ウェル・テンペラメント - 版の履歴

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	{{Wikipedia\|ウェル・テンペラメント}}		{{Wikipedia\|ウェル・テンペラメント}}
	'''ウェル・テンペラメント'''（英: well temperament、circulating temperament）は、[[平均律]]を近似した[[音律]]と考えられる。それは同じ等価音程を持ち、その平均律と同じ移調可能性を有しているが、その平均律と全く同じではない。歴史上のウェル・テンペラメントの多くは純正な [[3/2]] ~~とわずかにフラットな5度を組み合わせて五度圏を12音で閉じたものと説明される。それは12個の大体等しいステップとなる。~~		'''ウェル・テンペラメント'''（英: well temperament、circulating temperament）は、[[平均律]]を近似した[[音律]]と考えられる。それは同じ等価音程を持ち、その平均律と同じ移調可能性を有しているが、その平均律と全く同じではない。歴史上のウェル・テンペラメントの多くは純正な [[3/2]] とわずかにフラットな5度を組み合わせて五度圏を 12 音で閉じたものと説明される。それは 12 個の大体等しいステップとなる。

	これらのチューニングの利点はそのステップが完全に等しくはないことにあり、個々のコードまたは調がわずかずつ違う性格を持っている。		これらのチューニングの利点はそのステップが完全に等しくはないことにあり、個々のコードまたは調がわずかずつ違う性格を持っている。
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	=== 五度圏 ===		=== 五度圏 ===
	ウェル・テンペラメントは複数種類の大きさの5度を偏らせて配置することに基づく。よくあるのは純正完全5度やミーントーンの5度だが、より広い選択肢（スーパーパイスの702{{c}}～720{{c}}~~やフラットトーンの691~~{{c}}～695{{c}}~~など）を考えてもよい。結果として長3度も様々なサイズになり、~~[[5/4]]というよりも[[9/7]]や[[14/11]]に近くなったりする。例: {{en仮リンク\|Carl Lumma}}の{{en仮リンク\|Cauldron}}。		ウェル・テンペラメントは複数種類の大きさの5度を偏らせて配置することに基づく。よくあるのは純正完全5度やミーントーンの5度だが、より広く選択肢を考えてもよい（スーパーパイスの 702{{c}}～720{{c}}やフラットトーンの 691{{c}}～695{{c}}など）。結果として長3度も様々なサイズになり、[[5/4]] というよりも [[9/7]] や [[14/11]] に近くなったりする。例: {{en仮リンク\|Carl Lumma}}の{{en仮リンク\|Cauldron}}。

	同じ発想を12平均律以外に適用してもよい。異なるジェネレーターによる圏（circle）や非オクターブでもありうる。例: {{en仮リンク\|George Secor}}の{{en仮リンク\|secor29htt}}。		同じ発想を12平均律以外に適用してもよい。異なるジェネレーターによる圏（circle）や非オクターブでもありうる。例: {{en仮リンク\|George Secor}}の{{en仮リンク\|secor29htt}}。

	=== Detempering or deregularizing ===		=== Detempering or deregularizing ===
	ウェル・テンペラメントは平均律を{{en仮リンク\|detempering #Deregularization}}することで得られる。これはつまりランク1テンペラメントにジェネレーターを追加し高ランクのテンペラメントに変化させるようなことであり、この操作で新たに生じた「不完全な5度」をジェネレーターチェーンの最後に組み込んで五度圏を閉じる。これは一般的に言うウェル・テンペラメントというよりは「12音で閉じることを前提にすることにしたミーントーン」の説明だと思ってほしい。[[1/4コンマミーントーン]]での不完全な5度――{{w\|ウルフ\|ウルフの5度}}はその響きから移調可能性を満たしていないとみなされる。		ウェル・テンペラメントは平均律を{{en仮リンク\|detempering #Deregularization}}することで得られる。これはつまりランク1テンペラメントにジェネレーターを追加し高ランクのテンペラメントに変化させるようなことであり、この操作で新たに生じた「不完全な5度」をジェネレーターチェーンの最後に組み込んで五度圏を閉じる。これは一般的に言うウェル・テンペラメントというよりは「12 音で閉じることを強制されているミーントーン」の説明だと思ってほしい。[[1/4コンマミーントーン]]での不完全な5度――{{w\|ウルフ\|ウルフの5度}}はその響きから移調可能性を満たしていないとみなされる。

	もし主役となるジェネレーターに5度以外のものを採用すると、その結果は五度圏上に複数の不完全な5度がまあまあ均等に散らばることになる。これらのウルフの5度は先程の単独のウルフの5度よりもうなりが小さくなる（3/~~2に近い）。結果としてウルフの5度が歴史上のウェル・テンペラメントで使われたような音程になる。~~		もし主役となるジェネレーターに5度以外のものを採用すると、その結果は五度圏上に複数の不完全な5度がなるべく均等に散らばることになる。これらのウルフの5度は先程の単独のウルフの5度よりもうなりが小さくなる（3/2 に近い）。結果としてウルフの5度が歴史上のウェル・テンペラメントで使われたような音程になる。

	Well temperaments based on rank-2 temperaments can be designed to follow the structure of a [[moment of symmetry]] (mos) scale. In that case, each generic interval comes in two sizes, which ensures that there will be exactly two kinds of fifths even if the generator is not a tempered perfect fifth.		Well temperaments based on rank-2 temperaments can be designed to follow the structure of a [[moment of symmetry]] (mos) scale. In that case, each generic interval comes in two sizes, which ensures that there will be exactly two kinds of fifths even if the generator is not a tempered perfect fifth.
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	For examples: [http://lumma.org/tuning/gws/duowell.htm Duowell], a well-tuning of [[Duodene]]		For examples: [http://lumma.org/tuning/gws/duowell.htm Duowell], a well-tuning of [[Duodene]]

	~~同様なプロセスは同じ音数のMOSスケールでステップ比が1~~:~~1に近いものを選ぶことである。ステップ比が~~[[スーパーパーティキュラー]]であるならそれはmaximally evenでもある。この場合では、得られたウェル・テンペラメントはdetemperamentなだけではなく、より細かい平均律チューニングから音を選び出したサブセットでもある。, where individual steps are usually [[comma]]-sized. If the superset of the particular detemperament or deregularization is a fine enough equal tuning, it can have sisters with other [[superpartient]] step ratios.		同様なプロセスは同じ音数のMOSスケールでステップ比が 1:1 に近いものを選ぶことである。ステップ比が[[スーパーパーティキュラー]]であるならそれは{{en仮リンク\|maximally even}}でもある。この場合では、得られたウェル・テンペラメントはdetemperamentなだけではなく、より細かい平均律チューニングから音を選び出したサブセットでもある。<!--, where individual steps are usually [[comma]]-sized. If the superset of the particular detemperament or deregularization is a fine enough equal tuning, it can have sisters with other [[superpartient]] step ratios.-->

	~~Again, well temperaments designed through detempering could eventually be generalized to any circle of intervals with any equaves.~~		この方法も同様に、異なる音程による圏や非オクターブに一般化できる。

	=== Neji ===		=== Neji ===
	[[Neji]]s are [[primodal]] scales that more or less roughly approximate the equal tuning with the corresponding number of tones per equave. These scales achieve consonance by ensuring that all intervals share a relatively small common denominator, instead of focusing on a few very simple intervals such as the perfect fifth ([[3/2~~]]) or the classical major third ([[~~5/4~~]]).~~		{{en仮リンク\|Neji}}は平均律の全ての音を大まかに近似する純正律スケールである。それは 3/2 や 5/4 のようなとても簡単な音程ばかり積み重ねるのではなく、そのすべての音が比較的小さい分母を共有するという方法で協和音を得る。

	== ~~Relation to regular temperaments~~ ==		== レギュラーテンペラメントとの関係 ==
	~~Through the lens of regular temperament theory, a well temperament can be viewed as a result of applying an irregular [[~~tuning map~~]] to the abstract intervals of an~~ [[~~equal temperament~~]] (i.e. a rank-1 abstract regular temperament), though tuning maps in the technical sense are defined to be regular. However, note that when nejis are considered well temperaments in this sense, the JI ratios the intervals are said to represent and the actual JI ratios of the neji tuning must be distinguished, and the JI ratios that occur in the neji should not be assumed to be consistent with the val.		RTTのレンズを通して見ると、ウェル・テンペラメントは抽象的なレギュラーテンペラメント（平均律）の抽象的な音程に不規則な{{en仮リンク\|tuning map}}を適用した結果のように見える（不規則なtuning mapってなんだといえば音程以外の条件（Cからの距離など）で音程のサイズが変化するという話で、それはRTTの枠組みから外れている）。なお、nejiをこういう意味でのウェル・テンペラメントと考える場合に、その（本来テンパードな）音程が表している純正音程と、nejiチューニングが実際に鳴らしている純正音程とを区別しなければいけないし、nejiの純正音程が平均律の[[ヴァル]]に対して一貫していると仮定してはいけない。

	== External links ==		== External links ==

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	これらのチューニングの利点はそのステップが完全に等しくはないことにあり、個々のコードまたは調がわずかずつ違う性格を持っている。		これらのチューニングの利点はそのステップが完全に等しくはないことにあり、個々のコードまたは調がわずかずつ違う性格を持っている。

	「テンペラメント」という単語を共有しているにもかかわらず、ウェル・テンペラメントと[[レギュラーテンペラメント]]は別々のコンセプトである。実際、ウェル・テンペラメントはイレギュラー（不規則）なテンペラメントである。だが（だからこそ）互いに比較することでそれぞれの構成の理解への助けになるかもしれない。		「テンペラメント」という単語を共有しているにもかかわらず、ウェル・テンペラメントと[[レギュラーテンペラメント]]は別々のコンセプトである。実際、ウェル・テンペラメントはイレギュラー（不規則）なテンペラメントである。だが互いに比較することでそれぞれの構成の理解への助けになるかもしれない。

	== 歴史上のウェル・テンペラメント ==		== 歴史上のウェル・テンペラメント ==
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	== アプローチの分類 ==		== アプローチの分類 ==
	ウェル・テンペラメントには複数のアプローチがある。それらは完全に互いに相いれないというわけでもないが、様々なゴールに至るそれぞれの枠組みを表している。		ウェル・テンペラメントには複数のアプローチがある。それらは完全に相いれないというわけでもないが、様々なゴールに至るそれぞれの枠組みを表している。

	=== 五度圏 ===		=== 五度圏 ===
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	=== Detempering or deregularizing ===		=== Detempering or deregularizing ===
	~~Well temperaments can be obtained by [[Detempering~~\|detempering ~~or deregularizing]] an equal tuning. This implies going from a~~ [[~~rank]]-~~1 ~~temperament to a multirank temperament by adding one (or more) extra generator(s) – a common choice is to add a pure [[octave~~]] –, which creates an imperfect generator at the end of the generator chain. Whereas historical well temperaments often make use of irregular patterns of fifth sizes around the circle of fifths, detemperaments have identical generators all along the circle except for the imperfect generator.		ウェル・テンペラメントは平均律を{{en仮リンク\|detempering #Deregularization}}することで得られる。これはつまりランク1テンペラメントにジェネレーターを追加し高ランクのテンペラメントに変化させるようなことであり、この操作で新たに生じた「不完全な5度」をジェネレーターチェーンの最後に組み込んで五度圏を閉じる。これは一般的に言うウェル・テンペラメントというよりは「12音で閉じることを前提にすることにしたミーントーン」の説明だと思ってほしい。[[1/4コンマミーントーン]]での不完全な5度――{{w\|ウルフ\|ウルフの5度}}はその響きから移調可能性を満たしていないとみなされる。

	If the main generator is a fifth, then there is only one wolf fifth that closes the circle of fifths, a feature which is often associated to tunings such as [[quarter-comma meantone]]. However, these tunings are not always considered as well temperaments because they may not preserve transposability due to their higher mistunings.		もし主役となるジェネレーターに5度以外のものを採用すると、その結果は五度圏上に複数の不完全な5度がまあまあ均等に散らばることになる。これらのウルフの5度は先程の単独のウルフの5度よりもうなりが小さくなる（3/2に近い）。結果としてウルフの5度が歴史上のウェル・テンペラメントで使われたような音程になる。

	If the main generator is different from a fifth, then there are multiple wolf fifths which are evenly distributed along the circle of fifths. Each wolf fifth is typically more in tune than the single wolf fifths of the fifth-generated cases, since the total mistuning is spread out over multiple intervals, but that also means that wolf fifths are more likely to be used frequently in such well temperaments.

	Well temperaments based on rank-2 temperaments can be designed to follow the structure of a [[moment of symmetry]] (mos) scale. In that case, each generic interval comes in two sizes, which ensures that there will be exactly two kinds of fifths even if the generator is not a tempered perfect fifth.		Well temperaments based on rank-2 temperaments can be designed to follow the structure of a [[moment of symmetry]] (mos) scale. In that case, each generic interval comes in two sizes, which ensures that there will be exactly two kinds of fifths even if the generator is not a tempered perfect fifth.
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	For examples: [http://lumma.org/tuning/gws/duowell.htm Duowell], a well-tuning of [[Duodene]]		For examples: [http://lumma.org/tuning/gws/duowell.htm Duowell], a well-tuning of [[Duodene]]

	~~A similar process is to pick a mos scale with the desired number of tones and a~~ [[~~step ratio~~]] close to 1. If the step ratio is [[superparticular]], then it is also a [[maximally even]] scale. In that particular case, the resulting well temperament is not only a detemperament, but also a subset of a finer equal tuning, where individual steps are usually [[comma]]-sized. If the superset of the particular detemperament or deregularization is a fine enough equal tuning, it can have sisters with other [[superpartient]] step ratios.		同様なプロセスは同じ音数のMOSスケールでステップ比が1:1に近いものを選ぶことである。ステップ比が[[スーパーパーティキュラー]]であるならそれはmaximally evenでもある。この場合では、得られたウェル・テンペラメントはdetemperamentなだけではなく、より細かい平均律チューニングから音を選び出したサブセットでもある。, where individual steps are usually [[comma]]-sized. If the superset of the particular detemperament or deregularization is a fine enough equal tuning, it can have sisters with other [[superpartient]] step ratios.

	Again, well temperaments designed through detempering could eventually be generalized to any circle of intervals with any equaves.		Again, well temperaments designed through detempering could eventually be generalized to any circle of intervals with any equaves.

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	{{Wikipedia\|ウェル・テンペラメント}}		{{Wikipedia\|ウェル・テンペラメント}}
	'''ウェル・テンペラメント'''~~（well~~ temperament、circulating temperament）は、[[平均律]]を近似した[[音律]]と考えられる。それは同じ等価音程を持ち、その平均律と同じ移調可能性を有しているが、その平均律と全く同じではない。歴史上のウェル・テンペラメントの多くは純正な [[3/2]] とわずかにフラットな5度を組み合わせて五度圏を12音で閉じたものと説明される。それは12個の大体等しいステップとなる。		'''ウェル・テンペラメント'''（英: well temperament、circulating temperament）は、[[平均律]]を近似した[[音律]]と考えられる。それは同じ等価音程を持ち、その平均律と同じ移調可能性を有しているが、その平均律と全く同じではない。歴史上のウェル・テンペラメントの多くは純正な [[3/2]] とわずかにフラットな5度を組み合わせて五度圏を12音で閉じたものと説明される。それは12個の大体等しいステップとなる。

	これらのチューニングの利点はそのステップが完全に等しくはないことにあり、個々のコードまたは調がわずかずつ違う性格を持っている。		これらのチューニングの利点はそのステップが完全に等しくはないことにあり、個々のコードまたは調がわずかずつ違う性格を持っている。

	「テンペラメント」という単語を共有しているにもかかわらず、ウェル・テンペラメントと[[レギュラーテンペラメント]]は別々のコンセプトである。実際、ウェル・テンペラメントはイレギュラー（不規則）なテンペラメントである。だが（だからこそ）互いに比較するとそれぞれの構成の意味が明確になったりする。		「テンペラメント」という単語を共有しているにもかかわらず、ウェル・テンペラメントと[[レギュラーテンペラメント]]は別々のコンセプトである。実際、ウェル・テンペラメントはイレギュラー（不規則）なテンペラメントである。だが（だからこそ）互いに比較することでそれぞれの構成の理解への助けになるかもしれない。

	== ~~Historical well temperaments~~ ==		== 歴史上のウェル・テンペラメント ==

	* [[Kirnberger I]] – Kirnberger temperament I		* [[Kirnberger I]] – Kirnberger temperament I
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	# one (2/1)/(18/17)<sup>11</sup> (~111.5{{cent}}) semitone (B-C)		# one (2/1)/(18/17)<sup>11</sup> (~111.5{{cent}}) semitone (B-C)

	== ~~Classification by approaches~~ ==		== アプローチの分類 ==
	~~There are several approaches to well temperaments. These are not strictly mutually exclusive, but they provide different frameworks that cater to various goals.~~		ウェル・テンペラメントには複数のアプローチがある。それらは完全に互いに相いれないというわけでもないが、様々なゴールに至るそれぞれの枠組みを表している。

	=== ~~Circle of fifths~~ ===		=== 五度圏 ===
	~~Well temperaments can be structured around the usual uneven distribution of differently-sized fifths, but with a wider palette of fifths, such as [[superpyth]] fifths (approx. 702~~{{~~cent~~}}~~-720~~{{~~cent~~}}~~) and [[flattone]] fifths (approx. 691~~{{~~cent~~}}~~-695~~{{~~cent~~}}~~). Consequently, major thirds also come in various sizes, sometimes approximating other intervals than the usual~~ [[5/4]]~~, such as~~ [[9/7]] ~~and~~ [[14/11]]~~. For example~~: [[Carl Lumma~~]]'s [[~~Cauldron~~]].~~		ウェル・テンペラメントは複数種類の大きさの5度を偏らせて配置することに基づく。よくあるのは純正完全5度やミーントーンの5度だが、より広い選択肢（スーパーパイスの702{{c}}～720{{c}}やフラットトーンの691{{c}}～695{{c}}など）を考えてもよい。結果として長3度も様々なサイズになり、[[5/4]]というよりも[[9/7]]や[[14/11]]に近くなったりする。例: {{en仮リンク\|Carl Lumma}}の{{en仮リンク\|Cauldron}}。

	~~The same idea could also be applied to other equal temperaments, using circles of other intervals, possibly with other equaves. For example~~: [[George Secor~~]]'s [[~~secor29htt~~\|29-tone high tolerance temperament]].~~		同じ発想を12平均律以外に適用してもよい。異なるジェネレーターによる圏（circle）や非オクターブでもありうる。例: {{en仮リンク\|George Secor}}の{{en仮リンク\|secor29htt}}。

	=== Detempering or deregularizing ===		=== Detempering or deregularizing ===

2025年8月26日 (火) 15:06にDummy indexによる

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	{{Wikipedia\|~~Well temperament~~}}		{{Wikipedia\|ウェル・テンペラメント}}
	A '''~~well temperament~~''' ~~(or '''circulating temperament''') is a [[tuning system]] which is regarded as an approximation of an~~ [[~~equal tuning~~]]~~, has the same~~ [[~~equave~~]] as that equal tuning and preserves the transposability of the equal tuning, but is not exactly the equal tuning being approximated. Historical well temperaments were formed by stacking a combination of pure [[3/2]] ~~and flattened fifths and had 12 nearly equal steps.~~		'''ウェル・テンペラメント'''（well temperament、circulating temperament）は、[[平均律]]を近似した[[音律]]と考えられる。それは同じ等価音程を持ち、その平均律と同じ移調可能性を有しているが、その平均律と全く同じではない。歴史上のウェル・テンペラメントの多くは純正な [[3/2]] とわずかにフラットな5度を組み合わせて五度圏を12音で閉じたものと説明される。それは12個の大体等しいステップとなる。

	~~One of the advantages of these tunings is that because they are not quite equal, each chord (or key) has a slightly different character because the interval sizes have changed slightly.~~		これらのチューニングの利点はそのステップが完全に等しくはないことにあり、個々のコードまたは調がわずかずつ違う性格を持っている。

	~~Despite their sharing the word "temperament" in their names, well temperaments and the modern notion of~~ [[~~regular temperament~~]]~~s are two different concepts. In fact, a well temperament is an ''ir''regular temperament. But sometimes one can guide construction of the other.~~		「テンペラメント」という単語を共有しているにもかかわらず、ウェル・テンペラメントと[[レギュラーテンペラメント]]は別々のコンセプトである。実際、ウェル・テンペラメントはイレギュラー（不規則）なテンペラメントである。だが（だからこそ）互いに比較するとそれぞれの構成の意味が明確になったりする。

	== Historical well temperaments ==		== Historical well temperaments ==
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	* [http://www.piano-tuners.org/edfoote/well_tempered_piano.html Six Degrees Of Tonality: The Well Tempered Piano] by Edward Foote		* [http://www.piano-tuners.org/edfoote/well_tempered_piano.html Six Degrees Of Tonality: The Well Tempered Piano] by Edward Foote
	* [http://www.rollingball.com/TemperamentsFrames.htm Temperaments Visualized] by Jason Kanter		* [http://www.rollingball.com/TemperamentsFrames.htm Temperaments Visualized] by Jason Kanter

	~~[[Category:Well temperament\| ]] <!-- main article -->~~
	~~[[Category:Historical]][[Category:Regular temperament theory]]~~

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{{Wikipedia|Well temperament}}
A '''well temperament''' (or '''circulating temperament''') is a [[tuning system]] which is regarded as an approximation of an [[equal tuning]], has the same [[equave]] as that equal tuning and preserves the transposability of the equal tuning, but is not exactly the equal tuning being approximated. Historical well temperaments were formed by stacking a combination of pure [[3/2]] and flattened fifths and had 12 nearly equal steps.

One of the advantages of these tunings is that because they are not quite equal, each chord (or key) has a slightly different character because the interval sizes have changed slightly.

Despite their sharing the word "temperament" in their names, well temperaments and the modern notion of [[regular temperament]]s are two different concepts. In fact, a well temperament is an ''ir''regular temperament. But sometimes one can guide construction of the other.

== Historical well temperaments ==

* [[Kirnberger I]] – Kirnberger temperament I
# one tempered fifth (D–A) is flat by 1 [[syntonic comma]]
# one tempered fifth (C#-Ab) is flat by 1 [[schisma]]
# ten [[3/2|pure]] fifths

* [[Kirnberger II]] – Kirnberger temperament II
# two tempered fifths (D–A and A–E) are flat by 1/2 syntonic comma (→ [[1/2-comma meantone]])
# one tempered fifth (C#-Ab) is flat by 1 [[schisma]]
# nine [[3/2|pure]] fifths

* [[Kirnberger III]] – Kirnberger temperament III
# four tempered fifths (C–G, D–A, G–D and A–E) are flat by 1/4 syntonic comma (→ [[quarter comma meantone]])
# one tempered fifth (F#–Db) is flat by a [[schisma]]
# seven [[3/2|pure]] fifths

* [[Werck3|Werckmeister III]] – Werckmeister temperament III
# four tempered fifths (C–G, D–A, G–D and B–F#) are tuned flat by 1/4 comma (''Werckmeister did not specify whether the syntonic or [[pythagorean comma|Pythagorean]] comma should be used, so either is acceptable'')
# eight [[3/2|pure]] fifths

* [[Werckmeister IV]] – Werckmeister temperament IV
# five tempered fifths (C–G, D–A, E–B, F#-C# and Bb–F) are tuned flat by 1/3 comma
# two tempered fifths (G#–D# and Eb–Bb) are tuned sharp by 1/3 comma
# five [[3/2|pure]] fifths

* [[Werckmeister V]] – Werckmeister temperament V
# five tempered fifths (D–A, A-E, F#-C#, C#-G# and F–C) are tuned flat by 1/4 comma
# one tempered fifth (G#–D#) is tuned sharp by 1/4 comma
# six [[3/2|pure]] fifths

* [[Septenarius]] – Septenarius temperament (Werckmeister VI)
# six tempered fifths (C-G, G-D, D-A, B-F#, F#-C# and Bb-F) are tuned flat based on division of string length
# one tempered fifth (G#–D#) is tuned sharp based on division of string length
# five [[3/2|pure]] fifths

* [[Young I]] – Young temperament I
# four tempered fifths (C–G, D–A, G–D and A–E) are tuned flat by 3/16 syntonic comma
# four tempered fifths (E-B, B–F#, Bb–F and F–C) are tuned flat by 1/4 Pythagorean comma less 3/16 syntonic comma
# four pure fifths (F#–C#, C#–G#, G#–Eb and Eb–Bb)

* [[Vallotti]] – Vallotti/Young temperament II
# six tempered fifths (C–G, D–A, E–B, F–C, G–D and A–E) are flat by 1/6 Pythagorean comma
# six pure fifths

* [[Galilei's tuning]]
# eleven [[18/17]] (~99{{cent}}) semitones
# one (2/1)/(18/17)<sup>11</sup> (~111.5{{cent}}) semitone (B-C)

== Classification by approaches ==
There are several approaches to well temperaments. These are not strictly mutually exclusive, but they provide different frameworks that cater to various goals.

=== Circle of fifths ===
Well temperaments can be structured around the usual uneven distribution of differently-sized fifths, but with a wider palette of fifths, such as [[superpyth]] fifths (approx. 702{{cent}}-720{{cent}}) and [[flattone]] fifths (approx. 691{{cent}}-695{{cent}}). Consequently, major thirds also come in various sizes, sometimes approximating other intervals than the usual [[5/4]], such as [[9/7]] and [[14/11]]. For example: [[Carl Lumma]]'s [[Cauldron]].

The same idea could also be applied to other equal temperaments, using circles of other intervals, possibly with other equaves. For example: [[George Secor]]'s [[secor29htt|29-tone high tolerance temperament]].

=== Detempering or deregularizing ===
Well temperaments can be obtained by [[Detempering|detempering or deregularizing]] an equal tuning. This implies going from a [[rank]]-1 temperament to a multirank temperament by adding one (or more) extra generator(s) – a common choice is to add a pure [[octave]] –, which creates an imperfect generator at the end of the generator chain. Whereas historical well temperaments often make use of irregular patterns of fifth sizes around the circle of fifths, detemperaments have identical generators all along the circle except for the imperfect generator.

If the main generator is a fifth, then there is only one wolf fifth that closes the circle of fifths, a feature which is often associated to tunings such as [[quarter-comma meantone]]. However, these tunings are not always considered as well temperaments because they may not preserve transposability due to their higher mistunings.

If the main generator is different from a fifth, then there are multiple wolf fifths which are evenly distributed along the circle of fifths. Each wolf fifth is typically more in tune than the single wolf fifths of the fifth-generated cases, since the total mistuning is spread out over multiple intervals, but that also means that wolf fifths are more likely to be used frequently in such well temperaments.

Well temperaments based on rank-2 temperaments can be designed to follow the structure of a [[moment of symmetry]] (mos) scale. In that case, each generic interval comes in two sizes, which ensures that there will be exactly two kinds of fifths even if the generator is not a tempered perfect fifth.

For examples: [http://lumma.org/tuning/gws/duowell.htm Duowell], a well-tuning of [[Duodene]]

A similar process is to pick a mos scale with the desired number of tones and a [[step ratio]] close to 1. If the step ratio is [[superparticular]], then it is also a [[maximally even]] scale. In that particular case, the resulting well temperament is not only a detemperament, but also a subset of a finer equal tuning, where individual steps are usually [[comma]]-sized. If the superset of the particular detemperament or deregularization is a fine enough equal tuning, it can have sisters with other [[superpartient]] step ratios.

Again, well temperaments designed through detempering could eventually be generalized to any circle of intervals with any equaves.

=== Neji ===
[[Neji]]s are [[primodal]] scales that more or less roughly approximate the equal tuning with the corresponding number of tones per equave. These scales achieve consonance by ensuring that all intervals share a relatively small common denominator, instead of focusing on a few very simple intervals such as the perfect fifth ([[3/2]]) or the classical major third ([[5/4]]).

== Relation to regular temperaments ==
Through the lens of regular temperament theory, a well temperament can be viewed as a result of applying an irregular [[tuning map]] to the abstract intervals of an [[equal temperament]] (i.e. a rank-1 abstract regular temperament), though tuning maps in the technical sense are defined to be regular. However, note that when nejis are considered well temperaments in this sense, the JI ratios the intervals are said to represent and the actual JI ratios of the neji tuning must be distinguished, and the JI ratios that occur in the neji should not be assumed to be consistent with the val.

== External links ==
* [http://www.kylegann.com/histune.html An Introduction to Historical Tunings] by [[Kyle Gann]]
* [http://lumma.org/tuning/gws/circ.html Circulating Temperaments] by [[Gene Ward Smith]]
* [https://www.math.uwaterloo.ca/%7Emrubinst/tuning/tuning.html Well v.s. Equal Temperament] by Michael Rubinstein
* [http://www.piano-tuners.org/edfoote/well_tempered_piano.html Six Degrees Of Tonality: The Well Tempered Piano] by Edward Foote
* [http://www.rollingball.com/TemperamentsFrames.htm Temperaments Visualized] by Jason Kanter

[[Category:Well temperament| ]] 
[[Category:Historical]][[Category:Regular temperament theory]]