モンゾと音程空間 - 版の履歴

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	\| ja = モンゾと音程空間		\| ja = モンゾと音程空間
	}}		}}
	このページでは'''モンゾ'''の正式な数学的定義を与え、また'''音程空間'''~~との関連も示す。例の付いたより簡単な解説は、[[モンゾ]]を参照。~~		{{上級者向け\|モンゾ}}
			このページでは'''モンゾ'''の正式な数学的定義を与え、また'''音程空間'''との関連も示す。

	==定義==		==定義==

2024年8月4日 (日) 16:56にTessyrrh1016による

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	ただし指数は整数である。		ただし指数は整数である。

	これはしばしばケットベクトル（詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95 Wikipedia - ブラ-ケット記法]を参照のこと）を模した表記を用いて、		これはしばしばケットベクトル（詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95 Wikipedia – ブラ-ケット記法]を参照のこと）を模した表記を用いて、

	:<math>\displaystyle \|e_2 \, e_3 \, e_5 \ldots e_p \rangle</math>		:<math>\displaystyle \|e_2 \, e_3 \, e_5 \ldots e_p \rangle</math>
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	のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、{{en仮リンク\|ジョセフ・モンゾ\|Joseph Monzo}}の情熱的な支援にちなんでいる。		のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、{{en仮リンク\|ジョセフ・モンゾ\|Joseph Monzo}}の情熱的な支援にちなんでいる。

	モンゾの{{en仮リンク\|~~Tenney高さ~~\|Tenney height}}は以下のように与えられる。		モンゾの{{en仮リンク\|テニー高さ\|Tenney height}}は以下のように与えられる。

	:<math>\displaystyle \\| \|e_2 \, e_3 \ldots e_p \rangle \\| = \|e_2\| + \|e_3\| \log_2 3 + \dotsb + \|e_p\| \log_2 p</math>		:<math>\displaystyle \\| \|e_2 \, e_3 \ldots e_p \rangle \\| = \|e_2\| + \|e_3\| \log_2 3 + \dotsb + \|e_p\| \log_2 p</math>
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	これはベクトル空間のノルムである。よって写像 <math>M:monzos \rightarrow I </math> によって ''p''-リミットモンゾを次元 <math>n = \pi(p)</math> のノルム線型空間 <math>I</math> に埋め込むことができる。ただし <math>\pi(x)</math> は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E8%A8%88%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0 素数計数関数]。この埋め込みの下、モンゾは格子を定義する。この格子は有限次元実ノルム線型空間 <math>I</math> を張る <math>I</math> の離散部分群である。		これはベクトル空間のノルムである。よって写像 <math>M:monzos \rightarrow I </math> によって ''p''-リミットモンゾを次元 <math>n = \pi(p)</math> のノルム線型空間 <math>I</math> に埋め込むことができる。ただし <math>\pi(x)</math> は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E8%A8%88%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0 素数計数関数]。この埋め込みの下、モンゾは格子を定義する。この格子は有限次元実ノルム線型空間 <math>I</math> を張る <math>I</math> の離散部分群である。

	素数 ''k'' に対応する座標 ''e''<sub>''k''</sub> に log<sub>2</sub> ''k'' を乗じて座標を変換すると、このノルムは通常の ''L''<sup>1</sup>-ノルムとなる（詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 Wikipedia - ''L''<sup>''p''</sup> 空間#有限次元における ''p''-ノルム]~~を参照。）このベクトル空間はTenney音程空間であり、この通常の~~ ''L''<sup>1</sup>-~~ノルムによって変換された座標がTenney空間の標準基底を構成する。~~		素数 ''k'' に対応する座標 ''e''<sub>''k''</sub> に log<sub>2</sub> ''k'' を乗じて座標を変換すると、このノルムは通常の ''L''<sup>1</sup>-ノルムとなる（詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 Wikipedia – ''L''<sup>''p''</sup> 空間#有限次元における ''p''-ノルム]を参照。）このベクトル空間はテニー音程空間であり、この通常の ''L''<sup>1</sup>-ノルムによって変換された座標がテニー空間の標準基底を構成する。
	~~ここで、モンゾはある正の実数（モンゾの場合は常に有理数）と一対一で対応するが、Tenney空間のベクトルはそうではないことに注意。例えば、~~{{monzo\| 1 0 }} は周波数比 2 を表すが、{{monzo\|0 log<sub>3</sub> 2}} も同様に 2 を表す。		ここで、モンゾはある正の実数（モンゾの場合は常に有理数）と一対一で対応するが、テニー空間のベクトルはそうではないことに注意。例えば、{{monzo\| 1 0 }} は周波数比 2 を表すが、{{monzo\|0 log<sub>3</sub> 2}} も同様に 2 を表す。

	ユークリッドノルムは数学的な利点を持つため、よく ''L''<sup>1</sup>-~~ノルムの代わりに音程空間のベクトルに対して適用される。この場合、Tenney音程空間の代わりに[[:en:~~Tenney-Euclidean metrics~~\|Tenney-ユークリッド音程空間]]~~が得られる。明示的にモンゾ {{monzo \| ''e''<sub>2</sub> ''e''<sub>3</sub> … ''e''<sub>''p''</sub>}} ~~をとったとき、そのTenney~~-ユークリッドノルム(またはTEノルム)は以下のようになる。		ユークリッドノルムは数学的な利点を持つため、よく ''L''<sup>1</sup>-ノルムの代わりに音程空間のベクトルに対して適用される。この場合、テニー音程空間の代わりに{{en仮リンク\|テニー-ユークリッド音程空間\|Tenney-Euclidean metrics}}が得られる。明示的にモンゾ {{monzo \| ''e''<sub>2</sub> ''e''<sub>3</sub> … ''e''<sub>''p''</sub>}} をとったとき、そのテニー-ユークリッドノルム(またはTEノルム)は以下のようになる。

	:<math>\displaystyle \sqrt{e_2^2 + (e_3 \log_2 3)^2 + \dotsb + (e_p \log_2 p)^2}</math>		:<math>\displaystyle \sqrt{e_2^2 + (e_3 \log_2 3)^2 + \dotsb + (e_p \log_2 p)^2}</math>
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	==関連項目==		==関連項目==
	*~~[[:en:~~Fractional monzo~~\|分数モンゾ]]~~		* {{en仮リンク\|分数モンゾ\|Fractional monzo}}
	*[[~~:en:Vals and tuning space\|~~ヴァルと調律空間]]		* [[ヴァルと調律空間]]

	==脚注==		==脚注==
	<references />		<references />
	~~</div>~~

2024年7月4日 (木) 14:12にTessyrrh1016による

2024-07-04T14:12:24Z

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	\| ja = モンゾと音程空間		\| ja = モンゾと音程空間
	}}		}}
	~~<div lang="ja">~~
	このページでは'''モンゾ'''の正式な数学的定義を与え、また'''音程空間'''との関連も示す。例の付いたより簡単な解説は、[[モンゾ]]を参照。		このページでは'''モンゾ'''の正式な数学的定義を与え、また'''音程空間'''との関連も示す。例の付いたより簡単な解説は、[[モンゾ]]を参照。
	~~</div>~~

	==~~<span lang="ja">~~定義~~</span>=~~=		==定義==
	~~<div lang~~=~~"ja">~~
	''p''-[[リミット]]の有理数 ''q'' は定義より ''p'' 以下の素数の積に分解でき、以下のように表せる。		''p''-[[リミット]]の有理数 ''q'' は定義より ''p'' 以下の素数の積に分解でき、以下のように表せる。

17行目:		14行目:
	ただし指数は整数である。		ただし指数は整数である。

	~~これはしばしばケットベクトル(詳細は~~[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95 Wikipedia - ブラ-ケット記法]~~を参照のこと)を模した表記を用いて、~~		これはしばしばケットベクトル（詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95 Wikipedia - ブラ-ケット記法]を参照のこと）を模した表記を用いて、

	:<math>\displaystyle \|e_2 \, e_3 \, e_5 \ldots e_p \rangle</math>		:<math>\displaystyle \|e_2 \, e_3 \, e_5 \ldots e_p \rangle</math>

	のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、~~[[:en:~~Joseph Monzo~~\|ジョセフ・モンゾ]]~~の情熱的な支援にちなんでいる。		のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、{{en仮リンク\|ジョセフ・モンゾ\|Joseph Monzo}}の情熱的な支援にちなんでいる。

	モンゾの~~[[:en:~~Tenney height~~\|Tenney高さ]]~~は以下のように与えられる。		モンゾの{{en仮リンク\|Tenney高さ\|Tenney height}}は以下のように与えられる。

	:<math>\displaystyle \\| \|e_2 \, e_3 \ldots e_p \rangle \\| = \|e_2\| + \|e_3\| \log_2 3 + \dotsb + \|e_p\| \log_2 p</math>		:<math>\displaystyle \\| \|e_2 \, e_3 \ldots e_p \rangle \\| = \|e_2\| + \|e_3\| \log_2 3 + \dotsb + \|e_p\| \log_2 p</math>
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	これはベクトル空間のノルムである。よって写像 <math>M:monzos \rightarrow I </math> によって ''p''-リミットモンゾを次元 <math>n = \pi(p)</math> のノルム線型空間 <math>I</math> に埋め込むことができる。ただし <math>\pi(x)</math> は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E8%A8%88%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0 素数計数関数]。この埋め込みの下、モンゾは格子を定義する。この格子は有限次元実ノルム線型空間 <math>I</math> を張る <math>I</math> の離散部分群である。		これはベクトル空間のノルムである。よって写像 <math>M:monzos \rightarrow I </math> によって ''p''-リミットモンゾを次元 <math>n = \pi(p)</math> のノルム線型空間 <math>I</math> に埋め込むことができる。ただし <math>\pi(x)</math> は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E8%A8%88%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0 素数計数関数]。この埋め込みの下、モンゾは格子を定義する。この格子は有限次元実ノルム線型空間 <math>I</math> を張る <math>I</math> の離散部分群である。

	素数 ''k'' に対応する座標 ''e''<sub>''k''</sub> に log<sub>2</sub> ''k'' を乗じて座標を変換すると、このノルムは通常の ''L''<sup>1</sup>-~~ノルムとなる(詳細は~~[https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 Wikipedia - ''L''<sup>''p''</sup> 空間#有限次元における ''p''-ノルム]~~を参照)。このベクトル空間はTenney音程空間であり、この通常の~~ ''L''<sup>1</sup>-ノルムによって変換された座標がTenney空間の標準基底を構成する。		素数 ''k'' に対応する座標 ''e''<sub>''k''</sub> に log<sub>2</sub> ''k'' を乗じて座標を変換すると、このノルムは通常の ''L''<sup>1</sup>-ノルムとなる（詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 Wikipedia - ''L''<sup>''p''</sup> 空間#有限次元における ''p''-ノルム]を参照。）このベクトル空間はTenney音程空間であり、この通常の ''L''<sup>1</sup>-ノルムによって変換された座標がTenney空間の標準基底を構成する。
	~~ここで、モンゾはある正の実数(モンゾの場合は常に有理数)と一対一で対応するが、Tenney空間のベクトルはそうではないことに注意。例えば、~~{{monzo\| 1 0 }} は周波数比 2 を表すが、{{monzo\|0 log<sub>3</sub> 2}} も同様に 2 を表す。		ここで、モンゾはある正の実数（モンゾの場合は常に有理数）と一対一で対応するが、Tenney空間のベクトルはそうではないことに注意。例えば、{{monzo\| 1 0 }} は周波数比 2 を表すが、{{monzo\|0 log<sub>3</sub> 2}} も同様に 2 を表す。

	ユークリッドノルムは数学的な利点を持つため、よく ''L''<sup>1</sup>-ノルムの代わりに音程空間のベクトルに対して適用される。この場合、Tenney音程空間の代わりに[[:en:Tenney-Euclidean metrics\|Tenney-ユークリッド音程空間]]が得られる。明示的にモンゾ {{monzo \| ''e''<sub>2</sub> ''e''<sub>3</sub> … ''e''<sub>''p''</sub>}} をとったとき、そのTenney-ユークリッドノルム(またはTEノルム)は以下のようになる。		ユークリッドノルムは数学的な利点を持つため、よく ''L''<sup>1</sup>-ノルムの代わりに音程空間のベクトルに対して適用される。この場合、Tenney音程空間の代わりに[[:en:Tenney-Euclidean metrics\|Tenney-ユークリッド音程空間]]が得られる。明示的にモンゾ {{monzo \| ''e''<sub>2</sub> ''e''<sub>3</sub> … ''e''<sub>''p''</sub>}} をとったとき、そのTenney-ユークリッドノルム(またはTEノルム)は以下のようになる。
37行目:		34行目:

	そして、座標が重み付けられた音程空間の座標ならば、そのTEノルムは標準ユークリッドノルム、または [https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 ''L''<sup>2</sup>-ノルム]となる。		そして、座標が重み付けられた音程空間の座標ならば、そのTEノルムは標準ユークリッドノルム、または [https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 ''L''<sup>2</sup>-ノルム]となる。
	~~</div>~~

	==~~<span lang="ja">~~別の定義~~</span>~~==		==別の定義==
	~~<div lang="ja">~~
	''q'' を有理数とすると、以下に示す定義によって ''q'' をモンゾ形式に書き換えることができる。		''q'' を有理数とすると、以下に示す定義によって ''q'' をモンゾ形式に書き換えることができる。

50行目:		46行目:

	ただし、<math>v_p(q)</math> は ''q'' の [https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E4%BB%98%E5%80%A4 ''p'' 進付値]である。		ただし、<math>v_p(q)</math> は ''q'' の [https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E4%BB%98%E5%80%A4 ''p'' 進付値]である。
	~~</div>~~

	==~~<span lang="ja">~~例~~</span>~~==		==例==
	~~<div lang="ja">~~
	5-リミットの音程 [[16/15]] は 2<sup>4</sup>×3<sup>-1</sup>×5<sup>-1</sup> と分解され、モンゾでは {{monzo\|4 -1 -1}} となる。重み付き座標の場合、{{monzo\|4 -log<sub>2</sub> 3 -log<sub>2</sub> 5}} となり、近似値では {{monzo\|4 -1.585 -2.322}} となる。		5-リミットの音程 {{en仮リンク\|16/15\|16/15}} は 2<sup>4</sup>×3<sup>-1</sup>×5<sup>-1</sup> と分解され、モンゾでは {{monzo\|4 -1 -1}} となる。重み付き座標の場合、{{monzo\|4 -log<sub>2</sub> 3 -log<sub>2</sub> 5}} となり、近似値では {{monzo\|4 -1.585 -2.322}} となる。

	したがってTEノルムは		したがってTEノルムは
61行目:		56行目:

	となる。		となる。
	~~</div>~~

	==~~<span lang="ja">~~関連項目~~</span>=~~=		==関連項目==
	~~<div lang~~=~~"ja">~~
	*[[:en:Fractional monzo\|分数モンゾ]]		*[[:en:Fractional monzo\|分数モンゾ]]
	*[[:en:Vals and tuning space\|\|ヴァルと調律空間]]		*[[:en:Vals and tuning space\|ヴァルと調律空間]]
	~~</div>~~

	==~~<span lang="ja">~~脚注~~</span>=~~=		==脚注==
	~~<div lang~~=~~"ja">~~
	<references />		<references />
	</div>		</div>

Fredg999: テンプレート:En仮リンクを削除

2024-06-30T00:52:53Z

テンプレート:En仮リンクを削除

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	:<math>\displaystyle \|e_2 \, e_3 \, e_5 \ldots e_p \rangle</math>		:<math>\displaystyle \|e_2 \, e_3 \, e_5 \ldots e_p \rangle</math>

	のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、~~{{en仮リンク~~\|ジョセフ・モンゾ~~\|Joseph Monzo}}~~の情熱的な支援にちなんでいる。		のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、[[:en:Joseph Monzo\|ジョセフ・モンゾ]]の情熱的な支援にちなんでいる。

	モンゾの~~{{en仮リンク~~\|Tenney高さ~~\|Tenney height}}~~は以下のように与えられる。		モンゾの[[:en:Tenney height\|Tenney高さ]]は以下のように与えられる。

	:<math>\displaystyle \\| \|e_2 \, e_3 \ldots e_p \rangle \\| = \|e_2\| + \|e_3\| \log_2 3 + \dotsb + \|e_p\| \log_2 p</math>		:<math>\displaystyle \\| \|e_2 \, e_3 \ldots e_p \rangle \\| = \|e_2\| + \|e_3\| \log_2 3 + \dotsb + \|e_p\| \log_2 p</math>
32行目:		32行目:
	ここで、モンゾはある正の実数(モンゾの場合は常に有理数)と一対一で対応するが、Tenney空間のベクトルはそうではないことに注意。例えば、{{monzo\| 1 0 }} は周波数比 2 を表すが、{{monzo\|0 log<sub>3</sub> 2}} も同様に 2 を表す。		ここで、モンゾはある正の実数(モンゾの場合は常に有理数)と一対一で対応するが、Tenney空間のベクトルはそうではないことに注意。例えば、{{monzo\| 1 0 }} は周波数比 2 を表すが、{{monzo\|0 log<sub>3</sub> 2}} も同様に 2 を表す。

	ユークリッドノルムは数学的な利点を持つため、よく ''L''<sup>1</sup>-ノルムの代わりに音程空間のベクトルに対して適用される。この場合、Tenney音程空間の代わりに~~{{en仮リンク\|~~Tenney-~~ユークリッド音程空間~~\|Tenney-~~Euclidean metrics}}~~が得られる。明示的にモンゾ {{monzo \| ''e''<sub>2</sub> ''e''<sub>3</sub> … ''e''<sub>''p''</sub>}} をとったとき、そのTenney-ユークリッドノルム(またはTEノルム)は以下のようになる。		ユークリッドノルムは数学的な利点を持つため、よく ''L''<sup>1</sup>-ノルムの代わりに音程空間のベクトルに対して適用される。この場合、Tenney音程空間の代わりに[[:en:Tenney-Euclidean metrics\|Tenney-ユークリッド音程空間]]が得られる。明示的にモンゾ {{monzo \| ''e''<sub>2</sub> ''e''<sub>3</sub> … ''e''<sub>''p''</sub>}} をとったとき、そのTenney-ユークリッドノルム(またはTEノルム)は以下のようになる。

	:<math>\displaystyle \sqrt{e_2^2 + (e_3 \log_2 3)^2 + \dotsb + (e_p \log_2 p)^2}</math>		:<math>\displaystyle \sqrt{e_2^2 + (e_3 \log_2 3)^2 + \dotsb + (e_p \log_2 p)^2}</math>
65行目:		65行目:
	==<span lang="ja">関連項目</span>==		==<span lang="ja">関連項目</span>==
	<div lang="ja">		<div lang="ja">
	*~~{{en仮リンク~~\|分数モンゾ~~\|Fractional monzo}}~~		*[[:en:Fractional monzo\|分数モンゾ]]
	*~~{{en仮リンク\|ヴァルと調律空間\|~~Vals and tuning space}}		*[[:en:Vals and tuning space\|\|ヴァルと調律空間]]
	</div>		</div>

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2024-06-30T00:16:48Z

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{{interwiki
| de = Intervallraum
| en = Monzos and interval space
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| ja = モンゾと音程空間
}}
<div lang="ja">
このページでは'''モンゾ'''の正式な数学的定義を与え、また'''音程空間'''との関連も示す。例の付いたより簡単な解説は、[[モンゾ]]を参照。
</div>

==<span lang="ja">定義</span>==
<div lang="ja">
''p''-[[リミット]]の有理数 ''q'' は定義より ''p'' 以下の素数の積に分解でき、以下のように表せる。

:<math>\displaystyle q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotsm p^{e_p}</math>

ただし指数は整数である。

これはしばしばケットベクトル(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95 Wikipedia - ブラ-ケット記法]を参照のこと)を模した表記を用いて、

:<math>\displaystyle |e_2 \, e_3 \, e_5 \ldots e_p \rangle</math>

のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、{{en仮リンク|ジョセフ・モンゾ|Joseph Monzo}}の情熱的な支援にちなんでいる。

モンゾの{{en仮リンク|Tenney高さ|Tenney height}}は以下のように与えられる。

:<math>\displaystyle \| |e_2 \, e_3 \ldots e_p \rangle \| = |e_2| + |e_3| \log_2 3 + \dotsb + |e_p| \log_2 p</math>

これはベクトル空間のノルムである。よって写像 <math>M:monzos \rightarrow I </math> によって ''p''-リミットモンゾを次元 <math>n = \pi(p)</math> のノルム線型空間 <math>I</math> に埋め込むことができる。ただし <math>\pi(x)</math> は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E8%A8%88%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0 素数計数関数]。この埋め込みの下、モンゾは格子を定義する。この格子は有限次元実ノルム線型空間 <math>I</math> を張る <math>I</math> の離散部分群である。

素数 ''k'' に対応する座標 ''e''<sub>''k''</sub> に log<sub>2</sub> ''k'' を乗じて座標を変換すると、このノルムは通常の ''L''<sup>1</sup>-ノルムとなる(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 Wikipedia - ''L''<sup>''p''</sup> 空間#有限次元における ''p''-ノルム]を参照)。このベクトル空間はTenney音程空間であり、この通常の ''L''<sup>1</sup>-ノルムによって変換された座標がTenney空間の標準基底を構成する。
ここで、モンゾはある正の実数(モンゾの場合は常に有理数)と一対一で対応するが、Tenney空間のベクトルはそうではないことに注意。例えば、{{monzo| 1 0 }} は周波数比 2 を表すが、{{monzo|0 log<sub>3</sub> 2}} も同様に 2 を表す。

ユークリッドノルムは数学的な利点を持つため、よく ''L''<sup>1</sup>-ノルムの代わりに音程空間のベクトルに対して適用される。この場合、Tenney音程空間の代わりに{{en仮リンク|Tenney-ユークリッド音程空間|Tenney-Euclidean metrics}}が得られる。明示的にモンゾ {{monzo | ''e''<sub>2</sub> ''e''<sub>3</sub> … ''e''<sub>''p''</sub>}} をとったとき、そのTenney-ユークリッドノルム(またはTEノルム)は以下のようになる。

:<math>\displaystyle \sqrt{e_2^2 + (e_3 \log_2 3)^2 + \dotsb + (e_p \log_2 p)^2}</math>

そして、座標が重み付けられた音程空間の座標ならば、そのTEノルムは標準ユークリッドノルム、または [https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 ''L''<sup>2</sup>-ノルム]となる。
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==<span lang="ja">別の定義</span>==
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''q'' を有理数とすると、以下に示す定義によって ''q'' をモンゾ形式に書き換えることができる。

:<math>\displaystyle q = |v_2 (q) \, v_3 (q) \, v_5 (q) \ldots v_p (q) \rangle</math>

このモンゾのTenney高さは以下のように与えられる。

:<math>\displaystyle \| |v_2 (q) \, v_3 (q) \ldots v_p (q) \rangle \| = |v_2 (q)| + |v_3 (q)| \log_2 3 + \dotsb + |v_p (q)| \log_2 p</math>

ただし、<math>v_p(q)</math> は ''q'' の [https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E4%BB%98%E5%80%A4 ''p'' 進付値]である。
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==<span lang="ja">例</span>==
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5-リミットの音程 [[16/15]] は 2<sup>4</sup>×3<sup>-1</sup>×5<sup>-1</sup> と分解され、モンゾでは {{monzo|4 -1 -1}} となる。重み付き座標の場合、{{monzo|4 -log<sub>2</sub> 3 -log<sub>2</sub> 5}} となり、近似値では {{monzo|4 -1.585 -2.322}} となる。

したがってTEノルムは

:<math>\displaystyle \sqrt{4^2 + (\log_2 3)^2 + (\log_2 5)^2} ≅ \sqrt{23.903} ≅ 4.889</math>

となる。
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==<span lang="ja">関連項目</span>==
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*{{en仮リンク|分数モンゾ|Fractional monzo}}
*{{en仮リンク|ヴァルと調律空間|Vals and tuning space}}
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==<span lang="ja">脚注</span>==
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<references />
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