アドリミット - 版の履歴

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	{{odd-limit navigation}}		{{odd-limit navigation}}

	'''アドリミット''' (odd-~~limit~~) は2つの意味を持つ。1つは純正音程（周波数比）の集合のシリーズである。もう1つ（後述）は任意のある純正音程（周波数比）に対しその特徴を取り出す関数である。<!--（日本語だとOdd limitとan odd-limitの書き分けが難しいのでOdd limitを説明するような書き方にしました）-->		'''アドリミット''' (英: odd-limit、奇数限界) は2つの意味を持つ。1つは純正音程（周波数比）の集合のシリーズである。もう1つ（後述）は任意のある純正音程（周波数比）に対しその特徴を取り出す関数である。<!--（日本語だとOdd limitとan odd-limitの書き分けが難しいのでOdd limitを説明するような書き方にしました）-->

	q-アドリミットは、周波数比の分母と分子から因数2を除去（奇数になるまで2で割る）した上でそれらが（つまり分母と分子どちらも）しきい値 q 以下になる周波数比を集めた集合である。このしきい値には正の奇数を挙げれば全ての条件を尽くせる。含まれる周波数比が少ない方から<!--（octave-reductionしないと1個目からすでに可算無限であるが）-->1アドリミット、3アドリミット、5アドリミット、…とそれぞれの集合が定義される。この列において左にある集合は右にある集合の部分集合となる。		''q''-アドリミットは、周波数比の分母と分子から因数2を除去（奇数になるまで2で割る）した上でそれらが（つまり分母と分子どちらも）しきい値 ''q'' 以下になる周波数比を集めた集合である。このしきい値には正の奇数を挙げれば全ての条件を尽くせる。含まれる周波数比が少ない方から<!--（octave-reductionしないと1個目からすでに可算無限であるが）-->1アドリミット、3アドリミット、5アドリミット、…とそれぞれの集合が定義される。この列において左にある集合は右にある集合の部分集合となる。

	~~アドリミットはおおよそハリー・パーチによる~~'''[[tonality diamond]]'''と同じものである。正確に言うなら、特定のアドリミットに対する特定の幾何学的表現としてtonality ~~diamondを見ることができる。この2つの用語はしばしば一緒に使われる（e.g.,~~ the 11-odd-limit tonality diamond）。アドリミットの集合の階層性を、小さいtonality diamondが大きいtonality diamondに埋め込まれていることをもって可視化することができる。		アドリミットはおおよそ{{w\|ハリー・パーチ}}による'''{{en仮リンク\|tonality diamond}}'''と同じものである。正確に言うなら、特定のアドリミットに対する特定の幾何学的表現としてtonality diamondを見ることができる。この2つの用語はしばしば一緒に使われる（例えば the 11-odd-limit tonality diamond）。アドリミットの集合の階層性を、小さいtonality diamondが大きいtonality diamondに埋め込まれていることをもって可視化することができる。

	アドリミットあるいはtonality diamondの目的は、純正音程の『シンプル』なサブセットを提供することである。因数2を取り除くことは任意の音程の十分シンプルな姿を見せることであり、オクターブ移調の関係にある音程は全て同様に含まれることになる。しきい値を増加させるにつれ『シンプル』とみなされる音程が増える。これらの性質は音楽的に有用である；このような音程を組み合わせてコードにした場合にしばしばいい結果を生む（少なくとも、無秩序に純正音程を組み合わせた場合に比べて）。		アドリミットあるいはtonality diamondの目的は、純正音程の『シンプル』なサブセットを提供することである。因数2を取り除くことは任意の音程の十分シンプルな姿を見せることであり、オクターブ移調の関係にある音程は全て同様に含まれることになる。しきい値を増加させるにつれ『シンプル』とみなされる音程が増える。これらの性質は音楽的に有用である; このような音程を組み合わせてコードにした場合にしばしばいい結果を生む（少なくとも、無秩序に純正音程を組み合わせた場合に比べて）。

	例として、5アドリミットは {1/1, 3/1, 1/3, 5/1, 1/5, 5/3, 3/5} という集合と書かれるが、実際にはそれぞれのオクターブ移調の音程も含んだものである（例えば 2/1, 4/1, 3/2, 6/1, 5/4 等々）。		例として、5アドリミットは {1/1, 3/1, 1/3, 5/1, 1/5, 5/3, 3/5} という集合と書かれるが、実際にはそれぞれのオクターブ移調の音程も含んだものである（例えば 2/1, 4/1, 3/2, 6/1, 5/4 等々）。

	結果として、アドリミットは音楽で使用されるハーモニーの複雑度の上限を与える指標となる。関連する概念としてinteger limitと'''[[prime limit]]'''がある。		結果として、アドリミットは音楽で使用されるハーモニーの複雑度の上限を与える指標となる。関連する概念としてinteger limitと'''[[リミット\|prime limit]]'''がある。

	== 数学的定義 ==		== 数学的定義 ==

	q ~~を正の奇数として、q~~-~~アドリミットとは、i を整数、u~~ と v を q 以下の正の奇数として<code>2^iu/v</code>~~で表される全ての周波数比の集合である。それは[[Tonality diamond\|q~~-limit ~~diamond]]と同一視されることがある。例：9アドリミットに含まれる周波数比~~<!--（9アドリミットの比の例と書くと次項と区別がつきにくくなる）-->としては 3/2, 5/4, 7/6, 10/7, 12/7, 9/8, 14/9 などがあるが、 11/9 (既約でかつ 11 ＞ 9) や 15/7 (15 は 35 なので5-limitに入るが、それはそれとして、既約でかつ 15 ＞ 9)　は含まれない。		''q'' を正の奇数として、''q''-アドリミットとは、''i'' を整数、''u'' と ''v'' を ''q'' 以下の正の奇数として<code>2^iu/v</code>で表される全ての周波数比の集合である。それはq-limit diamondと同一視されることがある。例: 9アドリミットに含まれる周波数比<!--（9アドリミットの比の例と書くと次項と区別がつきにくくなる）-->としては 3/2, 5/4, 7/6, 10/7, 12/7, 9/8, 14/9 などがあるが、 11/9 (既約でかつ 11 ＞ 9) や 15/7 (15 は 35 なので5-limitに入るが、それはそれとして、既約でかつ 15 ＞ 9)　は含まれない。

	== 特定の周波数比についてのアドリミット ==		== 特定の周波数比についてのアドリミット ==
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	上述の定義から、3/2 は3アドリミットに含まれるだけではなく、5アドリミット、7アドリミット、…に含まれることがわかる。しかしながら、当該の音程を含む最小のアドリミットを参照することも有用である。これはしばしば単に『（周波数比）のアドリミット』と呼ばれる。		上述の定義から、3/2 は3アドリミットに含まれるだけではなく、5アドリミット、7アドリミット、…に含まれることがわかる。しかしながら、当該の音程を含む最小のアドリミットを参照することも有用である。これはしばしば単に『（周波数比）のアドリミット』と呼ばれる。

	~~ある周波数比のアドリミットを求める方法：まず既約であるとする。もし分母あるいは分子が偶数だった場合、それを奇数になるまで繰り返し~~ 2 ~~で割る。割った後の分母と分子のうち大きい方がアドリミットである。例：12~~/7 から2の因子を取り除いて 3/7 、7 のほうが大きいので 12/7 のアドリミットは 7 である。		ある周波数比のアドリミットを求める方法: まず既約であるとする。もし分母あるいは分子が偶数だった場合、それを奇数になるまで繰り返し 2 で割る。割った後の分母と分子のうち大きい方がアドリミットである。例: 12/7 から2の因子を取り除いて 3/7 、7 のほうが大きいので 12/7 のアドリミットは 7 である。

	This is also called the [[Kees expressibility]] of the interval, named after Kees van Prooijen who showed what this metric looks like geometrically on the lattice.		This is also called the [[Kees expressibility]] of the interval, named after Kees van Prooijen who showed what this metric looks like geometrically on the lattice.
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	== 他のリミット系指標との関係 ==		== 他のリミット系指標との関係 ==

	周波数比の'''integer limit'''~~は単純に分母と分子のうち大きい方であるが、前提として周波数比が~~ 1 以上ということにすれば常に分子の値となる。integer limitはより直接的に周波数比の複雑度を反映する。しかしアドリミットのほうがずっと広く使われているのは、integer limitが音程のオクターブに影響されてしまうためである。ある音程の全てのオクターブ移調を考え、それぞれのinteger limitを求めると、それらのうち最小のものがアドリミットと一致する。例えば 12/7 のinteger limitは12であるが、1オクターブ上げて発声すると 24/7 となりinteger limitは 24 となる。7/6 と 7/3 のinteger limitはどちらも 7 となりアドリミットと一致する。なのでアドリミットはinteger ~~limitのベストケースでの値であると考えることができる。アドリミットはオクターブ等価性を前提にした複雑度指標である。~~		周波数比の'''integer limit'''（整数限界）は単純に分母と分子のうち大きい方であるが、前提として周波数比が 1 以上ということにすれば常に分子の値となる。integer limitはより直接的に周波数比の複雑度を反映する。しかしアドリミットのほうがずっと広く使われているのは、integer limitが音程のオクターブに影響されてしまうためである。ある音程の全てのオクターブ移調を考え、それぞれのinteger limitを求めると、それらのうち最小のものがアドリミットと一致する。例えば 12/7 のinteger limitは12であるが、1オクターブ上げて発声すると 24/7 となりinteger limitは 24 となる。7/6 と 7/3 のinteger limitはどちらも 7 となりアドリミットと一致する。なのでアドリミットはinteger limitのベストケースでの値であると考えることができる。アドリミットは[[オクターブ等価性]]を前提にした複雑度指標である。

	アドリミットをコードに適用する2つの方法がある。'''intervallic limit'''はコードに含まれる音程のアドリミットの最大のものとして定義される。例：三和音 10:12:15 は 6/5, 5/4, 3/2 の3つの音程を含む。それぞれのアドリミットは 5, 5, 3 となるので、intervallic limitは 5 となる。		アドリミットをコードに適用する2つの方法がある。'''intervallic limit'''はコードに含まれる音程のアドリミットの最大のものとして定義される。例：三和音 10:12:15 は 6/5, 5/4, 3/2 の3つの音程を含む。それぞれのアドリミットは 5, 5, 3 となるので、intervallic limitは 5 となる。

	'''otonal limit'''はコードの整数比 a:b:c:... をそのまま複数の分子と見てアドリミットを計算し最大のものを取る。例：三和音 10:12:15 は 10(/1), 12(/1), 15(/1) とみなし、それぞれのアドリミットは 5, 3, 15 となるので、otonal limitは 15 となる。		'''otonal limit'''はコードの整数比 ''a'':''b'':''c'':... をそのまま複数の分子と見てアドリミットを計算し最大のものを取る。例：三和音 10:12:15 は 10(/1), 12(/1), 15(/1) とみなし、それぞれのアドリミットは 5, 3, 15 となるので、otonal limitは 15 となる。

	intervallic limitとotonal limitを二和音(dyad)、つまり音程(interval)に適用すると単にアドリミットと同じになる。このため両方ともアドリミットの一般化となっている。4:5:6 の和音はどちらのリミットでも 5 となるが、10:12:15 の和音は 4:5:6 より複雑な響きだと考えられているので、otonal limitのほうが有用な指標と言えるかもしれない。		intervallic limitとotonal limitを二和音(dyad)、つまり音程(interval)に適用すると単にアドリミットと同じになる。このため両方ともアドリミットの一般化となっている。4:5:6 の和音はどちらのリミットでも 5 となるが、10:12:15 の和音は 4:5:6 より複雑な響きだと考えられているので、otonal limitのほうが有用な指標と言えるかもしれない。

	== 関連項目 ==		== 関連項目 ==
	* [[~~p-limit~~]] - ~~or prime [[harmonic limit]]~~		* [[リミット]] - 素数限界

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== 定義 ==
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'''アドリミット''' (odd-limit) は2つの意味を持つ。1つは純正音程（周波数比）の集合のシリーズである。もう1つ（後述）は任意のある純正音程（周波数比）に対しその特徴を取り出す関数である。

q-アドリミットは、周波数比の分母と分子から因数2を除去（奇数になるまで2で割る）した上でそれらが（つまり分母と分子どちらも）しきい値 q 以下になる周波数比を集めた集合である。このしきい値には正の奇数を挙げれば全ての条件を尽くせる。含まれる周波数比が少ない方から1アドリミット、3アドリミット、5アドリミット、…とそれぞれの集合が定義される。この列において左にある集合は右にある集合の部分集合となる。

アドリミットはおおよそハリー・パーチによる'''[[tonality diamond]]'''と同じものである。正確に言うなら、特定のアドリミットに対する特定の幾何学的表現としてtonality diamondを見ることができる。この2つの用語はしばしば一緒に使われる（e.g., the 11-odd-limit tonality diamond）。アドリミットの集合の階層性を、小さいtonality diamondが大きいtonality diamondに埋め込まれていることをもって可視化することができる。

アドリミットあるいはtonality diamondの目的は、純正音程の『シンプル』なサブセットを提供することである。因数2を取り除くことは任意の音程の十分シンプルな姿を見せることであり、オクターブ移調の関係にある音程は全て同様に含まれることになる。しきい値を増加させるにつれ『シンプル』とみなされる音程が増える。これらの性質は音楽的に有用である；このような音程を組み合わせてコードにした場合にしばしばいい結果を生む（少なくとも、無秩序に純正音程を組み合わせた場合に比べて）。

例として、5アドリミットは {1/1, 3/1, 1/3, 5/1, 1/5, 5/3, 3/5} という集合と書かれるが、実際にはそれぞれのオクターブ移調の音程も含んだものである（例えば 2/1, 4/1, 3/2, 6/1, 5/4 等々）。

結果として、アドリミットは音楽で使用されるハーモニーの複雑度の上限を与える指標となる。関連する概念としてinteger limitと'''[[prime limit]]'''がある。

== 数学的定義 ==

q を正の奇数として、q-アドリミットとは、i を整数、u と v を q 以下の正の奇数として<code>2^i*u/v</code>で表される全ての周波数比の集合である。それは[[Tonality diamond|q-limit diamond]]と同一視されることがある。例：9アドリミットに含まれる周波数比としては 3/2, 5/4, 7/6, 10/7, 12/7, 9/8, 14/9 などがあるが、 11/9 (既約でかつ 11 ＞ 9) や 15/7 (15 は 3*5 なので5-limitに入るが、それはそれとして、既約でかつ 15 ＞ 9)　は含まれない。

== 特定の周波数比についてのアドリミット ==

上述の定義から、3/2 は3アドリミットに含まれるだけではなく、5アドリミット、7アドリミット、…に含まれることがわかる。しかしながら、当該の音程を含む*最小の*アドリミットを参照することも有用である。これはしばしば単に『（周波数比）のアドリミット』と呼ばれる。

ある周波数比のアドリミットを求める方法：まず既約であるとする。もし分母あるいは分子が偶数だった場合、それを奇数になるまで繰り返し 2 で割る。割った後の分母と分子のうち大きい方がアドリミットである。例：12/7 から2の因子を取り除いて 3/7 、7 のほうが大きいので 12/7 のアドリミットは 7 である。

This is also called the [[Kees expressibility]] of the interval, named after Kees van Prooijen who showed what this metric looks like geometrically on the lattice.

== 他のリミット系指標との関係 ==

周波数比の'''integer limit'''は単純に分母と分子のうち大きい方であるが、前提として周波数比が 1 以上ということにすれば常に分子の値となる。integer limitはより直接的に周波数比の複雑度を反映する。しかしアドリミットのほうがずっと広く使われているのは、integer limitが音程のオクターブに影響されてしまうためである。ある音程の全てのオクターブ移調を考え、それぞれのinteger limitを求めると、それらのうち最小のものがアドリミットと一致する。例えば 12/7 のinteger limitは12であるが、1オクターブ上げて発声すると 24/7 となりinteger limitは 24 となる。7/6 と 7/3 のinteger limitはどちらも 7 となりアドリミットと一致する。なのでアドリミットはinteger limitのベストケースでの値であると考えることができる。アドリミットはオクターブ等価性を前提にした複雑度指標である。

アドリミットをコードに適用する2つの方法がある。'''intervallic limit'''はコードに含まれる音程のアドリミットの最大のものとして定義される。例：三和音 10:12:15 は 6/5, 5/4, 3/2 の3つの音程を含む。それぞれのアドリミットは 5, 5, 3 となるので、intervallic limitは 5 となる。

'''otonal limit'''はコードの整数比 a:b:c:... をそのまま複数の分子と見てアドリミットを計算し最大のものを取る。例：三和音 10:12:15 は 10(/1), 12(/1), 15(/1) とみなし、それぞれのアドリミットは 5, 3, 15 となるので、otonal limitは 15 となる。

intervallic limitとotonal limitを二和音(dyad)、つまり音程(interval)に適用すると単にアドリミットと同じになる。このため両方ともアドリミットの一般化となっている。4:5:6 の和音はどちらのリミットでも 5 となるが、10:12:15 の和音は 4:5:6 より複雑な響きだと考えられているので、otonal limitのほうが有用な指標と言えるかもしれない。

== 関連項目 ==
* [[p-limit]] - or prime [[harmonic limit]]