組み合わせ積集合のソースを表示

{{interwiki
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| en = Combination product set
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| ja = 組み合わせ積集合
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'''組み合わせ積集合'''（combination product set、'''CPS'''）は、以下の規則に従って作られたスケールである。

# まず ''n'' 個の正の実数からなる{{w|集合}} ''S'' を定義する。
# この集合から ''k'' 個を取り出す全ての{{w|組合せ (数学)|組み合わせ}}について、取り出した数の積を求める。
# それらを新しい集合とし、そして全ての要素をある一つの要素、例えば最小の要素で割る。（つまりどれかが 1/1 になるようにスケーリングする。）
# さらにそれらを単音程化（octave reduction）し昇順に並べて、オクターブを周期とする周期的スケールにする。これを CPS(''S'', ''k'') と書く。

これを ''k'')''n'' CPSと書くこともある、''n'' は上記の通り ''S'' の要素数である。いくつか特定の場合には名前がついている。2)4 CPSは''hexany''、2)5 と 3)5 CPSは''decany''、2)6 と 4)6 CPSは''pentadecany''、3)6 CPSは''eikosany''である。これらは通常は[[純正律]]と関連付けて考えられ、そのため ''S'' は正の有理数からなる集合となるが、もっと一般の場合を考えても構わない。

この発想は ''S'' を{{w|多重集合}}とするように一般化できる。多重集合とは、集合に似ているが、同じものを複数個入れることを許すものである。多重集合の部分多重集合はまた多重集合であり、多重集合の全要素の積とは重複度を考慮したものである。例として多重集合 [1, 1, 3, 5] をスタート地点とする 2)4 hexanyを考えると、2 個の要素を取り出す全ての組み合わせは [1, 1]、[1, 3]、[1, 5]、[3, 5] となり（[1, 3] と [1, 5] が異なる組み合わせから複数回出るが、多重集合の多重集合を扱うとは言っていないしどうせ積は同じになるのでそれぞれ一つにまとめる、基本的に0セントのステップやマイナスのステップを含むスケールを考える場合はそれ専用の注記がある）、それぞれの積は 1, 3, 5, 15 となる。これを単音程化すると 5/4, 3/2, 15/8, 2、また移調すれば 5/4, 4/3, 5/3, 2 となる。hexanyという名前に反して4音のスケールになる。

CPSは{{en仮リンク|Euler–Fokker genus}}と密接な関係がある。0)n, 1)n, 2)n ... n)n をすべて集めてから単音程化すると、Euler genusが得られる。

CPSは[[アーブ・ウィルソン]]によって発明された。

== 関連項目 ==

* [[:en:Gallery of combination product sets]]