テンパーアウト - 版の履歴

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			{{interwiki
			\| en = Tempering out
			\| ja = テンパーアウト
			}}
	'''テンパーアウト'''（tempering out）は[[レギュラーテンペラメント]]（ランク1の[[平均律]]も含む）が[[コンマ]]のような小さい音程に行う何かである: それを消す（disappear、''vanish''）。		'''テンパーアウト'''（tempering out）は[[レギュラーテンペラメント]]（ランク1の[[平均律]]も含む）が[[コンマ]]のような小さい音程に行う何かである: それを消す（disappear、''vanish''）。

2025年8月15日 (金) 15:31にDummy indexによる

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	'''テンパーアウト'''は[[レギュラーテンペラメント]]（ランク1の[[平均律]]も含む）が[[コンマ]]のような小さい音程に行う何かである: それを消す（disappear、''vanish''）。		'''テンパーアウト'''（tempering out）は[[レギュラーテンペラメント]]（ランク1の[[平均律]]も含む）が[[コンマ]]のような小さい音程に行う何かである: それを消す（disappear、''vanish''）。

	== 概要 ==		== 概要 ==
	音を[[周波数比率\|周波数比]]で表すとして、それを消すということは、それを 1/1 と同じものにするということである。1/1 を掛けても何も変わらない。音を[[セント]]で表すなら、それを 0 セントにするということである。0 セントを足しても何も変わらない。		音を[[周波数比率\|周波数比]]で表すとして、それを消すということは、それを 1/1 と同じものにするということである。1/1 を掛けても何も変わらない。音を[[セント]]で表すなら、それを 0 セントにするということである。0 セントを足しても何も変わらない。

	どちらの場合でも、それをするには我々のチューニングになにがしかの誤差を導入するということを意味する。例えば 3 を使いたい場合に代わりにわずかに大きいまたは小さい 3 を使う。どの素数にも誤差を導入することができ、コンマをひとつだけテンパーアウトするのなら任意の素数を選んで誤差なしにできる（不正確: ひとつだけとは限らないし反例）。実際、多くの人は純粋なオクターブを得るために 2 ~~を誤差なしにする。オクターブをテンパーする方向のチューニングもある。~~{{en仮リンク\|TOP tuning}}など。		どちらの場合でも、それをするには我々のチューニングになにがしかの誤差を導入するということを意味する。例えば 3 を使いたい場合に代わりにわずかに大きいまたは小さい 3 を使う。どの素数にも誤差を導入することができ、コンマをひとつだけテンパーアウトするのなら任意の素数を選んで誤差なしにできる<!--（抽象的なレギュラーテンペラメントの存在を前提にすれば任意の音程を選んで誤差なしにできるのは自明なので前件は的外れ…なお反例を構成するとすれば2リミットで 2/1 をテンパーアウトするランク0テンペラメント(0edo）となるがここで提示するようなものではない-->。実際、多くの人は純粋なオクターブを得るために 2 を誤差なしにする。オクターブをテンパーする方針のチューニング方法もある。{{en仮リンク\|TOP tuning}}など。

	== Tempering together ==		== Tempering together ==
	複数のコードや音程が''tempered toghether''されるというのは、それらの対応するステップの間の差（コンマ）が全て''テンパーアウト''されることをいう。もし2つのコードがtempered ~~togetherされると、そのテンペラメント上で両方のコードの表現（コードを構成するテンパーされた音程のセット）が同一になる。~~		複数のコードや音程が''tempered toghether''されるというのは、それらの対応するステップの間の差（コンマ）が全て''テンパーアウト''されることをいう。もし2つのコードがtempered togetherされると、そのテンペラメント上で両方のコードの表現（コードを構成するテンパーされた音程の一揃い）が同一になる。

	例えば、[[81/80]] をテンパーアウトする[[ミーントーン]]において、[[54:64:81]] (with steps 32/27, 81/64) と [[10:12:15]] (with steps 6/5, 5/4) がtempered togetherされる。なぜなら <math>\textstyle\frac{32}{27}\cdot\frac{81}{80} = \frac{6}{5}</math> かつ <math>\textstyle\frac{81}{64} = \frac{5}{4}\cdot\frac{81}{80}</math>だから、つまり 81/80 を 1/1 にするということは 32/27 と 6/5 を同じに、81/64 と 5/4 を同じにすることも意味するからである。		例えば、[[81/80]] をテンパーアウトする[[ミーントーン]]において、[[54:64:81]] (with steps 32/27, 81/64) と [[10:12:15]] (with steps 6/5, 5/4) がtempered togetherされる。なぜなら <math>\textstyle\frac{32}{27}\cdot\frac{81}{80} = \frac{6}{5}</math> かつ <math>\textstyle\frac{81}{64} = \frac{5}{4}\cdot\frac{81}{80}</math>だから、つまり 81/80 を 1/1 にするということは 32/27 と 6/5 を同じに、81/64 と 5/4 を同じにすることも意味するからである。
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	80 は 5×2×2×2×2 であるが、19edoの 44 + 19 + 19 + 19 + 19 = 120 ステップでもある。		80 は 5×2×2×2×2 であるが、19edoの 44 + 19 + 19 + 19 + 19 = 120 ステップでもある。

	81/80 は 81 倍のためのステップ数分だけ上がって、80 倍のためのステップ数分だけ下がることになる。120 ステップ－ 120 ステップ＝ 0 ステップ。		81/80 は 81 倍のためのステップ数分だけ上がって、80 倍のためのステップ数分だけ下がることになる。120 ステップ − 120 ステップ = 0 ステップ。

	モンゾに[[ヴァル]]を適用する<!--[[ヴァルと調律空間]]によれば（双対だとしてもどちらかというと）ヴァルのほうがhomomorphism扱いされているはず、原文のapplyは「申し込む」系の意味と考えればわからなくはない、「適用」と訳すには順番を変えたほうがよさそう-->のはもっと簡単である。モンゾの最初の数値（コンマに含まれている 2/1 の個数（符号付き重複度））掛けるヴァルの最初の数値（2/1 を構成するのに必要なステップ数）、足す、モンゾの2番目の数値掛けるヴァルの2番目の数値、足す、3番目掛ける3番目、である: (−4 × 19) + (4 × 30) + (−1 × 44) = 0 ステップ。		モンゾに[[ヴァル]]を適用する<!--[[ヴァルと調律空間]]によれば（双対だとしてもどちらかというと）ヴァルのほうがhomomorphism扱いされているはずだが原文ではヴァルにモンゾをapplyする形になっている、分野によってはこの向きで表現することもあるみたい、でもやっぱり順番を変えてしまおう-->のはもっと簡単である。モンゾの最初の数値（コンマに含まれている 2/1 の個数（符号付き重複度））掛けるヴァルの最初の数値（2/1 を構成するのに必要なステップ数）、足す、モンゾの2番目の数値掛けるヴァルの2番目の数値、足す、3番目掛ける3番目、である: (−4 × 19) + (4 × 30) + (−1 × 44) = 0 ステップ。

	なので、19平均律において 81/80 ~~を任意の音程に加える（掛ける）ことは19edoの0ステップを加えることで、つまり~~ 81/80 は''テンパーアウト''されている。		なので、19平均律において 81/80 を任意の音程に加える（掛ける）ことは19edoの 0 ステップを加えることで、つまり 81/80 は''テンパーアウト''されている。

	=== 2. ~~Painstakingly doing the math~~ ===		=== 2. 骨折り計算 ===
	~~We say that~~ 30 ~~steps of 19edo gets you to~~ 3/1~~, but, as we say above, that is an error. One step of 19edo is the 19th root of 2, or~~ 2~~<sup>1/19</sup>, or approximately~~ 1.~~037155. (That is 63~~.157895 ~~cents.) If you multiply that by itself~~ 19 ~~times, you get exactly~~ 2~~. But if you multiply that by itself~~ 30 ~~times, you do not get~~ 3~~: You get~~ 2.987518~~. Similarly, multiplying it by 44 steps gets you~~ 4.97877 ~~instead of 5.~~		我々は19edoの 30 ステップが 3/1 になると言っているが、上記の通り、誤りである。19edoの1ステップは 2 の19乗根、およそ 1.037155である。（63.157895 セント。）これを 19 回掛けると正確に 2 になる。しかしこれを 30 回掛けても 3 にはならず 2.987518 になる。同様に、44 回掛けても 5 ではなく 4.97877 になる。

	~~If we plug in these values into~~ 81/80~~, we see that 81~~/80 ~~is tempered out~~:		これらの値を 81/80 に使ってみると、81/80 がテンパーアウトされることがわかる:

	<pre>		<pre>
	81/80 = 3333 / 52222 = (3^4) / (5)(2^4). // ~~Substitute our values and you get~~		81/80 = 3333 / 52222 = (3^4) / (5)(2^4). // 素因数分解して含まれている3や5を明らかに

	(2.987518 ^ 4) / (4.97877)*(2^4)		(2.987518 ^ 4) / (4.97877)*(2^4)
43行目:		43行目:
	= 79.660326 / 79.660326		= 79.660326 / 79.660326
	= 1/1		= 1/1

			// (2^(30/19)^4) / (2^(44/19))*(2^(19/19)^4) であることがわかっていればヴァルのステップを数えるのと全く同じで、浮動小数点数の精度とか気にせずに計算できるのだが、実用上はこれで何とかなることは多い
	</pre>		</pre>

2025年8月14日 (木) 14:06にDummy indexによる

2025-08-14T14:06:49Z

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	音を[[周波数比率\|周波数比]]で表すとして、それを消すということは、それを 1/1 と同じものにするということである。1/1 を掛けても何も変わらない。音を[[セント]]で表すなら、それを 0 セントにするということである。0 セントを足しても何も変わらない。		音を[[周波数比率\|周波数比]]で表すとして、それを消すということは、それを 1/1 と同じものにするということである。1/1 を掛けても何も変わらない。音を[[セント]]で表すなら、それを 0 セントにするということである。0 セントを足しても何も変わらない。

	どちらの場合でも、それをするには我々のチューニングになにがしかの誤差を導入するということを意味する。例えば 3 を使いたい場合に代わりにわずかに大きいまたは小さい 3 を使う。どの素数にも誤差を導入することができ、コンマをひとつだけテンパーアウトするのなら任意の素数を選んで誤差なしにできる（不正確: ~~ひとつだけとは限らない）。実際、多くの人は純粋なオクターブを得るために~~ 2 を誤差なしにする。オクターブをテンパーする方向のチューニングもある。{{en仮リンク\|TOP tuning}}など。		どちらの場合でも、それをするには我々のチューニングになにがしかの誤差を導入するということを意味する。例えば 3 を使いたい場合に代わりにわずかに大きいまたは小さい 3 を使う。どの素数にも誤差を導入することができ、コンマをひとつだけテンパーアウトするのなら任意の素数を選んで誤差なしにできる（不正確: ひとつだけとは限らないし反例）。実際、多くの人は純粋なオクターブを得るために 2 を誤差なしにする。オクターブをテンパーする方向のチューニングもある。{{en仮リンク\|TOP tuning}}など。

	== Tempering together ==		== Tempering together ==
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	例えば、[[81/80]] をテンパーアウトする[[ミーントーン]]において、[[54:64:81]] (with steps 32/27, 81/64) と [[10:12:15]] (with steps 6/5, 5/4) がtempered togetherされる。なぜなら <math>\textstyle\frac{32}{27}\cdot\frac{81}{80} = \frac{6}{5}</math> かつ <math>\textstyle\frac{81}{64} = \frac{5}{4}\cdot\frac{81}{80}</math>だから、つまり 81/80 を 1/1 にするということは 32/27 と 6/5 を同じに、81/64 と 5/4 を同じにすることも意味するからである。		例えば、[[81/80]] をテンパーアウトする[[ミーントーン]]において、[[54:64:81]] (with steps 32/27, 81/64) と [[10:12:15]] (with steps 6/5, 5/4) がtempered togetherされる。なぜなら <math>\textstyle\frac{32}{27}\cdot\frac{81}{80} = \frac{6}{5}</math> かつ <math>\textstyle\frac{81}{64} = \frac{5}{4}\cdot\frac{81}{80}</math>だから、つまり 81/80 を 1/1 にするということは 32/27 と 6/5 を同じに、81/64 と 5/4 を同じにすることも意味するからである。

	== ~~Example~~ ==		== 例 ==
	~~The syntonic comma is 81~~/~~80. That is~~ {~~{sfrac\|~~3~~<sup>~~4~~</sup>\|~~2~~<sup>~~4</~~sup~~> ~~× 5}} or, in~~ [[~~monzo~~]] ~~form,~~ {{monzo\| -4 4 -1}}.		シントニックコンマ（81/80）は <math>\textstyle\frac{3^4}{2^4 \times 5}</math> または、[[モンゾ]]で書くと {{monzo\| -4 4 -1}} となる。

	~~19edo tempers out~~ 81/80~~. (Technically, we should say that 19edo tempers out 81/80 when you use the [[patent val]].) You can see this in several ways~~:		19平均律（パテントヴァル）は 81/80 をテンパーアウトする。これを何通りかの方法で見てみよう:

	=== 1. ~~Counting steps of the val~~ ===		=== 1. ヴァルのステップを数える ===
	~~Because there are no primes larger than 5 in~~ 81/80~~, we say it is a 5-limit comma. The~~ 5~~-limit patent val for 19edo is~~ {{val\| 19 30 44 }}~~. That means that you add~~ 19 ~~steps of 19edo to get to~~ 2/1~~, 30 steps to get closest to~~ 3/1~~, and 44 steps to get closest to~~ 5/1.		81/80 には 5 より大きい素因数は含まれていないので、これは5リミットのコンマのひとつである。19edoの5リミットの[[パテントヴァル]]は {{val\| 19 30 44 }} である。これは19edoの 19 ステップで 2/1 を得、30 ステップが 3/1 に一番近いのでそれを採用し、44 ステップが 5/1 に一番近いのでそれを採用する、という意味である。

	~~Note that, because this is an edo, 19 steps gets you precisely to~~ 2/1~~. We say that~~ 30 ~~steps of 19edo gets you to~~ 3/1~~, but that is only an approximation. Same with 5~~/1~~, etc. This is where the error in the primes gets introduced. Don't worry, though, it is very useful error.~~		注意、19平均律に「ストレッチ」等の但し書きがないのでedoだとみなす。そのため、19 ステップは正確に 2/1 となるが、19edoの 30 ステップは 3/1 を近似しているだけである。5/1 も同様。これが素数に誤差が導入される場面である。心配いりません、これはとても便利な誤差です。

	~~Getting to~~ 81 is 3×3×3×3~~, or, with 19edo steps, {{nowrap\|~~30 + 30 + 30 + 30 {{=}} 120~~}} steps of 19edo.~~		81 は 3×3×3×3 であるが、19edoの 30 + 30 + 30 + 30 = 120 ステップでもある。

	~~Getting to~~ 80 is 5×2×2×2×2~~, or, with 19edo steps, {{nowrap\|~~44 + 19 + 19 + 19 + 19 {{=}} 120~~}} steps of 19edo.~~		80 は 5×2×2×2×2 であるが、19edoの 44 + 19 + 19 + 19 + 19 = 120 ステップでもある。

	~~Getting to~~ 81/80 ~~means adding the steps needed to get to~~ 81~~, and subtracting the steps needed to get to 80. {{nowrap\|120 steps −~~ 120 ~~steps {{=}}~~ 0 ~~steps}}.~~		81/80 は 81 倍のためのステップ数分だけ上がって、80 倍のためのステップ数分だけ下がることになる。120 ステップ－ 120 ステップ＝ 0 ステップ。

	~~Applying the monzo to the val (also called getting the ''homomorphism'') is easier. Multiply the first number in the monzo (which represents the number of~~ 2/1~~'s in the comma) and by the first number in the val (which represents the number of steps it takes to get to 2~~/1~~), then multiply the second number in the monzo by the second number in the val, then the third by the third, and add them all together~~: ~~{{nowrap\|~~(−4 × 19) + (4 × 30) + (−1 × 44) {{=}} 0 ~~steps}}.~~		モンゾに[[ヴァル]]を適用する<!--[[ヴァルと調律空間]]によれば（双対だとしてもどちらかというと）ヴァルのほうがhomomorphism扱いされているはず、原文のapplyは「申し込む」系の意味と考えればわからなくはない、「適用」と訳すには順番を変えたほうがよさそう-->のはもっと簡単である。モンゾの最初の数値（コンマに含まれている 2/1 の個数（符号付き重複度））掛けるヴァルの最初の数値（2/1 を構成するのに必要なステップ数）、足す、モンゾの2番目の数値掛けるヴァルの2番目の数値、足す、3番目掛ける3番目、である: (−4 × 19) + (4 × 30) + (−1 × 44) = 0 ステップ。

	~~Therefore, adding~~ 81/80 ~~to any interval in 19edo means adding 0 steps of 19edo to it. In other words,~~ 81/80 ~~is effectively zero: 81/80 is~~ ''~~tempered out~~''.		なので、19平均律において 81/80 を任意の音程に加える（掛ける）ことは19edoの0ステップを加えることで、つまり 81/80 は''テンパーアウト''されている。

	=== 2. Painstakingly doing the math ===		=== 2. Painstakingly doing the math ===

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2025-08-14T12:53:16Z

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'''テンパーアウト'''は[[レギュラーテンペラメント]]（ランク1の[[平均律]]も含む）が[[コンマ]]のような小さい音程に行う何かである: それを消す（disappear、''vanish''）。

== 概要 ==
音を[[周波数比率|周波数比]]で表すとして、それを消すということは、それを 1/1 と同じものにするということである。1/1 を掛けても何も変わらない。音を[[セント]]で表すなら、それを 0 セントにするということである。0 セントを足しても何も変わらない。

どちらの場合でも、それをするには我々のチューニングになにがしかの誤差を導入するということを意味する。例えば 3 を使いたい場合に代わりにわずかに大きいまたは小さい 3 を使う。どの素数にも誤差を導入することができ、コンマをひとつだけテンパーアウトするのなら任意の素数を選んで誤差なしにできる（不正確: ひとつだけとは限らない）。実際、多くの人は純粋なオクターブを得るために 2 を誤差なしにする。オクターブをテンパーする方向のチューニングもある。{{en仮リンク|TOP tuning}}など。

== Tempering together ==
複数のコードや音程が''tempered toghether''されるというのは、それらの対応するステップの間の差（コンマ）が全て''テンパーアウト''されることをいう。もし2つのコードがtempered togetherされると、そのテンペラメント上で両方のコードの表現（コードを構成するテンパーされた音程のセット）が同一になる。

例えば、[[81/80]] をテンパーアウトする[[ミーントーン]]において、[[54:64:81]] (with steps 32/27, 81/64) と [[10:12:15]] (with steps 6/5, 5/4) がtempered togetherされる。なぜなら <math>\textstyle\frac{32}{27}\cdot\frac{81}{80} = \frac{6}{5}</math> かつ <math>\textstyle\frac{81}{64} = \frac{5}{4}\cdot\frac{81}{80}</math>だから、つまり 81/80 を 1/1 にするということは 32/27 と 6/5 を同じに、81/64 と 5/4 を同じにすることも意味するからである。

== Example ==
The syntonic comma is 81/80. That is {{sfrac|34|24 × 5}} or, in [[monzo]] form, {{monzo| -4 4 -1}}.

19edo tempers out 81/80. (Technically, we should say that 19edo tempers out 81/80 when you use the [[patent val]].) You can see this in several ways:

=== 1. Counting steps of the val ===
Because there are no primes larger than 5 in 81/80, we say it is a 5-limit comma. The 5-limit patent val for 19edo is {{val| 19 30 44 }}. That means that you add 19 steps of 19edo to get to 2/1, 30 steps to get closest to 3/1, and 44 steps to get closest to 5/1.

Note that, because this is an edo, 19 steps gets you precisely to 2/1. We say that 30 steps of 19edo gets you to 3/1, but that is only an approximation. Same with 5/1, etc. This is where the error in the primes gets introduced. Don't worry, though, it is very useful error.

Getting to 81 is 3×3×3×3, or, with 19edo steps, {{nowrap|30 + 30 + 30 + 30 {{=}} 120}} steps of 19edo.

Getting to 80 is 5×2×2×2×2, or, with 19edo steps, {{nowrap|44 + 19 + 19 + 19 + 19 {{=}} 120}} steps of 19edo.

Getting to 81/80 means adding the steps needed to get to 81, and subtracting the steps needed to get to 80. {{nowrap|120 steps − 120 steps {{=}} 0 steps}}.

Applying the monzo to the val (also called getting the ''homomorphism'') is easier. Multiply the first number in the monzo (which represents the number of 2/1's in the comma) and by the first number in the val (which represents the number of steps it takes to get to 2/1), then multiply the second number in the monzo by the second number in the val, then the third by the third, and add them all together: {{nowrap|(−4 × 19) + (4 × 30) + (−1 × 44) {{=}} 0 steps}}.

Therefore, adding 81/80 to any interval in 19edo means adding 0 steps of 19edo to it. In other words, 81/80 is effectively zero: 81/80 is ''tempered out''.

=== 2. Painstakingly doing the math ===
We say that 30 steps of 19edo gets you to 3/1, but, as we say above, that is an error. One step of 19edo is the 19th root of 2, or 21/19, or approximately 1.037155. (That is 63.157895 cents.) If you multiply that by itself 19 times, you get exactly 2. But if you multiply that by itself 30 times, you do not get 3: You get 2.987518. Similarly, multiplying it by 44 steps gets you 4.97877 instead of 5.

If we plug in these values into 81/80, we see that 81/80 is tempered out:

<pre>
81/80 = 3*3*3*3 / 5*2*2*2*2 = (3^4) / (5)*(2^4). // Substitute our values and you get

(2.987518 ^ 4) / (4.97877)*(2^4)
= 79.660326 / (4.97877 * 16)
= 79.660326 / 79.660326
= 1/1
</pre>

== See also ==
* [[Fudging]] – or ''virtual tempering''

== Notes ==
<references />