temperaments
| es = 
| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
}}
{{上級者向け|レギュラーテンペラメント}}

'''レギュラーテンペラメント'''は音律同士の{{w|群準同型|群準同型}}である。ここでいう音律は音程を元とする集合によって生成されるアーベル群を言う。定義域は大抵の場合[[純正律部分群]]で、値域は[[マップされた音程|テンパーされた音程]]のなす空間とされる。

'''テンパー'''は恣意的な写像を用いて一つ以上のコンマを単位元であるユニゾンと同一視することであり、[[テンパーアウト]]は音程がユニゾンによって同一視されている状態を言う。加えて、テンパーによって2つの異なる音程が同じテンパーされた音程に同一視されることがあり、これを''tempered together''<sup>[定訳なし]</sup>という。

レギュラーテンペラメントの大きな有用性としては、協和音程からなり、純正律から大胆に簡略化された音階を生成できることにあることと、同一視される音程を増やすことによって、ある種の多義性（ポリセミー）を与えられることである。多義性の具体例としては、[[12平均律]]のサブセットであるホールトーンスケールにおいて、2つの増三和音(augコード)の合成、全音の堆積と言った文脈を扱えること、長六度を足した減三和音(m6b5やdim6コード)・減七の和音(dim7コード)・短三度堆積和音などがそれぞれ同一なコードとして扱えることが挙げられる。これらは12平均律が[[ピタゴラスコンマ]]や[[シントニックコンマ]]、[[ディエシス]]などを同時にテンパーしていることによって成立していると考えることができる。

7-limit純正律の音程は7までの素因数の軸で表される4次元で考えられ、全ての音程は4次元座標で扱われる。何かしらコンマがテンパーアウトされることにより次元が減らされ、値域の元における全ての音程は1～3次元座標で扱われる。テンパー後の次元数はテンパーアウトされたコンマの数に依存する。そしてテンペラメントのランクはテンパー後の音律の次元数に等しい。

具体例として、[[セプティマルミーントーン]]テンペラメントを関数 M: J→K とすると、M(6/5) = M(32/27) = "短三度" である。2つの純正音程の差（周波数比）である 81/80（[[シントニックコンマ]]）はテンパーアウトされている。すなわち M(81/80) = M(1/1) = "ユニゾン" である。

各レギュラーテンペラメントは抽象的な構造で、正確な調律について扱うものではない。任意のテンペラメントに対して調律の最適性を求めることはできる一方で、最適性の尺度は多く存在するため、一般にテンペラメントは{{En仮リンク|可能な調律範囲|Tuning ranges of regular temperaments}}を持つものであると考えられる。ジェネレーターの調律が与えられると、値域の音律はジェネレーターの整数係数線形結合で閉じている。この性質がテンペラメントをレギュラーたらしめている。

== 次元数、またはランク ==
特定の調律（つまり周波数比決定済み）におけるランク-''r'' レギュラーテンペラメントはおそらく、与えられた ''r'' 個の乗法的に独立した実数により定義されるだろう。それら実数を掛け合わせることでそのテンペラメントの音程が生成できる。ランク-''r'' テンペラメントは ''r'' 個のジェネレーターにより定義され、従って ''r'' 行(個)の[[ヴァル]]である。抽象的レギュラーテンペラメントは、様々な方法により定義される。例えば、テンペラメントにおけるテンパーアウトされるコンマのセットで与えることで定義されたり、テンペラメントの[[マッピング]]を定義する ''r'' 行のヴァルを与えるというやり方だったりする。テンパーアウトされたコンマをもつテンペラメントの特徴は、コンマポンプである。和声的に関連する音符やコードのシーケンスにより、開始地点に戻る。それらは純正律では不可能なことである。例としては、ミーントーンテンペラメントの I-vii-IV-ii-V-I である。

=== ランク1テンペラメント (平均律) ===
[[平均律]] (ET or tET) と [[オクターブ平均律|オクターブの均等な分割]] (edo or ed2) は似た概念であるが、用語の使われ方が異なる。''p''-リミット平均律は、単純にジェネレーターが1種類しかない ''p''-リミットテンペラメント、つまりランク1テンペラメントであって、''p''-リミット純正音程を1次元座標を用いてマップする。このようにETという用語はオクターブなど何らかの音程を等分割するということに縛られず、実際に純オクターブを等分割するものではないETが多数開発されている。他方で、''n''-edoは、オクターブを ''n'' 個に等分したものであって、純正音程からのマッピングを考慮していないものである。edoはマッピングの出力に位置づけることでETとして扱える。それは典型的にはedoに支持<sup>(広義)</sup>されるテンペラメントのヴァルを使ってであるが、おもしろい結果を得るためにそれ以外のヴァルを使うこともできる。慣れ親しんだ12平均律（edoとETを区別せずこのように呼ぶこととする）は完全5度（約 701.955 セント）のサイズをピタゴラスコンマの 1/12 だけ短縮することによって 700.0 セントの5度を得る。ほかにも12etに支持<sup>(狭義?)</sup>されるテンペラメントがある。

=== ランク2テンペラメント ===
''p''-リミットランク2テンペラメントは ''p''-リミット純正律のすべての音程を2次元座標を用いてマップする。このためランク2テンペラメントは2種類のジェネレーターを有している。ジェネレーターの大きさは問わない。つまりランク2テンペラメントは 2 行のヴァルからなるマッピングで定義される。それぞれのヴァルがそれぞれのジェネレーターに対応する。大きいほうの（または1番目の）ジェネレーターはピリオド（周期）と呼ばれ（なのでこのマッピングはperiod-generator mappingとも呼ばれる）、ピリオドはたいていオクターブかその整数分の1となる。ピリオドがオクターブの場合は'''linear temperament'''と呼ばれる。ランク2テンペラメントは追加でコンマをテンパーアウトすることによって関係する（それを支持<sup>(狭義)</sup>する）ランク1テンペラメントにすることができる。例えば、5リミットミーントーンテンペラメントはランク2であり（3次元である5リミット純正律から 81/80 をテンパーアウトしたものであり）、追加でピタゴラスコンマをテンパーアウトすることで12etとなる。（RTTに基づきどういうETになるかというのを脇に置いて、ジェネレーターの大きさをEDOに合わせることでそのEDOで演奏できるようになることを指してEDO tuningという言い方をされることもある。）

ランク2とランク3のレギュラーテンペラメントが{{en仮リンク|Optimal patent val}}にカタログ化されている。ランク2テンペラメントはマッピングに基づいて{{en仮リンク|Proposed names for rank 2 temperaments}}に、ジェネレーターのサイズに基づいて{{en仮リンク|Map of rank-2 temperaments}}にリスト化されている。{{en仮リンク|pergen}}も参考のこと。{{en仮リンク|Graham Breed}}の[http://x31eq.com/catalog2.html giant list of regular temperaments]もある。

== レギュラーテンペラメントの特徴づけ ==

=== Normal val lists ===
{{see also|マッピング}}
{{main|標準形 #マッピングの標準形}}

ヴァルのリストが与えられた場合、それを[[飽和、ねじれ、contorsion|saturate]]（マッピングの約分みたいなもの。これができていないとマッピングで出力される音程に対してジェネレーターによる格子が無駄に細かくなり全射ではなくなる）し、エルミート標準形を使って整理しnormal val listにする場合がある。これは抽象的テンペラメントを規範的に表現する。各ヴァルを有理数の音程に適用（慣れていればマッピングとモンゾの行列演算）するとテンペラメントの音程<!-- 基準音を決めてあればnotesでいいけど -->全体を表すアーベル群の要素1つ（つまりテンペラメントの音程）が得られる。例えば、7リミットミラクルを表すマッピングは [{{val| 1 1 3 3 }}, {{val| 0 6 -7 -2 }}] であり、これを 16/15 または 15/14 に適用すると [0 1] （2番目のジェネレーター1個）というテンパード音程になる。

=== Normal comma lists ===
{{see also|コンマ基底}}
{{main|標準形 #コンマ基底の標準形}}

normal comma listによって抽象的テンペラメントが定義される。この方法はnormal val listより明確にテンペラメントの家族関係を示すという利点がある。normal val list以外の方法でテンペラメントを表しテンペラメントの音程を定義することができるということである。

テンパーアウトするコンマのリストでテンペラメントを表す場合、リストはval listと同様にsaturate ([[defactoring]]) しておくほうが良い。

=== Wedgie ===
{{main|{{en仮リンク| Wedgies and multivals }}}}

この手法は{{w|外積代数}}を用いて、抽象的テンペラメントと一意に関連付けられるくさび積を定義する。テンペラメントの音程からなる群は、[[wedgie]]とモンゾの内積によって得られる。

例えば、"∨" を内積を表す記号として、7リミットミラクルを表すwedgieは W = {{multival| 6 -7 -2 -25 -20 15 }} と書ける。内積 W ∨ {{monzo| 1 0 0 0 }} は {{val| 0 -6 7 2 }} となり（1番目のジェネレーターを入れると2番目のジェネレーターのヴァルが出てくる）、15/14 ならば W ∨ {{monzo| -1 1 1 -1 }} は {{val| 1 1 3 3 }} となり、16/15 ならば W ∨ {{monzo| 4 -1 -1 0 }} だがこれもまた {{val| 1 1 3 3 }} となる（2番目のジェネレーターを入れると1番目のジェネレーターのヴァルが出てくる）。ランク1テンペラメントのように説明すると、{{val| 1 1 3 3 }} はミラクルのコンマをテンパーアウトしたのに加えて 15/14 (~16/15) もユニゾンにしてしまった7リミット1etである。内積はmultivalにコンマを追加しランクを1下げる効果がある。<!-- When we do this to a wedgie, we obtain a multival of rank one less, which has all the commas of the wedgie plus an additional comma, the interval we want to represent. -->

<!-- As explained on the [[Interior product #Applications|interior product]] page, if W is the ''r''-wedgie defining the rank-''r'' temperament, then the tuning of a mapping for the temperament can be defined via an (''r'' - 1)-multimonzo V which has the property that for every JI interval ''q'', the tempered value of ''q'' is given by the dot product (W∨''q'')·V. -->


=== Frobenius projection matrix ===
{{main|{{en仮リンク| Tenney-Euclidean Tuning #Frobenius tuning and Frobenius projection matrix }}}}

[[Projection matrix]]はランクを落としつつ元のJI空間（指数に非整数も許したもの({{en仮リンク|分数モンゾ|fractional monzo}})）に写像する行列である。これ自体は一意性はないが、{{w|ムーア・ペンローズ逆行列}}を使うなどすることで抽象的テンペラメントごとに一意のFrobenius projection matrixが得られる。これはまたFrobenius tuningを導く。

（後略）