標準形のソースを表示

{{interwiki
| de = 
| en = Normal forms
| es = 
| ja = 標準形
}}
[[レギュラーテンペラメント]]は複数の等価な[[マッピング]]行列（ヴァルのリスト）あるいは[[コンマ基底]]（音程リスト…音程がコンマのことだとは）で表されるが、等価なそれらの中から一つを選ぶ方法を確立できれば、それを一意な識別子として使える――テンペラメントをカタログ化したり見つけたテンペラメントと既知のものを比較したりする際に役立つ。あらゆる等価なリスト（行列や基底のこと）を唯一のリストに絞り込む（変形する）完全なルールを'''標準形'''（normal form）といい、テンペラメントを一意に識別するリストを'''標準リスト'''（normal list）ともいう。マッピングに関するものは'''normal val list'''、コンマ基底に関するものは'''標準音程リスト'''という。

複数の標準形が開発されたため、各テンペラメントは複数の異なる標準形を持っている。標準形の定義には重なる部分があるため、テンペラメントによっては複数の標準形が同じ内容のリストになることがある。

== エルミート標準形 ==
{{wikipedia|エルミート標準形}}
'''エルミート標準形'''（Hermite normal form, HNF）は、線形代数の分野において整数行列の標準形として重要なものである。整数行列は単純に整数の2次元配列で、ヴァルのリストやコンマのリストを行列として扱うことでHNFが大活躍する。

エルミート標準形は一意である。それに加えて、それは{{w|行簡約階段形}}の整数による類似物といえる。行階段形の一種であるため、ガウスの消去法による求解に利用できる。

HNFにはいくつかのわずかに異なる定義があり、プログラムや数学ライブラリを使う際には、同じ結果が得られるように注意する必要がある。以下に示すウィキペディアによる定義がたぶんもっとも標準的である。''n'' 行 ''m'' 列の整数行列 ''H'' に対し、以下の条件を満たすものがHNFである。

# ''H'' は上三角行列である。つまり、''i'' &lt; ''j'' なら ''h<sub>ij</sub>'' であり、全てゼロな行は一番下に固めて置かれる。
# 非ゼロな行において左から見て最初の非ゼロ要素（pivot（枢軸）とも呼ばれる）は必ず上の行のpivotより右にある。
# pivotは正である。
# pivotから下にたどると全てゼロになる。上にたどると全て非負かつそのpivot未満となる。

== マッピングの標準形 ==
=== Defactoredエルミート標準形 ===
"'''defactored Hermite form'''"は"'''canonical form'''"（訳さないほうがいいかも）とも言い、{{en仮リンク|Dave Keenan}}と{{en仮リンク|Douglas Blumeyer}}により開発された。テンペラメントの正規化としてマッピングの[[defactoring]]を必須としたエルミート標準形である。

マッピング（ヴァルのリスト）を (''k'', ''d'')-形の行列（''k'' 行 ''d'' 列）で書くとして、各行はヴァルで、''d'' は定義域の次元数である。defactored Hermite formを得るには、

# まずdefactoringを行う。もし行列がフルランクでないならいくつかの行が削減されることになる。''r'' が階数として、結果は (''r'', ''d'')-形の行列になる。
# 次にHNFに変形する。

（行の削減は、HNFに変換してからだと行列の下部の全てゼロな行を削除することと考えてよい）

例えば、セプティマルミーントーンのdefactored Hermite formは {{mapping| 1 0 -4 -13 | 0 1 4 10 }} となり、各行の対応するジェネレーターは順に ~2/1、~3/1 となる。

defactored Hermite formの長所は純粋さと単純さである。enfactoredな行列に関する問題を避けるための最小限の定義となっている。我々の目的がテンペラメントを一意に識別することであるなら、これが理想的な選択である。以下の残りの標準形たちは、ジェネレーターのサイズに関する規定を入れたりしていて、目的によっては便利なものになるが、そうでないなら不要である。

=== 正ジェネレーター標準形（仮） ===
（WIP）

=== 単音程ジェネレーター標準形（仮） ===
（WIP）

=== 最小ジェネレーター標準形（仮） ===
（WIP）

=== 行簡約階段形 ===
（WIP）

== コンマ基底の標準形 ==
抽象的なレギュラーテンペラメント、つまり素数のマッピングが明らかになっているがジェネレーターの大きさ（チューニング）が指定されていない状況は、その{{w|零空間|核}}つまり 1/1 にマップされる純正音程（テンパーアウトされるコンマ）の群で特徴づけられる。なのでこの核空間を特定するのに基底（commas（複数形）、unison vectors）の正規形を定めればよい。マッピングの標準形に類似したものをこのような音程のリストに対して定義できる。defactoredエルミート標準形や正何々標準形の発想を転用できる。ただし、"minimal"という語をその名に含んだ標準形は、全く異なるコンセプトに基づく。（WIP）

音程のリストの行列を表示するのに一番多く使われるのは、モンゾではなく比の形に戻して書くことである。例えば [{{ket| -4 4 1 0 }}, {{ket| -6 2 0 1 }}] より [81/80, 64/63] となる。

=== Minimal form ===
'''Minimal form'''あるいは''reduced form''は基底がなるべく簡単な純正音程になるようにするものである。簡単さは{{en仮リンク|テニー高さ|Tenney height}}などに基づいて評価される。そのため厳密には''Tenney-minimal form''などと呼ぶことになる。これの有用さは明らかであるが、不運なことに、これを求めることはNP困難問題である''shortest basis problem''と同じことである。[https://ja.wikipedia.org/w/index.php?search=LLL%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%82%BA%E3%83%A0&title=%E7%89%B9%E5%88%A5%3A%E6%A4%9C%E7%B4%A2 LLLアルゴリズム]が良い近似を与える。あるいは、手計算で経験的に処理される（なら一意性の保証はないが、まあそれでも簡単な分数が優先されることの利便性は大きい）

'''Note:''' テンペラメントのデータのページにある"comma lists"はこの形式が使われる。

=== Antitransposed defactoredエルミート標準形 ===
''p''-リミット音程を並べた行列が与えられ、そのantitransposed defactored Hermite formを求める方法はdefactored Hermite formとほぼ同じである。唯一の違いは、"antitranspose"操作でそれをサンドイッチにすることである。つまり、やる前にantitransposeして、やった後に再度antitransposeする。

～

標準音程リストは[[純正律サブグループ]]を特徴づける、要するにサブグループの基底をドットリストで示すときにも使われる。注意点として、サブグループの基底はdefactoringは不要であるということである。これはantitransposed Hermite formまたは簡単にcolumn HNFと呼ばれる。
（WIP）

=== 正音程標準形（仮） ===
（WIP）

=== 整数行簡約階段形（仮） ===
（WIP）（antitransposeはする前提なのか？書かれていない）