スーパーパーティキュラー - 版の履歴

2025年11月22日 (土) 04:15にDummy indexによる

2025-11-22T04:15:40Z

← 古い版		2025年11月22日 (土) 04:15時点における版
2行目:		2行目:
	\| en = Superparticular ratio		\| en = Superparticular ratio
	}}		}}
	数学における'''スーパーパーティキュラー''' (英: superparticular ratio, epimoric ratio) ~~は、連続する2つの整数による比または分数で、1より大きいものである。部分超過比または単部分超過比と訳されることがある（ようだ）。~~		数学における'''スーパーパーティキュラー''' (英: superparticular ratio, epimoric ratio) は、連続する2つの整数による比または分数で、1より大きいものである。超一比、部分超過比または単部分超過比と訳されることがある。

	次のような形をとる:		次のような形をとる:
12行目:		12行目:
	既約で分母と分子の差が2以上の分数をsuperpartient ratioという。		既約で分母と分子の差が2以上の分数をsuperpartient ratioという。

	分母と分子の差を一般化する用語が提案されている。{{en仮リンク\|デルタ-N 比\|delta-N}}は分子が分母より ''N'' だけ大きい比である。なのでデルタ1比はスーパーパーティキュラーを意味する。		分母と分子の差を一般化する用語が提案されている。{{en仮リンク\|デルタ-N 比\|delta-N ratio}}は分子が分母より ''N'' だけ大きい比である。なのでデルタ1比はスーパーパーティキュラーを意味する。

	== 語源 ==		== 語源 ==
18行目:		18行目:

	== 定義 ==		== 定義 ==
	~~古代ギリシャから19世紀頃まで、superparticularは2数の関係を表す用語だった。~~"When one number contains the whole of another in itself, and some part of it besides, it is called superparticular."<ref>Taylor, Thomas (1816), ''[https://books.google.com.au/books?id=VuY3AAAAMAAJ Theoretic Arithmetic, in Three Books]'', p. 37</ref>（2数をAとBと呼ぶことにして、AがBを丸ごと含み、さらにBの等分したものを1個加えたものである場合、AはBのsuperparticularと呼ばれる。）現代では、"... is superparticular"という表現はひとつの分数または比（または純正音程）に対して使われる。古い定義での2数を分数にして約分すると、新しい定義のsuperparticular ratioが得られる。言い換えると、分数がスーパーパーティキュラーであるとは、約分されていることを前提として、分子を分母で割り算すると1余り1になるということである。		古代ギリシャからの用法として、superparticularは2数の関係を表す用語だった。"When one number contains the whole of another in itself, and some part of it besides, it is called superparticular."<ref>Taylor, Thomas (1816), ''[https://books.google.com.au/books?id=VuY3AAAAMAAJ Theoretic Arithmetic, in Three Books]'', p. 37</ref>（2数をAとBと呼ぶことにして、AがBを丸ごと含み、さらにBの等分したものを1個加えたものである場合、AはBのsuperparticularと呼ばれる。）現代では、"... is superparticular"という表現はひとつの分数または比（または純正音程）に対して使われる。古い定義での2数を分数にして約分すると、新しい定義のsuperparticular ratioが得られる。言い換えると、分数がスーパーパーティキュラーであるとは、約分されていることを前提として、分子を分母で割り算すると1余り1になるということである。

	ほぼすべての場合で古い定義から作った比と新しい定義（<math>\frac{n + 1}{n}</math>、ここで <math>n</math> は正整数）は一致する。[[2/1]] の場合だけ食い違いを見せる。伝統的ギリシャ算術によると、2/1 は比というより倍数である。割り算も2余り0となる。この視点によれば倍数とスーパーパーティキュラーは重なりのないカテゴリーと考えることができる。音楽の言葉で言えば、2/1 は基本周波数の整数倍の音程であり、その他のスーパーパーティキュラーはそうではないことを定義において考慮したらどうかということである。		ほぼすべての場合で古い定義から作った比と新しい定義（<math>\frac{n + 1}{n}</math>、ここで <math>n</math> は正整数）は一致する。[[2/1]] の場合だけ食い違いを見せる。伝統的ギリシャ算術によると、2/1 は比というより倍数である。割り算も2余り0となる。この視点によれば倍数とスーパーパーティキュラーは重なりのないカテゴリーと考えることができる。音楽の言葉で言えば、2/1 は基本周波数の整数倍の音程であり、その他のスーパーパーティキュラーはそうではないことを定義において考慮したらどうかということである。
43行目:		43行目:
	* ''multiple superparticular'' 分子割る分母が''m''余り1である。''m''=2 の時duple、''m''=3 の時triple、…<ref>Taylor, Thomas (1816), ''[https://books.google.com.au/books?id=VuY3AAAAMAAJ Theoretic Arithmetic, in Three Books]'', p. 45-50</ref>		* ''multiple superparticular'' 分子割る分母が''m''余り1である。''m''=2 の時duple、''m''=3 の時triple、…<ref>Taylor, Thomas (1816), ''[https://books.google.com.au/books?id=VuY3AAAAMAAJ Theoretic Arithmetic, in Three Books]'', p. 45-50</ref>

	~~"メタ"な方向の一般化により、~~[[平方スーパーパーティキュラー]]と[[ウルトラパーティキュラー]]が生まれた。隣接する整数の間の比としてスーパーパーティキュラーがあり、隣接するスーパーパーティキュラーの間の比を取ると平方スーパーパーティキュラーになり、隣接する平方スーパーパーティキュラーの間の比がウルトラパーティキュラーと命名された。これにより多くの既知のコンマを含む無数のコンマファミリーに対する説明ができるようになる。 A notable property is that just as "all superpartient ratios can be constructed as products of [~~consecutive~~] ~~superparticular numbers", all ratios between two superparticular intervals (e.g~~ ([[8/7]])/([[11/10]]) = 80/~~77) can be constructed as a product of consecutive square superparticular numbers (e.g~~ [[64/63]] * [[81/80]] * [[100/99]] = S8 * S9 * ~~S10), for the same algebraic reason as in the corresponding case of superpartient ratios. (There is a corresponding analogy with ultraparticulars too, for the same reason.)~~		「メタ」な方向の一般化により、[[平方スーパーパーティキュラー]]と[[ウルトラパーティキュラー]]が生まれた。隣接する整数の間の比としてスーパーパーティキュラーがあり、隣接するスーパーパーティキュラーの間の比を取ると平方スーパーパーティキュラーになり、隣接する平方スーパーパーティキュラーの間の比がウルトラパーティキュラーと命名された。これにより多くの既知のコンマを含む無数のコンマファミリーに対する説明ができるようになる。重要な性質として、「任意のsuperpartient ratioは（連続する）スーパーパーティキュラーの積として書ける（例えば[[7/4\|(7)/(4)]] = 5/4 * 6/5 * 7/6）」のと同様に、任意の2つのスーパーパーティキュラーの間の比（例えば([[8/7]])/([[11/10]]) = 80/77）は連続する平方スーパーパーティキュラーの積として書ける（[[64/63]] * [[81/80]] * [[100/99]] = S8 * S9 * S10）。ウルトラパーティキュラーの場合でも同様である。
	<pre>（除算の方向をそろえるために1行目を単位分数にしてある）		<pre>（除算の方向をそろえるために1行目を単位分数にしてある）
	unit fraction (= one part) 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7		unit fraction (= one part) 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7
53行目:		53行目:
	== 関連項目 ==		== 関連項目 ==
	* {{en仮リンク\|スーパーパーティキュラー音程のリスト\|List of superparticular intervals}}		* {{en仮リンク\|スーパーパーティキュラー音程のリスト\|List of superparticular intervals}}
	* {{en仮リンク\|~~平方スーパーパーティキュラー~~\|~~Square superparticular~~}}		* {{en仮リンク\|S表現\|S-expression}}

	== 脚注 ==		== 脚注 ==

2025年11月3日 (月) 15:03にDummy indexによる

2025-11-03T15:03:14Z

← 古い版		2025年11月3日 (月) 15:03時点における版
2行目:		2行目:
	\| en = Superparticular ratio		\| en = Superparticular ratio
	}}		}}
	数学における'''スーパーパーティキュラー''' (英: superparticular ratio, epimoric ratio) ~~は、連続する2つの整数による比または分数（隣接整数比）で、1より大きいものである。~~		数学における'''スーパーパーティキュラー''' (英: superparticular ratio, epimoric ratio) は、連続する2つの整数による比または分数で、1より大きいものである。部分超過比または単部分超過比と訳されることがある（ようだ）。

	次のような形をとる:		次のような形をとる:

2024年8月14日 (水) 14:33にDummy indexによる

2024-08-14T14:33:41Z

← 古い版		2024年8月14日 (水) 14:33時点における版
51行目:		51行目:
	</pre>		</pre>

	== ~~See also~~ ==		== 関連項目 ==
	* {{en仮リンク\|スーパーパーティキュラー音程のリスト\|List of superparticular intervals}}		* {{en仮リンク\|スーパーパーティキュラー音程のリスト\|List of superparticular intervals}}
	* {{en仮リンク\|平方スーパーパーティキュラー\|Square superparticular}}		* {{en仮リンク\|平方スーパーパーティキュラー\|Square superparticular}}

	== ~~References~~ ==		== 脚注 ==
	<references />		<references />

	== ~~External links~~ ==		== 外部リンク ==
	* [http://forum.sagittal.org/viewtopic.php?f=4&t=410 Generalisation of the terms "epimoric" and "superparticular" as applied to ratios] on the Sagittal forum		* [http://forum.sagittal.org/viewtopic.php?f=4&t=410 Generalisation of the terms "epimoric" and "superparticular" as applied to ratios] on the Sagittal forum

2024年8月10日 (土) 14:37にDummy indexによる

2024-08-10T14:37:44Z

← 古い版		2024年8月10日 (土) 14:37時点における版
1行目:		1行目:
			{{interwiki
			\| en = Superparticular ratio
			}}
	数学における'''スーパーパーティキュラー''' (英: superparticular ratio, epimoric ratio) は、連続する2つの整数による比または分数（隣接整数比）で、1より大きいものである。		数学における'''スーパーパーティキュラー''' (英: superparticular ratio, epimoric ratio) は、連続する2つの整数による比または分数（隣接整数比）で、1より大きいものである。

40行目:		43行目:
	* ''multiple superparticular'' 分子割る分母が''m''余り1である。''m''=2 の時duple、''m''=3 の時triple、…<ref>Taylor, Thomas (1816), ''[https://books.google.com.au/books?id=VuY3AAAAMAAJ Theoretic Arithmetic, in Three Books]'', p. 45-50</ref>		* ''multiple superparticular'' 分子割る分母が''m''余り1である。''m''=2 の時duple、''m''=3 の時triple、…<ref>Taylor, Thomas (1816), ''[https://books.google.com.au/books?id=VuY3AAAAMAAJ Theoretic Arithmetic, in Three Books]'', p. 45-50</ref>

	"メタ"な方向の一般化により、[[平方スーパーパーティキュラー]]と[[ウルトラパーティキュラー]]が生まれた。隣接する整数の間の比としてスーパーパーティキュラーがあり、隣接するスーパーパーティキュラーの間の比を取ると平方スーパーパーティキュラーになり、隣接する平方スーパーパーティキュラーの間の比がウルトラパーティキュラーと命名された。これにより多くの既知のコンマを含む無数のコンマファミリーに対する説明ができるようになる。 A notable property is that just as "all [[superpartient ~~ratio]]s~~ can be constructed as products of [consecutive] superparticular numbers", all ratios between two superparticular intervals (e.g ([[8/7]])/([[11/10]]) = 80/77) can be constructed as a product of consecutive [[square superparticular]] numbers (e.g [[64/63]] * [[81/80]] * [[100/99]] = S8 * S9 * S10), for the same algebraic reason as in the corresponding case of [[superpartient ~~ratio]]s~~. (There is a corresponding analogy with ultraparticulars too, for the same reason.)		"メタ"な方向の一般化により、[[平方スーパーパーティキュラー]]と[[ウルトラパーティキュラー]]が生まれた。隣接する整数の間の比としてスーパーパーティキュラーがあり、隣接するスーパーパーティキュラーの間の比を取ると平方スーパーパーティキュラーになり、隣接する平方スーパーパーティキュラーの間の比がウルトラパーティキュラーと命名された。これにより多くの既知のコンマを含む無数のコンマファミリーに対する説明ができるようになる。 A notable property is that just as "all superpartient ratios can be constructed as products of [consecutive] superparticular numbers", all ratios between two superparticular intervals (e.g ([[8/7]])/([[11/10]]) = 80/77) can be constructed as a product of consecutive square superparticular numbers (e.g [[64/63]] * [[81/80]] * [[100/99]] = S8 * S9 * S10), for the same algebraic reason as in the corresponding case of superpartient ratios. (There is a corresponding analogy with ultraparticulars too, for the same reason.)
	<pre>（除算の方向をそろえるために1行目を単位分数にしてある）		<pre>（除算の方向をそろえるために1行目を単位分数にしてある）
	unit fraction (= one part) 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7		unit fraction (= one part) 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7

Dummy index: Dummy index がページ「利用者:Dummy index/隣接整数比」を「スーパーパーティキュラー」に移動しました

2024-08-10T13:17:46Z

Dummy index がページ「利用者:Dummy index/隣接整数比」を「スーパーパーティキュラー」に移動しました

← 古い版	2024年8月10日 (土) 13:17時点における版
(相違点なし)

Dummy index: /* 一般化 */

2024-08-10T13:07:45Z

一般化

← 古い版		2024年8月10日 (土) 13:07時点における版
40行目:		40行目:
	* ''multiple superparticular'' 分子割る分母が''m''余り1である。''m''=2 の時duple、''m''=3 の時triple、…<ref>Taylor, Thomas (1816), ''[https://books.google.com.au/books?id=VuY3AAAAMAAJ Theoretic Arithmetic, in Three Books]'', p. 45-50</ref>		* ''multiple superparticular'' 分子割る分母が''m''余り1である。''m''=2 の時duple、''m''=3 の時triple、…<ref>Taylor, Thomas (1816), ''[https://books.google.com.au/books?id=VuY3AAAAMAAJ Theoretic Arithmetic, in Three Books]'', p. 45-50</ref>

	~~Generalisation in the~~ "~~meta~~" ~~direction gives rise to~~ [[~~square superparticular~~]]~~s and then~~ [[~~ultraparticular~~]]s, under the idea that if a superparticular is the difference between two adjacent harmonics then a square superparticular is the difference between two adjacent superparticulars and an ultraparticular is the difference between two adjacent square superparticulars. This gives rise to descriptions of infinite comma families of which many known commas are examples. A notable property is that just as "all [[superpartient ratio]]s can be constructed as products of [consecutive] superparticular numbers", all ratios between two superparticular intervals (e.g ([[8/7]])/([[11/10]]) = 80/77) can be constructed as a product of consecutive [[square superparticular]] numbers (e.g [[64/63]] * [[81/80]] * [[100/99]] = S8 * S9 * S10), for the same algebraic reason as in the corresponding case of [[superpartient ratio]]s. (There is a corresponding analogy with ultraparticulars too, for the same reason.)		"メタ"な方向の一般化により、[[平方スーパーパーティキュラー]]と[[ウルトラパーティキュラー]]が生まれた。隣接する整数の間の比としてスーパーパーティキュラーがあり、隣接するスーパーパーティキュラーの間の比を取ると平方スーパーパーティキュラーになり、隣接する平方スーパーパーティキュラーの間の比がウルトラパーティキュラーと命名された。これにより多くの既知のコンマを含む無数のコンマファミリーに対する説明ができるようになる。 A notable property is that just as "all [[superpartient ratio]]s can be constructed as products of [consecutive] superparticular numbers", all ratios between two superparticular intervals (e.g ([[8/7]])/([[11/10]]) = 80/77) can be constructed as a product of consecutive [[square superparticular]] numbers (e.g [[64/63]] * [[81/80]] * [[100/99]] = S8 * S9 * S10), for the same algebraic reason as in the corresponding case of [[superpartient ratio]]s. (There is a corresponding analogy with ultraparticulars too, for the same reason.)
	<pre>		<pre>（除算の方向をそろえるために1行目を単位分数にしてある）
	unit fraction (= one part) 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7		unit fraction (= one part) 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7
	superparticular 2/1 3/2 4/3 5/4 6/5 7/6		superparticular 2/1 3/2 4/3 5/4 6/5 7/6
	square superparticular 4/3 9/8 16/15 25/24 36/35		square superparticular 4/3 9/8 16/15 25/24 36/35
	ultraparticular 32/27 135/128 128/125 875/864		ultraparticular 32/27 135/128 128/125 875/864
	</pre>		</pre>

Dummy index: 隣接整数比→スーパーパーティキュラー

2024-08-10T12:25:45Z

隣接整数比→スーパーパーティキュラー

← 古い版		2024年8月10日 (土) 12:25時点における版
1行目:		1行目:
	数学における'''~~隣接整数比~~''' (英: superparticular ratio, epimoric ratio) ~~は、連続する2つの整数による比である。~~		数学における'''スーパーパーティキュラー''' (英: superparticular ratio, epimoric ratio) は、連続する2つの整数による比または分数（隣接整数比）で、1より大きいものである。

	次のような形をとる:		次のような形をとる:
5行目:		5行目:
	ここで <math>n</math> は正整数。ただし 2/1 (n=1) を含まないという流儀もあり、必要なら都度定義するのがよい。		ここで <math>n</math> は正整数。ただし 2/1 (n=1) を含まないという流儀もあり、必要なら都度定義するのがよい。

	（英語と違って"隣接整数比"では1より大きい数ということが明示されていないが、訳の工夫で対応する。reciprocal of a superparticular ratioは直訳して隣接整数比の逆数としてもよいが、1未満の隣接整数比とか、下隣接整数比といった用語を用意するのがよさそう）		スーパーパーティキュラーは[[純正律]]に頻出する。倍音列の連続する2音はスーパーパーティキュラー音程となる。例えば第20倍音と第21倍音は [[21/20]] だけ隔たっている。上のほうに行くほど倍音の間隔（周波数の差ではなく比として）は狭まっていくので、スーパーパーティキュラー比も小さくなっていく。このため、スーパーパーティキュラーを調べることは整数比調律システムの中の簡単かつ小さい音程について調べることを意味する。実に、全てではないが多くの[[コンマ]]がスーパーパーティキュラーとなっている。

	~~隣接整数比は~~[[純正律]]~~に頻出する。倍音列の連続する2音は隣接整数比音程となる。例えば第20倍音と第21倍音は~~ [[21/20]] だけ隔たっている。上のほうに行くほど倍音の間隔（周波数の差ではなく比として）は狭まっていくので、隣接整数比も小さくなっていく。このため、隣接整数比を調べることは整数比調律システムの中の簡単かつ小さい音程について調べることを意味する。実に、全てではないが多くの[[コンマ]]~~が隣接整数比となっている。~~

	既約で分母と分子の差が2以上の分数をsuperpartient ratioという。		既約で分母と分子の差が2以上の分数をsuperpartient ratioという。

	分母と分子の差を一般化する用語が提案されている。{{en仮リンク\|デルタ-N 比\|delta-N}}は分子が分母より ''N'' ~~だけ大きい比である。なのでデルタ1比は隣接整数比を意味する。~~		分母と分子の差を一般化する用語が提案されている。{{en仮リンク\|デルタ-N 比\|delta-N}}は分子が分母より ''N'' だけ大きい比である。なのでデルタ1比はスーパーパーティキュラーを意味する。

	== 語源 ==		== 語源 ==
17行目:		15行目:

	== 定義 ==		== 定義 ==
	古代ギリシャから19世紀頃まで、superparticularは2数の関係を表す用語だった。"When one number contains the whole of another in itself, and some part of it besides, it is called superparticular."<ref>Taylor, Thomas (1816), ''[https://books.google.com.au/books?id=VuY3AAAAMAAJ Theoretic Arithmetic, in Three Books]'', p. 37</ref>（2数をAとBと呼ぶことにして、AがBを丸ごと含み、さらにBの等分したものを1個加えたものである場合、AはBのsuperparticularと呼ばれる。）現代では、"... is superparticular"という表現はひとつの分数または比（または純正音程）に対して使われる。古い定義での2数を分数にして約分すると、新しい定義のsuperparticular ratioが得られる。言い換えると、分数が隣接整数比であるとは、約分されていることを前提として、分子を分母で割り算すると1余り1になるということである。		古代ギリシャから19世紀頃まで、superparticularは2数の関係を表す用語だった。"When one number contains the whole of another in itself, and some part of it besides, it is called superparticular."<ref>Taylor, Thomas (1816), ''[https://books.google.com.au/books?id=VuY3AAAAMAAJ Theoretic Arithmetic, in Three Books]'', p. 37</ref>（2数をAとBと呼ぶことにして、AがBを丸ごと含み、さらにBの等分したものを1個加えたものである場合、AはBのsuperparticularと呼ばれる。）現代では、"... is superparticular"という表現はひとつの分数または比（または純正音程）に対して使われる。古い定義での2数を分数にして約分すると、新しい定義のsuperparticular ratioが得られる。言い換えると、分数がスーパーパーティキュラーであるとは、約分されていることを前提として、分子を分母で割り算すると1余り1になるということである。

	ほぼすべての場合で古い定義から作った比と新しい定義（<math>\frac{n + 1}{n}</math>、ここで <math>n</math> は正整数）は一致する。[[2/1]] の場合だけ食い違いを見せる。伝統的ギリシャ算術によると、2/1 は比というより倍数である。割り算も2余り0となる。この視点によれば倍数と隣接整数比は重なりのないカテゴリーと考えることができる。音楽の言葉で言えば、2/1 ~~は基本周波数の整数倍の音程であり、その他の隣接整数比はそうではないことを定義において考慮したらどうかということである。~~		ほぼすべての場合で古い定義から作った比と新しい定義（<math>\frac{n + 1}{n}</math>、ここで <math>n</math> は正整数）は一致する。[[2/1]] の場合だけ食い違いを見せる。伝統的ギリシャ算術によると、2/1 は比というより倍数である。割り算も2余り0となる。この視点によれば倍数とスーパーパーティキュラーは重なりのないカテゴリーと考えることができる。音楽の言葉で言えば、2/1 は基本周波数の整数倍の音程であり、その他のスーパーパーティキュラーはそうではないことを定義において考慮したらどうかということである。

	== 性質 ==		== 性質 ==
	~~隣接整数比の性質を以下に示す。~~		スーパーパーティキュラーの性質を以下に示す。

	* ~~隣接整数比音程の2音による~~{{w\|差音}}がミッシング・ファンダメンタルと一致する。		* スーパーパーティキュラー音程の2音による{{w\|差音}}がミッシング・ファンダメンタルと一致する。
	* ~~隣接整数比の最初の6個（~~[[3/2]], [[4/3]], [[5/4]], [[6/5]], [[7/6]], [[8/7]]）は{{en仮リンク\|ハーモニックエントロピー\|harmonic entropy}}の重要な極小点となる。		* スーパーパーティキュラー音程の最初の6個（[[3/2]], [[4/3]], [[5/4]], [[6/5]], [[7/6]], [[8/7]]）は{{en仮リンク\|ハーモニックエントロピー\|harmonic entropy}}の重要な極小点となる。
	* ~~2個の連続する隣接整数比の差（除算）は必ず隣接整数比になる。→~~{{en仮リンク\|~~平方隣接整数比~~\|square superparticular}}		* 2個の連続するスーパーパーティキュラーの差（除算）は必ずスーパーパーティキュラーになる。→{{en仮リンク\|平方スーパーパーティキュラー\|square superparticular}}
	* ~~2個の連続する隣接整数比の積み重ね（乗算）は約分されて隣接整数比になるか、そうでなければデルタ2比になる。~~		* 2個の連続するスーパーパーティキュラーの積み重ね（乗算）は約分されてスーパーパーティキュラーになるか、そうでなければデルタ2比になる。
	* ~~隣接整数比は2個の隣接整数比の積にすることができる。~~		* スーパーパーティキュラーは2個のスーパーパーティキュラーの積にすることができる。
	** <math>\frac{n+1}{n} = \frac{2n+1}{2n}\times\frac{2n+2}{2n+1}</math> である。例えば <math>\frac{9}{8} \times \frac{10}{9} = \frac{10}{8} = \frac{5 \times 2}{4 \times 2} = \frac{5}{4}</math> となる。（任意の項数に一般化できるのも明らか）		** <math>\frac{n+1}{n} = \frac{2n+1}{2n}\times\frac{2n+2}{2n+1}</math> である。例えば <math>\frac{9}{8} \times \frac{10}{9} = \frac{10}{8} = \frac{5 \times 2}{4 \times 2} = \frac{5}{4}</math> となる。（任意の項数に一般化できるのも明らか）
	** ほかの例として <math>\frac{12}{11} \times \frac{33}{32} = \frac{396}{352} = \frac{9 \times 44}{8 \times 44} = \frac{9}{8}</math>（4分割して小さいほうの3個をまとめて約分しただけともいう）		** ほかの例として <math>\frac{12}{11} \times \frac{33}{32} = \frac{396}{352} = \frac{9 \times 44}{8 \times 44} = \frac{9}{8}</math>（4分割して小さいほうの3個をまとめて約分しただけともいう）
	* {{w\|ファレイ数列}}の連続する2項を ''a''/''b'' と ''c''/''d'' とすると、それは ''a''/''b'' < ''c''/''d'' かつ ''bc'' - ''ad'' = 1 ということでもあるのだが、ゆえに (''c''/''d'')/(''a''/''b'') = ''bc''/''ad'' ~~は隣接整数比となる。~~		* {{w\|ファレイ数列}}の連続する2項を ''a''/''b'' と ''c''/''d'' とすると、それは ''a''/''b'' < ''c''/''d'' かつ ''bc'' - ''ad'' = 1 ということでもあるのだが、ゆえに (''c''/''d'')/(''a''/''b'') = ''bc''/''ad'' はスーパーパーティキュラーとなる。
	*		*
	* [[Wikipedia:en:Størmer's theorem\|Størmerの定理]]によると、それぞれの[[リミット]]~~において隣接整数比は有限個しかない。~~		* [[Wikipedia:en:Størmer's theorem\|Størmerの定理]]によると、それぞれの[[リミット]]においてスーパーパーティキュラーは有限個しかない。

	== 一般化 ==		== 一般化 ==
	Taylorは一般化した用語について記述している。		Taylorは一般化した用語について記述している。
	* （実のところ ''n'' の値ひとつづつに対応した用語があるのだが省略）		* （実のところ ''n'' の値ひとつづつに対応した用語があるのだが省略）
	* ''superbipartient'' (or ''odd-particulars''~~（''隣接奇数比''）~~) 分子割る分母が1余り2である、つまりデルタ2比のうち 5/3 以降が該当する。		* ''superbipartient'' (or ''odd-particulars'') 分子割る分母が1余り2である、つまりデルタ2比のうち 5/3 以降が該当する。
	* ''supertripartient'' (or ''throdd-particulars'') 分子割る分母が1余り3である、つまりデルタ3比のうち 7/4 以降が該当する。		* ''supertripartient'' (or ''throdd-particulars'') 分子割る分母が1余り3である、つまりデルタ3比のうち 7/4 以降が該当する。
	* ''multiple superparticular'' 分子割る分母が''m''余り1である。''m''=2 の時duple、''m''=3 の時triple、…<ref>Taylor, Thomas (1816), ''[https://books.google.com.au/books?id=VuY3AAAAMAAJ Theoretic Arithmetic, in Three Books]'', p. 45-50</ref>		* ''multiple superparticular'' 分子割る分母が''m''余り1である。''m''=2 の時duple、''m''=3 の時triple、…<ref>Taylor, Thomas (1816), ''[https://books.google.com.au/books?id=VuY3AAAAMAAJ Theoretic Arithmetic, in Three Books]'', p. 45-50</ref>
51行目:		49行目:

	== See also ==		== See also ==
	* [[List of superparticular intervals]]		* {{en仮リンク\|スーパーパーティキュラー音程のリスト\|List of superparticular intervals}}
	* [[Square superparticular]]		* {{en仮リンク\|平方スーパーパーティキュラー\|Square superparticular}}

	== References ==		== References ==

Dummy index: /* 一般化 */

2024-08-09T15:48:28Z

一般化

← 古い版		2024年8月9日 (金) 15:48時点における版
37行目:		37行目:
	== 一般化 ==		== 一般化 ==
	Taylorは一般化した用語について記述している。		Taylorは一般化した用語について記述している。
	* （実のところ ''n'' ~~の値ひとつづつに対応した用語があるのだが、現代ではすたれているので略）~~		* （実のところ ''n'' の値ひとつづつに対応した用語があるのだが省略）
	* ''superbipartient'' (or ''odd-particulars''（''隣接奇数比''）) 分子割る分母が1余り2である、つまりデルタ2比のうち 5/3 以降が該当する。		* ''superbipartient'' (or ''odd-particulars''（''隣接奇数比''）) 分子割る分母が1余り2である、つまりデルタ2比のうち 5/3 以降が該当する。
	* ''supertripartient'' (or ''throdd-particulars'') 分子割る分母が1余り3である、つまりデルタ3比のうち 7/4 以降が該当する。		* ''supertripartient'' (or ''throdd-particulars'') 分子割る分母が1余り3である、つまりデルタ3比のうち 7/4 以降が該当する。
43行目:		43行目:

	Generalisation in the "meta" direction gives rise to [[square superparticular]]s and then [[ultraparticular]]s, under the idea that if a superparticular is the difference between two adjacent harmonics then a square superparticular is the difference between two adjacent superparticulars and an ultraparticular is the difference between two adjacent square superparticulars. This gives rise to descriptions of infinite comma families of which many known commas are examples. A notable property is that just as "all [[superpartient ratio]]s can be constructed as products of [consecutive] superparticular numbers", all ratios between two superparticular intervals (e.g ([[8/7]])/([[11/10]]) = 80/77) can be constructed as a product of consecutive [[square superparticular]] numbers (e.g [[64/63]] * [[81/80]] * [[100/99]] = S8 * S9 * S10), for the same algebraic reason as in the corresponding case of [[superpartient ratio]]s. (There is a corresponding analogy with ultraparticulars too, for the same reason.)		Generalisation in the "meta" direction gives rise to [[square superparticular]]s and then [[ultraparticular]]s, under the idea that if a superparticular is the difference between two adjacent harmonics then a square superparticular is the difference between two adjacent superparticulars and an ultraparticular is the difference between two adjacent square superparticulars. This gives rise to descriptions of infinite comma families of which many known commas are examples. A notable property is that just as "all [[superpartient ratio]]s can be constructed as products of [consecutive] superparticular numbers", all ratios between two superparticular intervals (e.g ([[8/7]])/([[11/10]]) = 80/77) can be constructed as a product of consecutive [[square superparticular]] numbers (e.g [[64/63]] * [[81/80]] * [[100/99]] = S8 * S9 * S10), for the same algebraic reason as in the corresponding case of [[superpartient ratio]]s. (There is a corresponding analogy with ultraparticulars too, for the same reason.)
			<pre>
			unit fraction (= one part) 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7
			superparticular 2/1 3/2 4/3 5/4 6/5 7/6
			square superparticular 4/3 9/8 16/15 25/24 36/35
			ultraparticular 32/27 135/128 128/125 875/864
			</pre>

	== See also ==		== See also ==

2024年8月9日 (金) 15:15にDummy indexによる

2024-08-09T15:15:03Z

← 古い版		2024年8月9日 (金) 15:15時点における版
29行目:		29行目:
	* 2個の連続する隣接整数比の積み重ね（乗算）は約分されて隣接整数比になるか、そうでなければデルタ2比になる。		* 2個の連続する隣接整数比の積み重ね（乗算）は約分されて隣接整数比になるか、そうでなければデルタ2比になる。
	* 隣接整数比は2個の隣接整数比の積にすることができる。		* 隣接整数比は2個の隣接整数比の積にすることができる。
	** <math>\frac{n+1}{n} = \frac{2n+1}{2n}\times\frac{2n+2}{2n+1}</math> である。例えば <math>\frac{9}{8} \times \frac{10}{9} = \frac{10}{8} = \frac{5 \times 2}{4 \times 2} = \frac{5}{4}</math> ~~となる。~~		** <math>\frac{n+1}{n} = \frac{2n+1}{2n}\times\frac{2n+2}{2n+1}</math> である。例えば <math>\frac{9}{8} \times \frac{10}{9} = \frac{10}{8} = \frac{5 \times 2}{4 \times 2} = \frac{5}{4}</math> となる。（任意の項数に一般化できるのも明らか）
	** ほかの例として <math>\frac{12}{11} \times \frac{33}{32} = \frac{396}{352} = \frac{9 \times 44}{8 \times 44} = \frac{9}{8}</math>（4分割して小さいほうの3個をまとめて約分しただけともいう）		** ほかの例として <math>\frac{12}{11} \times \frac{33}{32} = \frac{396}{352} = \frac{9 \times 44}{8 \times 44} = \frac{9}{8}</math>（4分割して小さいほうの3個をまとめて約分しただけともいう）
	* {{w\|ファレイ数列}}の連続する2項を ''a''/''b'' と ''c''/''d'' とすると、それは ''a''/''b'' < ''c''/''d'' かつ ''bc'' - ''ad'' = 1 ということでもあるのだが、ゆえに (''c''/''d'')/(''a''/''b'') = ''bc''/''ad'' は隣接整数比となる。		* {{w\|ファレイ数列}}の連続する2項を ''a''/''b'' と ''c''/''d'' とすると、それは ''a''/''b'' < ''c''/''d'' かつ ''bc'' - ''ad'' = 1 ということでもあるのだが、ゆえに (''c''/''d'')/(''a''/''b'') = ''bc''/''ad'' は隣接整数比となる。
35行目:		35行目:
	* [[Wikipedia:en:Størmer's theorem\|Størmerの定理]]によると、それぞれの[[リミット]]において隣接整数比は有限個しかない。		* [[Wikipedia:en:Størmer's theorem\|Størmerの定理]]によると、それぞれの[[リミット]]において隣接整数比は有限個しかない。

	== ~~Generalizations~~ ==		== 一般化 ==
	~~Taylor describes generalizations of the superparticulars:~~		Taylorは一般化した用語について記述している。
	* ''~~superbiparticulars~~'' (or ''odd-particulars'') ~~are those where the denominator divides into the numerator once, but leaves a remainder of two (such as~~ 5/3)		* （実のところ ''n'' の値ひとつづつに対応した用語があるのだが、現代ではすたれているので略）
	* ''~~supertriparticulars~~'' (or ''throdd-particulars'') ~~are those where the denominator divides into the numerator once, but leaves a remainder of three (such as 25~~/~~22)~~		* ''superbipartient'' (or ''odd-particulars''（''隣接奇数比''）) 分子割る分母が1余り2である、つまりデルタ2比のうち 5/3 以降が該当する。
	* ''~~double superparticulars~~'' ~~are those where the denominator divides into the numerator twice, leaving a remainder of one (such as 5/~~2)		* ''supertripartient'' (or ''throdd-particulars'') 分子割る分母が1余り3である、つまりデルタ3比のうち 7/4 以降が該当する。
	* one can go on and on, with e.g. ''~~triple supertriparticulars~~''~~, where both the divisions and the remainder are~~ 3 ~~(such as 15/4).~~<ref>Taylor, Thomas (1816), ''[https://books.google.com.au/books?id=VuY3AAAAMAAJ Theoretic Arithmetic, in Three Books]'', p. 45-50</ref>		* ''multiple superparticular'' 分子割る分母が''m''余り1である。''m''=2 の時duple、''m''=3 の時triple、…<ref>Taylor, Thomas (1816), ''[https://books.google.com.au/books?id=VuY3AAAAMAAJ Theoretic Arithmetic, in Three Books]'', p. 45-50</ref>

	Generalisation in the "meta" direction gives rise to [[square superparticular]]s and then [[ultraparticular]]s, under the idea that if a superparticular is the difference between two adjacent harmonics then a square superparticular is the difference between two adjacent superparticulars and an ultraparticular is the difference between two adjacent square superparticulars. This gives rise to descriptions of infinite comma families of which many known commas are examples. A notable property is that just as "all [[superpartient ratio]]s can be constructed as products of [consecutive] superparticular numbers", all ratios between two superparticular intervals (e.g ([[8/7]])/([[11/10]]) = 80/77) can be constructed as a product of consecutive [[square superparticular]] numbers (e.g [[64/63]] * [[81/80]] * [[100/99]] = S8 * S9 * S10), for the same algebraic reason as in the corresponding case of [[superpartient ratio]]s. (There is a corresponding analogy with ultraparticulars too, for the same reason.)		Generalisation in the "meta" direction gives rise to [[square superparticular]]s and then [[ultraparticular]]s, under the idea that if a superparticular is the difference between two adjacent harmonics then a square superparticular is the difference between two adjacent superparticulars and an ultraparticular is the difference between two adjacent square superparticulars. This gives rise to descriptions of infinite comma families of which many known commas are examples. A notable property is that just as "all [[superpartient ratio]]s can be constructed as products of [consecutive] superparticular numbers", all ratios between two superparticular intervals (e.g ([[8/7]])/([[11/10]]) = 80/77) can be constructed as a product of consecutive [[square superparticular]] numbers (e.g [[64/63]] * [[81/80]] * [[100/99]] = S8 * S9 * S10), for the same algebraic reason as in the corresponding case of [[superpartient ratio]]s. (There is a corresponding analogy with ultraparticulars too, for the same reason.)

2024年8月6日 (火) 13:45にDummy indexによる

2024-08-06T13:45:13Z

← 古い版		2024年8月6日 (火) 13:45時点における版
17行目:		17行目:

	== 定義 ==		== 定義 ==
	古代ギリシャから19世紀頃まで、superparticularは2数の関係を表す用語だった。"When one number contains the whole of another in itself, and some part of it besides, it is called superparticular."<ref>Taylor, Thomas (1816), ''[https://books.google.com.au/books?id=VuY3AAAAMAAJ Theoretic Arithmetic, in Three Books]'', p. 37</ref>~~（2数をAとBと呼ぶことにして、AがBを丸ごと含み、さらにBの等分したものを1個加えたものである場合、Aはsuperparticularと呼ばれる。）~~ 現代では、"... is superparticular"という表現はひとつの分数または比（または純正音程）に対して使われる。古い定義での2数を分数にして約分すると、新しい定義のsuperparticular ratioが得られる。言い換えると、分数が隣接整数比であるとは、約分されていることを前提として、分子を分母で割り算すると1余り1になるということである。		古代ギリシャから19世紀頃まで、superparticularは2数の関係を表す用語だった。"When one number contains the whole of another in itself, and some part of it besides, it is called superparticular."<ref>Taylor, Thomas (1816), ''[https://books.google.com.au/books?id=VuY3AAAAMAAJ Theoretic Arithmetic, in Three Books]'', p. 37</ref>（2数をAとBと呼ぶことにして、AがBを丸ごと含み、さらにBの等分したものを1個加えたものである場合、AはBのsuperparticularと呼ばれる。）現代では、"... is superparticular"という表現はひとつの分数または比（または純正音程）に対して使われる。古い定義での2数を分数にして約分すると、新しい定義のsuperparticular ratioが得られる。言い換えると、分数が隣接整数比であるとは、約分されていることを前提として、分子を分母で割り算すると1余り1になるということである。

	ほぼすべての場合で古い定義から作った比と新しい定義（<math>\frac{n + 1}{n}</math>、ここで <math>n</math> は正整数）は一致する。[[2/1]] の場合だけ食い違いを見せる。伝統的ギリシャ算術によると、2/1 は比というより倍数である。割り算も2余り0となる。この視点によれば倍数と隣接整数比は重なりのないカテゴリーと考えることができる。音楽の言葉で言えば、2/1 は基本周波数の整数倍の音程であり、その他の隣接整数比はそうではないことを定義において考慮したらどうかということである。		ほぼすべての場合で古い定義から作った比と新しい定義（<math>\frac{n + 1}{n}</math>、ここで <math>n</math> は正整数）は一致する。[[2/1]] の場合だけ食い違いを見せる。伝統的ギリシャ算術によると、2/1 は比というより倍数である。割り算も2余り0となる。この視点によれば倍数と隣接整数比は重なりのないカテゴリーと考えることができる。音楽の言葉で言えば、2/1 は基本周波数の整数倍の音程であり、その他の隣接整数比はそうではないことを定義において考慮したらどうかということである。
25行目:		25行目:

	* 隣接整数比音程の2音による{{w\|差音}}がミッシング・ファンダメンタルと一致する。		* 隣接整数比音程の2音による{{w\|差音}}がミッシング・ファンダメンタルと一致する。
	* 隣接整数比の最初の6個（[[3/2]], [[4/3]], [[5/4]], [[6/5]], [[7/6]], [[8/7]]）は{{en仮リンク\|~~調和エントロピー~~\|harmonic entropy}}の重要な極小点となる。		* 隣接整数比の最初の6個（[[3/2]], [[4/3]], [[5/4]], [[6/5]], [[7/6]], [[8/7]]）は{{en仮リンク\|ハーモニックエントロピー\|harmonic entropy}}の重要な極小点となる。
	* 2個の連続する隣接整数比の差（除算）は必ず隣接整数比になる。→{{en仮リンク\|平方隣接整数比\|square superparticular}}		* 2個の連続する隣接整数比の差（除算）は必ず隣接整数比になる。→{{en仮リンク\|平方隣接整数比\|square superparticular}}
	* 2個の連続する隣接整数比の積み重ね（乗算）は約分されて隣接整数比になるか、そうでなければデルタ2比になる。		* 2個の連続する隣接整数比の積み重ね（乗算）は約分されて隣接整数比になるか、そうでなければデルタ2比になる。