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	~~<!--{{interwiki~~		#REDIRECT [[リミット]]
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	~~{{Wikipedia\|限界 (音楽)}}~~

	[[~~純正律]]において、'''''p''-~~リミット~~''' または '''''p''-素数限界''' は、''p'' 以下の素因数のみを持つ分母と分子からなる分数の集合である。~~

	正の有理数 ''q'' は、それが ''p'' 以下の素数のみを使って素因数分解（次数に負の数も許す）ができるとき、かつその場合に限り、''p''-リミットに含まれる。数学的にはSmooth number<sup>[定訳なし]</sup>として知られている。''p''-リミットであるために素因数 ''p'' を含んでいる必要はない。例えば、3/2 は13リミットに含まれる（3以上のすべてのリミットに含まれる）。<!--Also, an interval with a ''p'' in it is not necessarily within the ''p''-limit. 23/13 is not within the 13-limit, since 23 is a prime number higher than 13. -->

	任意の素数 ''p'' について、''p''-リミットの有理数全体は{{w\|有限生成アーベル群}}となる。その群の{{en仮リンク\|ランク\|rank}}はπ (''p'')となる（πは{{w\|素数計数関数}}）。例えば[[7リミット]]のランクは 4 であり、素因数2, 3, 5, 7によって生成される。

	~~== 各 ''p''-リミット純正律のページ ==~~
	~~{\| class="wikitable center-all"~~
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	~~\| [[2リミット]] \|\| [[3リミット]] \|\| [[5リミット]] \|\| [[7リミット]] \|\| [[11リミット]] \|\| [[13リミット]]~~
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	~~== 関連項目 ==~~
	* [[Harmonic class]]
	* [[アドリミット]] (奇数限界)
	* [[Prime minimum]]
	* [[Wikipedia: Størmer's theorem]]

	~~== 外部リンク ==~~
	* [http://tonalsoft.com/enc/l/limit.aspx Tonalsoft Encyclopedia \| ''Limit'']

2024年7月6日 (土) 06:42にDummy indexによる

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	正の有理数 ''q'' は、それが ''p'' 以下の素数のみを使って素因数分解（次数に負の数も許す）ができるとき、かつその場合に限り、''p''-リミットに含まれる。数学的にはSmooth number<sup>[定訳なし]</sup>として知られている。''p''-リミットであるために素因数 ''p'' を含んでいる必要はない。例えば、3/2 は13リミットに含まれる（3以上のすべてのリミットに含まれる）。<!--Also, an interval with a ''p'' in it is not necessarily within the ''p''-limit. 23/13 is not within the 13-limit, since 23 is a prime number higher than 13. -->		正の有理数 ''q'' は、それが ''p'' 以下の素数のみを使って素因数分解（次数に負の数も許す）ができるとき、かつその場合に限り、''p''-リミットに含まれる。数学的にはSmooth number<sup>[定訳なし]</sup>として知られている。''p''-リミットであるために素因数 ''p'' を含んでいる必要はない。例えば、3/2 は13リミットに含まれる（3以上のすべてのリミットに含まれる）。<!--Also, an interval with a ''p'' in it is not necessarily within the ''p''-limit. 23/13 is not within the 13-limit, since 23 is a prime number higher than 13. -->

	~~For any prime number~~ ''p''~~, the set of all rational numbers in the~~ ''p''-~~limit defines a~~ {{w\|~~Free abelian group~~\|~~finitely generated free abelian group~~}}~~. The [[rank]] of this group is equal to π~~ (''p'')~~, the~~ {{w\|~~Prime-counting function\|number of prime numbers less than or equal to ''p''~~}}~~. Hence, for example, the rank of the~~ [[~~7-limit~~]] is 4~~, as it is generated by 2~~, 3, 5 ~~and 7.~~		任意の素数 ''p'' について、''p''-リミットの有理数全体は{{w\|有限生成アーベル群}}となる。その群の{{en仮リンク\|ランク\|rank}}はπ (''p'')となる（πは{{w\|素数計数関数}}）。例えば[[7リミット]]のランクは 4 であり、素因数2, 3, 5, 7によって生成される。

	== ~~Individual pages of~~ ''p''-~~limit JI~~ ==		== 各 ''p''-リミット純正律のページ ==
	{\| class="wikitable center-all"		{\| class="wikitable center-all"
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	\| [[~~2-limit~~]] \|\| [[~~3-limit~~]] \|\| [[~~5-limit~~]] \|\| [[~~7-limit~~]] \|\| [[~~11-limit~~]] \|\| [[~~13-limit~~]]		\| [[2リミット]] \|\| [[3リミット]] \|\| [[5リミット]] \|\| [[7リミット]] \|\| [[11リミット]] \|\| [[13リミット]]
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	== ~~See also~~ ==		== 関連項目 ==
	* [[Harmonic class]]		* [[Harmonic class]]
	* [[アドリミット]] (奇数限界)		* [[アドリミット]] (奇数限界)
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	* [[Wikipedia: Størmer's theorem]]		* [[Wikipedia: Størmer's theorem]]

	== ~~External links~~ ==		== 外部リンク ==
	* [http://tonalsoft.com/enc/l/limit.aspx Tonalsoft Encyclopedia \| ''Limit'']		* [http://tonalsoft.com/enc/l/limit.aspx Tonalsoft Encyclopedia \| ''Limit'']

2024年7月4日 (木) 15:37にDummy indexによる

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	[[純正律]]において、'''''p''-リミット''' または '''''p''-素数限界''' は、''p'' 以下の素因数のみを持つ分母と分子からなる分数の集合である。		[[純正律]]において、'''''p''-リミット''' または '''''p''-素数限界''' は、''p'' 以下の素因数のみを持つ分母と分子からなる分数の集合である。

	~~A positive rational number~~ ''q'' ~~belongs to the~~ ''p''~~-limit for a given [[prime number]]~~ ''p'' ~~if and only if it can be factored into primes (with positive or negative integer exponents) of size less than or equal to ''p''. In math, such a~~ number ~~is known as a {{w\|Smooth number\|~~''p''-~~smooth number}}. An interval does not need to contain~~ ''p'' ~~as a factor to be considered within the ''p''-limit. For instance, 3~~/2 ~~is considered part of the 13~~-~~limit, since the primes 2 and 3 are smaller than 13.~~ Also, an interval with a ''p'' in it is not necessarily within the ''p''-limit. 23/13 is not within the 13-limit, since 23 is a prime number higher than 13.		正の有理数 ''q'' は、それが ''p'' 以下の素数のみを使って素因数分解（次数に負の数も許す）ができるとき、かつその場合に限り、''p''-リミットに含まれる。数学的にはSmooth number<sup>[定訳なし]</sup>として知られている。''p''-リミットであるために素因数 ''p'' を含んでいる必要はない。例えば、3/2 は13リミットに含まれる（3以上のすべてのリミットに含まれる）。<!--Also, an interval with a ''p'' in it is not necessarily within the ''p''-limit. 23/13 is not within the 13-limit, since 23 is a prime number higher than 13. -->

	For any prime number ''p'', the set of all rational numbers in the ''p''-limit defines a {{w\|Free abelian group\|finitely generated free abelian group}}. The [[rank]] of this group is equal to π (''p''), the {{w\|Prime-counting function\|number of prime numbers less than or equal to ''p''}}. Hence, for example, the rank of the [[7-limit]] is 4, as it is generated by 2, 3, 5 and 7.		For any prime number ''p'', the set of all rational numbers in the ''p''-limit defines a {{w\|Free abelian group\|finitely generated free abelian group}}. The [[rank]] of this group is equal to π (''p''), the {{w\|Prime-counting function\|number of prime numbers less than or equal to ''p''}}. Hence, for example, the rank of the [[7-limit]] is 4, as it is generated by 2, 3, 5 and 7.

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{{Wikipedia|限界 (音楽)}}

[[純正律]]において、'''''p''-リミット''' または '''''p''-素数限界''' は、''p'' 以下の素因数のみを持つ分母と分子からなる分数の集合である。

A positive rational number ''q'' belongs to the ''p''-limit for a given [[prime number]] ''p'' if and only if it can be factored into primes (with positive or negative integer exponents) of size less than or equal to ''p''. In math, such a number is known as a {{w|Smooth number|''p''-smooth number}}. An interval does not need to contain ''p'' as a factor to be considered within the ''p''-limit. For instance, 3/2 is considered part of the 13-limit, since the primes 2 and 3 are smaller than 13. Also, an interval with a ''p'' in it is not necessarily within the ''p''-limit. 23/13 is not within the 13-limit, since 23 is a prime number higher than 13.

For any prime number ''p'', the set of all rational numbers in the ''p''-limit defines a {{w|Free abelian group|finitely generated free abelian group}}. The [[rank]] of this group is equal to π (''p''), the {{w|Prime-counting function|number of prime numbers less than or equal to ''p''}}. Hence, for example, the rank of the [[7-limit]] is 4, as it is generated by 2, 3, 5 and 7.

== Individual pages of ''p''-limit JI ==
{| class="wikitable center-all"
|-
| [[2-limit]] || [[3-limit]] || [[5-limit]] || [[7-limit]] || [[11-limit]] || [[13-limit]]
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| [[17-limit]] || [[19-limit]] || [[23-limit]] || [[29-limit]] || [[31-limit]] || [[37-limit]]
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| [[41-limit]] || [[43-limit]] || [[47-limit]] || [[53-limit]] || [[59-limit]] || [[61-limit]]
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| [[67-limit]] || [[71-limit]] || [[73-limit]] || [[79-limit]] || [[83-limit]] || [[89-limit]]
|}

== See also ==
* [[Harmonic class]]
* [[アドリミット]] (奇数限界)
* [[Prime minimum]]
* [[Wikipedia: Størmer's theorem]]

== External links ==
* [http://tonalsoft.com/enc/l/limit.aspx Tonalsoft Encyclopedia | ''Limit'']