平均律 - 版の履歴

2025年5月19日 (月) 13:14にDummy indexによる

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	{{Wikipedia\|平均律}}		{{Wikipedia\|平均律}}

	'''平均律''' (英: equal-step tuning, equal tuning, equal division, ED) は、1種類の音程サイズの繰り返しからなる周期的な[[音律\|調律システム]]である。この1ステップのサイズは明示的に与えられたり(e.g. {{en仮リンク\|88cET}})、より大きな音程の等分割として与えられたりする(e.g. オクターブ[[13平均律]])。元になる音程は純正（有理数）音程でも無理数音程でもよいが、通例は[[オクターブ]]を分割した[[オクターブ平均律]]となる。純正音程を等分割した場合、新たに生じる音程は約せる場合（8/1 の3等分は立方根なので 2/1 になる等）を除いてすべて無理数音程となる。		'''平均律'''、'''等分平均律''' (英: equal-step tuning, equal tuning, equal division, ED) は、1種類の音程サイズの繰り返しからなる周期的な[[音律\|調律システム]]である。この1ステップのサイズは明示的に与えられたり(e.g. {{en仮リンク\|88cET}})、より大きな音程の等分割として与えられたりする(e.g. オクターブ[[13平均律]])。元になる音程は純正（有理数）音程でも無理数音程でもよいが、通例は[[オクターブ]]を分割した[[オクターブ平均律]]となる。純正音程を等分割した場合、新たに生じる音程は約せる場合（8/1 の3等分は立方根なので 2/1 になる等）を除いてすべて無理数音程となる。

	[[レギュラーテンペラメント\|テンペラメント]]としての平均律と、純粋に音程の集合、調律システムとしての平均律を簡単に呼び分ける日本語の用語はまだない。テンペラメントとしての平均律というのは、平均律という音階を純正律の近似として説明するものであり、つまり平均律の各音程はそれぞれ何らかの純正音程を代理しているということを作曲家に対して提案するものである。調律の実務に対しては、この提案からオクターブの響きを優先した調律や完全5度の響きを優先した調律など、ステップサイズがわずかに異なる複数の調律システムが派生しうる。逆に全く同じ調律でも、純正律として異なる解釈をするならばそれは異なるテンペラメントであり、その平均律の意外な側面を明らかにするかもしれない。オクターブを等分割するテンペラメントは、英語で '''''n''-tone equal temperament''' ('''''n''-tet''', '''''n''-et''')と書かれる。		[[レギュラーテンペラメント\|テンペラメント]]としての平均律と、純粋に音程の集合、調律システムとしての平均律を簡単に呼び分ける日本語の用語はまだない。テンペラメントとしての平均律というのは、平均律という音階を純正律の近似として説明するものであり、つまり平均律の各音程はそれぞれ何らかの純正音程を代理しているということを作曲家に対して提案するものである。調律の実務に対しては、この提案からオクターブの響きを優先した調律や完全5度の響きを優先した調律など、ステップサイズがわずかに異なる複数の調律システムが派生しうる。逆に全く同じ調律でも、純正律として異なる解釈をするならばそれは異なるテンペラメントであり、その平均律の意外な側面を明らかにするかもしれない。オクターブを等分割するテンペラメントは、英語で '''''n''-tone equal temperament''' ('''''n''-tet''', '''''n''-et''')と書かれる。
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	An equal-step tuning is an [[Arithmetic tuning\|arithmetic]] and [[harmonotonic tuning]]. In terms of what musical resource is divided, it divides pitch, so it is an ''equal pitch division'' (''EPD''). Because pitch is the overwhelmingly most common musical resource to divide equally, this may be abbreviated to ED, or equal division.		An equal-step tuning is an [[Arithmetic tuning\|arithmetic]] and [[harmonotonic tuning]]. In terms of what musical resource is divided, it divides pitch, so it is an ''equal pitch division'' (''EPD''). Because pitch is the overwhelmingly most common musical resource to divide equally, this may be abbreviated to ED, or equal division.
	-->		-->
	~~歴史的には、純正律を実用的に修正した音律を「平均律」といった~~<ref>改訂新版　世界大百科事典『[https://kotobank.jp/word/%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B 平均律]』 - コトバンク</ref>。これには中全音律やウェル・テンペラメントを含む。つまり、純正律からの矛盾した要求に音程を平均化するという方法で対処したもの（≒temperament）をすべて「平均律」と呼んでいたのである<ref>図解現代百科事典第五巻 (昭8)[https://dl.ndl.go.jp/pid/1869821/1/122?keyword=%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%88%86%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B] 「～近似の數音を一音を以って代表させる調律法。」</ref>。		歴史的には、純正律を実用的に修正した音律を日本語で「平均律」といった<ref>改訂新版　世界大百科事典『[https://kotobank.jp/word/%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B 平均律]』 - コトバンク</ref>。これには中全音律やウェル・テンペラメントといった''不等分平均律''も含む。つまり、純正律からの矛盾した要求に音程を平均化するという方法で対処したもの（≒temperament）をすべて「平均律」と呼んでいたのである<ref>図解現代百科事典第五巻 (昭8)[https://dl.ndl.go.jp/pid/1869821/1/122?keyword=%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%88%86%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B] 「～近似の數音を一音を以って代表させる調律法。」</ref>。古い文献では、「平均率」や「平均率音階」といった表現がされることもある。<ref>誤字ではなく明らかに編集方針として「平均率」が採用されている。「音律」の説明を省略して音階に直結し、「平均律音階」と書いて「律音階」との混同が生じるのを避けるためか？</ref>

	== 式 ==		== 式 ==

2025年4月27日 (日) 07:12にDummy indexによる

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	\| ja = 平均律		\| ja = 平均律
	}}		}}
	~~[todo]~~
	{{Wikipedia\|平均律}}		{{Wikipedia\|平均律}}

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	An equal-step tuning is an [[Arithmetic tuning\|arithmetic]] and [[harmonotonic tuning]]. In terms of what musical resource is divided, it divides pitch, so it is an ''equal pitch division'' (''EPD''). Because pitch is the overwhelmingly most common musical resource to divide equally, this may be abbreviated to ED, or equal division.		An equal-step tuning is an [[Arithmetic tuning\|arithmetic]] and [[harmonotonic tuning]]. In terms of what musical resource is divided, it divides pitch, so it is an ''equal pitch division'' (''EPD''). Because pitch is the overwhelmingly most common musical resource to divide equally, this may be abbreviated to ED, or equal division.
	-->		-->
	歴史的には、純正律を実用的に修正した音律を「平均律」といった<ref>改訂新版　世界大百科事典『[https://kotobank.jp/word/%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B 平均律]』 - コトバンク</ref>。これには中全音律やウェル・テンペラメントを含む。つまり、純正律からの矛盾した要求に音程を平均化するという方法で対処したもの（≒temperament）をすべて「平均律」と呼んでいたのである。		歴史的には、純正律を実用的に修正した音律を「平均律」といった<ref>改訂新版　世界大百科事典『[https://kotobank.jp/word/%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B 平均律]』 - コトバンク</ref>。これには中全音律やウェル・テンペラメントを含む。つまり、純正律からの矛盾した要求に音程を平均化するという方法で対処したもの（≒temperament）をすべて「平均律」と呼んでいたのである<ref>図解現代百科事典第五巻 (昭8)[https://dl.ndl.go.jp/pid/1869821/1/122?keyword=%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%88%86%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B] 「～近似の數音を一音を以って代表させる調律法。」</ref>。

	== 式 ==		== 式 ==
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	== 目録 ==		== 目録 ==
			: ''網羅的なリストは[[:en:Equal-step tuning #Catalog of equal-step tunings\|英語版]]を参照''
	=== Equal division ===		=== Equal division ===
	* {{en仮リンク\|EDF}}		* {{en仮リンク\|EDF}}
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	== 関連項目 ==		== 関連項目 ==
	* {{en仮リンク\|Stretched and compressed tuning}}		* {{en仮リンク\|Stretched and compressed tuning}}

	~~{{スタブ‎}}~~

2024年11月11日 (月) 14:26にDummy indexによる

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← 古い版		2024年11月11日 (月) 14:26時点における版
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	数学的な話を続けると、この種の図は[[リーマンゼータ関数と調律\|リーマンゼータ関数]]に関連している。		数学的な話を続けると、この種の図は[[リーマンゼータ関数と調律\|リーマンゼータ関数]]に関連している。

			== 目録 ==
			=== Equal division ===
			* {{en仮リンク\|EDF}}
			* [[オクターブ平均律]]
			* {{en仮リンク\|EDT}}

			=== Equal multiplication ===
			* {{en仮リンク\|88cET}}
			* (100cET = 12edo)

	== 脚注 ==		== 脚注 ==
	<references />		<references />

			== 関連項目 ==
			* {{en仮リンク\|Stretched and compressed tuning}}

	{{スタブ‎}}		{{スタブ‎}}

Dummy index: 訳(5/)

2024-11-02T12:34:06Z

訳(5/)

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14行目:		14行目:
	純正律に基づかずに平均律を扱うこともよくある。この場合の理論面で身軽な用語として、「オクターブの均等な分割」を意味する '''edo''' (または '''ed2''') という用語が使われる。この場合は言及されたオクターブ(純正)のみが純正律に関係している。より一般的には、''p'' を分割のもととなる音程として、'''ed-''p''''' という用語が使われる。例えば、{{en仮リンク\|ボーレン・ピアース\|Bohlen-Pierce}}の 3/1 を13分割する平均律は13ed3または13edtと書かれる。		純正律に基づかずに平均律を扱うこともよくある。この場合の理論面で身軽な用語として、「オクターブの均等な分割」を意味する '''edo''' (または '''ed2''') という用語が使われる。この場合は言及されたオクターブ(純正)のみが純正律に関係している。より一般的には、''p'' を分割のもととなる音程として、'''ed-''p''''' という用語が使われる。例えば、{{en仮リンク\|ボーレン・ピアース\|Bohlen-Pierce}}の 3/1 を13分割する平均律は13ed3または13edtと書かれる。

	''ステップが等しくなるように調律されているため、作曲家はスケールのどこでも好きなところにアプローチできる。'' 通常は簡約化されるものではあるが、均等な分割のスケールは無限に別名を持っている（12edo = 24ed4 = 36ed8 = …など）。さらにモード音楽と調性音楽の議論において避けられる様々な名前を除外しても、作曲活動から利用可能なモードとキーはまだとても幅広く存在する。		''ステップが等しくなるように調律されているため、作曲家はスケールのどこでも好きなところにアプローチできる。'' 通常は簡約化されるものではあるが、均等な分割のスケールは無限に別名を持っている。さらにモード音楽と調性音楽の議論において避けられる様々な名前を除外しても、作曲活動から利用可能なモードとキーはまだとても幅広く存在する。

	<!--''As there are infinitely many intervals, there are infinitely many equal scales.'' Barring technicalities, there are large quantities of perceivably different equal scales. Seeing such a diverse menagerie at their disposal, some composers choose to combine multiple equal tunings [[ET survey\|sequentially]] or [[Polymicrotonality\|simultaneously]].		<!--''As there are infinitely many intervals, there are infinitely many equal scales.'' Barring technicalities, there are large quantities of perceivably different equal scales. Seeing such a diverse menagerie at their disposal, some composers choose to combine multiple equal tunings [[ET survey\|sequentially]] or [[Polymicrotonality\|simultaneously]].
33行目:		33行目:
	となる。特に、''k'' が0の場合、''c'' は1となり、''k'' = ''n'' の場合、''c'' = ''p'' となる。		となる。特に、''k'' が0の場合、''c'' は1となり、''k'' = ''n'' の場合、''c'' = ''p'' となる。

	== ~~Simultaneous equal divisions~~ ==		== 同時に異なるものの等分割であること ==
	What do 12ed2, 19ed3, and 28ed5 all have in common? They are all approximately the same scale. This happens because 12ed2 is an accurate temperament (for its size) that contains relatively close approximations of 3/1 ~~and~~ 5/1~~. In contrast, 11ed2 does not correspond closely to any equal division of 3/1 or 5/1.~~		12ed2、19ed3、28ed5にある共通点とは？これらは近似的に同じスケールである。これは12ed2が 3/1 と 5/1 をそれぞれ比較的よく近似する音程を持っていることによる。対照的に、11ed2にはそういう似ているed3やed5は存在しない。

	~~The following plot shows equal divisions of~~ 2/~~1, 3~~/~~1, 5~~/~~1, and 7~~/1~~, and points out some instances when three or more of them happen to be close together. Note that any equal division of 2~~/1 ~~is automatically an equal division of 4~~/1~~; and if something is simultaneously a good equal division of both 2~~/1 ~~and~~ 3/1~~, then it is a good equal division of~~ 6/1 ~~as well.~~		下の図は 2/1、3/1、5/1、7/1のequal divisionとそれらが似ているいくつかの組み合わせを示している。他の注意点として、2/1 のequal divisionは自動的に 4/1 や 8/1 のequal divisionでもある。また、2/1 と 3/1 の両方をよく近似するequal divisionがあったら、それはまた 6/1 をよく近似するequal divisionでもある。

	[[File:equal.png\|alt=equal.png\|800x69px\|equal.png]]		[[File:equal.png\|alt=equal.png\|800x69px\|equal.png]]

	(~~Unlimited resolution version~~: [[:File:equal.svg\|equal.svg]])		(ベクター形式: [[:File:equal.svg\|equal.svg]])

	~~For the mathematically inclined, this kind of diagram is closely related to~~ [[~~The Riemann zeta function and tuning~~\|~~the Riemann zeta function~~]].		数学的な話を続けると、この種の図は[[リーマンゼータ関数と調律\|リーマンゼータ関数]]に関連している。

			== 脚注 ==
			<references />

	{{スタブ‎}}		{{スタブ‎}}

2024年10月31日 (木) 14:47にDummy indexによる

2024-10-31T14:47:46Z

← 古い版		2024年10月31日 (木) 14:47時点における版
27行目:		27行目:
	<math>\displaystyle s = 1200 \log_2 (p) \cdot k/n</math>		<math>\displaystyle s = 1200 \log_2 (p) \cdot k/n</math>

	となる。''n''-ed-''p'' の単ステップの大きさを[[周波数比率]]で得たい場合、''p'' の ''n''乗根を求めればよい。例えば、12edoの単ステップは 2<sup>1/12</sup> (≈ 1.059) である。なので、''n''-ed-''p'' の ''k'' ステップの周波数比 ''c'' は		となる。''n''-ed-''p'' の単ステップの大きさを[[周波数比率]]で得たい場合、''p'' の ''n'' 乗根を求めればよい。例えば、12edoの単ステップは 2<sup>1/12</sup> (≈ 1.059) である。なので、''n''-ed-''p'' の ''k'' ステップの周波数比 ''c'' は

	<math>\displaystyle c = p^{k/n}</math>		<math>\displaystyle c = p^{k/n}</math>

Dummy index: 訳(4/)

2024-10-31T14:42:11Z

訳(4/)

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	'''平均律''' (英: equal-step tuning, equal tuning, equal division, ED) は、1種類の音程サイズの繰り返しからなる周期的な[[音律\|調律システム]]である。この1ステップのサイズは明示的に与えられたり(e.g. {{en仮リンク\|88cET}})、より大きな音程の等分割として与えられたりする(e.g. オクターブ[[13平均律]])。元になる音程は純正（有理数）音程でも無理数音程でもよいが、通例は[[オクターブ]]を分割した[[オクターブ平均律]]となる。純正音程を等分割した場合、新たに生じる音程は約せる場合（8/1 の3等分は立方根なので 2/1 になる等）を除いてすべて無理数音程となる。		'''平均律''' (英: equal-step tuning, equal tuning, equal division, ED) は、1種類の音程サイズの繰り返しからなる周期的な[[音律\|調律システム]]である。この1ステップのサイズは明示的に与えられたり(e.g. {{en仮リンク\|88cET}})、より大きな音程の等分割として与えられたりする(e.g. オクターブ[[13平均律]])。元になる音程は純正（有理数）音程でも無理数音程でもよいが、通例は[[オクターブ]]を分割した[[オクターブ平均律]]となる。純正音程を等分割した場合、新たに生じる音程は約せる場合（8/1 の3等分は立方根なので 2/1 になる等）を除いてすべて無理数音程となる。

	[[テンペラメント]]としての平均律と、純粋に音程の集合、調律システムとしての平均律を簡単に呼び分ける日本語の用語はまだない。テンペラメントとしての平均律というのは、平均律という音階を純正律の近似として説明するものであり、つまり平均律の各音程はそれぞれ何らかの純正音程を代理しているということを作曲家に対して提案するものである。調律の実務に対しては、この提案からオクターブの響きを優先した調律や完全5度の響きを優先した調律など、ステップサイズがわずかに異なる複数の調律システムが派生しうる。逆に全く同じ調律でも、純正律として異なる解釈をするならばそれは異なるテンペラメントであり、その平均律の意外な側面を明らかにするかもしれない。オクターブを等分割するテンペラメントは、英語で ''n''-tone equal temperament (''n''-tet or ''n''-et)と書かれる。		[[レギュラーテンペラメント\|テンペラメント]]としての平均律と、純粋に音程の集合、調律システムとしての平均律を簡単に呼び分ける日本語の用語はまだない。テンペラメントとしての平均律というのは、平均律という音階を純正律の近似として説明するものであり、つまり平均律の各音程はそれぞれ何らかの純正音程を代理しているということを作曲家に対して提案するものである。調律の実務に対しては、この提案からオクターブの響きを優先した調律や完全5度の響きを優先した調律など、ステップサイズがわずかに異なる複数の調律システムが派生しうる。逆に全く同じ調律でも、純正律として異なる解釈をするならばそれは異なるテンペラメントであり、その平均律の意外な側面を明らかにするかもしれない。オクターブを等分割するテンペラメントは、英語で '''''n''-tone equal temperament''' ('''''n''-tet''', '''''n''-et''')と書かれる。

	~~純正律に基づかずに平均律を扱うこともよくある。この場合の理論面で身軽な用語として、'''オクターブの均等な分割'''を意味する~~ '''edo''' (または '''ed2''') という用語が使われる。この場合は言及されたオクターブ(純正)のみが純正律に関係している。より一般的には、''p'' を分割のもととなる音程として、'''ed-''p''''' という用語が使われる。例えば、{{en仮リンク\|ボーレン・ピアース\|Bohlen-Pierce}}の 3/1 を13分割する平均律は13ed3または13edtと書かれる。		純正律に基づかずに平均律を扱うこともよくある。この場合の理論面で身軽な用語として、「オクターブの均等な分割」を意味する '''edo''' (または '''ed2''') という用語が使われる。この場合は言及されたオクターブ(純正)のみが純正律に関係している。より一般的には、''p'' を分割のもととなる音程として、'''ed-''p''''' という用語が使われる。例えば、{{en仮リンク\|ボーレン・ピアース\|Bohlen-Pierce}}の 3/1 を13分割する平均律は13ed3または13edtと書かれる。

	''ステップが等しくなるように調律されているため、作曲家はスケールのどこでも好きなところにアプローチできる。'' 通常は簡約化されるものではあるが、均等な分割のスケールは無限に別名を持っている（12edo = 24ed4 = 36ed8 = …など）。さらにモード音楽と調性音楽の議論において避けられる様々な名前を除外しても、作曲活動から利用可能なモードとキーはまだとても幅広く存在する。		''ステップが等しくなるように調律されているため、作曲家はスケールのどこでも好きなところにアプローチできる。'' 通常は簡約化されるものではあるが、均等な分割のスケールは無限に別名を持っている（12edo = 24ed4 = 36ed8 = …など）。さらにモード音楽と調性音楽の議論において避けられる様々な名前を除外しても、作曲活動から利用可能なモードとキーはまだとても幅広く存在する。
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	An equal-step tuning is an [[Arithmetic tuning\|arithmetic]] and [[harmonotonic tuning]]. In terms of what musical resource is divided, it divides pitch, so it is an ''equal pitch division'' (''EPD''). Because pitch is the overwhelmingly most common musical resource to divide equally, this may be abbreviated to ED, or equal division.		An equal-step tuning is an [[Arithmetic tuning\|arithmetic]] and [[harmonotonic tuning]]. In terms of what musical resource is divided, it divides pitch, so it is an ''equal pitch division'' (''EPD''). Because pitch is the overwhelmingly most common musical resource to divide equally, this may be abbreviated to ED, or equal division.
	-->		-->
	~~歴史的には、純正律を実用的に修正した音律を平均律といった~~<ref>改訂新版　世界大百科事典『[https://kotobank.jp/word/%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B 平均律]』 - コトバンク</ref>。これには中全音律やウェル・テンペラメントを含む。つまり、純正律からの矛盾した要求を何とかするために、音程を平均化するという方法をとったもの（≒temperament）をすべて平均律と呼んでいたのである。		歴史的には、純正律を実用的に修正した音律を「平均律」といった<ref>改訂新版　世界大百科事典『[https://kotobank.jp/word/%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B 平均律]』 - コトバンク</ref>。これには中全音律やウェル・テンペラメントを含む。つまり、純正律からの矛盾した要求に音程を平均化するという方法で対処したもの（≒temperament）をすべて「平均律」と呼んでいたのである。

	== ~~Formula~~ ==		== 式 ==
	~~To find the step size of~~ ''n''-ed-''p'' ~~in terms of~~ [[~~cent~~]]~~s, divide the cents of~~ ''p'' by ''n''~~. The size ''s'' of ''k'' steps of~~ ''n''-ed-''p'' (''k''\''n'' ~~<''p''>~~) is		''n''-ed-''p'' の単ステップの大きさを[[セント]]値で得たい場合、''p'' のセント値を ''n'' で割ればよい。''n''-ed-''p'' の ''k'' ステップの大きさ ''s'' (cent) は

	<math>\displaystyle s = 1200 \log_2 (p) \cdot k/n</math>		<math>\displaystyle s = 1200 \log_2 (p) \cdot k/n</math>

	~~To find the step size of~~ ''n''-~~edo in terms of~~ [[~~frequency ratio~~]]~~, take the~~ ''n''~~-th root of~~ ''p''~~. For example, the step of 12edo is~~ 2<sup>1/12</sup> (≈ 1.059)~~. So the ratio~~ ''c'' of ''k'' ~~steps of~~ ''n''~~-ed-~~''p'' is		となる。''n''-ed-''p'' の単ステップの大きさを[[周波数比率]]で得たい場合、''p'' の ''n''乗根を求めればよい。例えば、12edoの単ステップは 2<sup>1/12</sup> (≈ 1.059) である。なので、''n''-ed-''p'' の ''k'' ステップの周波数比 ''c'' は

	<math>\displaystyle c = p^{k/n}</math>		<math>\displaystyle c = p^{k/n}</math>

	~~In particular, when~~ ''k'' ~~is 0,~~ ''c'' ~~is simply 1, because any number to the 0th power is 1. And when~~ ''k'' = ''n'', ''c'' ~~is simply~~ ''p''~~, because any number to the 1st power is itself.~~		となる。特に、''k'' が0の場合、''c'' は1となり、''k'' = ''n'' の場合、''c'' = ''p'' となる。

	== Simultaneous equal divisions ==		== Simultaneous equal divisions ==

2024年10月30日 (水) 14:55にDummy indexによる

2024-10-30T14:55:51Z

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20行目:		20行目:
	An equal-step tuning is an [[Arithmetic tuning\|arithmetic]] and [[harmonotonic tuning]]. In terms of what musical resource is divided, it divides pitch, so it is an ''equal pitch division'' (''EPD''). Because pitch is the overwhelmingly most common musical resource to divide equally, this may be abbreviated to ED, or equal division.		An equal-step tuning is an [[Arithmetic tuning\|arithmetic]] and [[harmonotonic tuning]]. In terms of what musical resource is divided, it divides pitch, so it is an ''equal pitch division'' (''EPD''). Because pitch is the overwhelmingly most common musical resource to divide equally, this may be abbreviated to ED, or equal division.
	-->		-->
	歴史的には、純正律を実用的に修正した音律を平均律といった<ref>改訂新版　世界大百科事典『[https://kotobank.jp/word/%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B\|平均律]』 - コトバンク</ref>。これには中全音律やウェル・テンペラメントを含む。つまり、純正律からの矛盾した要求を何とかするために、音程を平均化するという方法をとったもの（≒temperament）をすべて平均律と呼んでいたのである。		歴史的には、純正律を実用的に修正した音律を平均律といった<ref>改訂新版　世界大百科事典『[https://kotobank.jp/word/%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B 平均律]』 - コトバンク</ref>。これには中全音律やウェル・テンペラメントを含む。つまり、純正律からの矛盾した要求を何とかするために、音程を平均化するという方法をとったもの（≒temperament）をすべて平均律と呼んでいたのである。

	== Formula ==		== Formula ==

Dummy index: 冒頭残り2段落は保留；平均律をtemperamentの訳としている文献の例を挙げる

2024-10-30T14:41:39Z

冒頭残り2段落は保留；平均律をtemperamentの訳としている文献の例を挙げる

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	''ステップが等しくなるように調律されているため、作曲家はスケールのどこでも好きなところにアプローチできる。'' 通常は簡約化されるものではあるが、均等な分割のスケールは無限に別名を持っている（12edo = 24ed4 = 36ed8 = …など）。さらにモード音楽と調性音楽の議論において避けられる様々な名前を除外しても、作曲活動から利用可能なモードとキーはまだとても幅広く存在する。		''ステップが等しくなるように調律されているため、作曲家はスケールのどこでも好きなところにアプローチできる。'' 通常は簡約化されるものではあるが、均等な分割のスケールは無限に別名を持っている（12edo = 24ed4 = 36ed8 = …など）。さらにモード音楽と調性音楽の議論において避けられる様々な名前を除外しても、作曲活動から利用可能なモードとキーはまだとても幅広く存在する。

	~~An '''equal~~-~~step tuning'~~'', ~~'''~~equal ~~tuning'~~'', ~~or '''~~equal ~~division''' ('''ED''') is~~ a [[~~period]]ic [[tuning system]] where the distance between adjacent steps is of constant [[Interval size~~\|~~size~~]]~~. The size of this single step is given explicitly (e.g. [[88cET\|88-cent equal tuning]])~~ or ~~as a fraction of a larger interval (e.g.~~ [[~~13edo~~\|13 equal divisions of the octave]]). Any interval, rational/just, or irrational, may be used as the basis for an equal tuning, although divisions of the octave are most common, leading to [[edo]] systems. When a just interval is equally divided, it is assumed none of the resulting intervals are just, because if the interval has a rational root it is seen as a division of that [[root]].		<!--''As there are infinitely many intervals, there are infinitely many equal scales.'' Barring technicalities, there are large quantities of perceivably different equal scales. Seeing such a diverse menagerie at their disposal, some composers choose to combine multiple equal tunings [[ET survey\|sequentially]] or [[Polymicrotonality\|simultaneously]].

	~~When a~~ tuning is ~~called~~ '''''n''-~~tone equal temperament~~''' ~~(abbreviated~~ ''n''~~-tet or~~ ''n''-~~et), this usually means "~~''n'' ~~divisions of 2~~/1, the ~~octave, or some approximation thereof", but it also implies a mindset~~ of [[~~Regular Temperaments\|temperament~~]] ~~– that is~~, ~~of a JI~~-~~approximation-based understanding~~ of ~~the scale~~. ~~If you are wondering how equal divisions of the octave can become associated with temperaments~~, the ~~page [[EDOs to ETs]] may help clarify~~.		An equal-step tuning is an [[Arithmetic tuning\|arithmetic]] and [[harmonotonic tuning]]. In terms of what musical resource is divided, it divides pitch, so it is an ''equal pitch division'' (''EPD''). Because pitch is the overwhelmingly most common musical resource to divide equally, this may be abbreviated to ED, or equal division.
			-->
			歴史的には、純正律を実用的に修正した音律を平均律といった<ref>改訂新版　世界大百科事典『[https://kotobank.jp/word/%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B\|平均律]』 - コトバンク</ref>。これには中全音律やウェル・テンペラメントを含む。つまり、純正律からの矛盾した要求を何とかするために、音程を平均化するという方法をとったもの（≒temperament）をすべて平均律と呼んでいたのである。

			== Formula ==
			To find the step size of ''n''-ed-''p'' in terms of [[cent]]s, divide the cents of ''p'' by ''n''. The size ''s'' of ''k'' steps of ''n''-ed-''p'' (''k''\''n'' <''p''>) is

			<math>\displaystyle s = 1200 \log_2 (p) \cdot k/n</math>

			To find the step size of ''n''-edo in terms of [[frequency ratio]], take the ''n''-th root of ''p''. For example, the step of 12edo is 2<sup>1/12</sup> (≈ 1.059). So the ratio ''c'' of ''k'' steps of ''n''-ed-''p'' is

	There are many reasons why one might choose to not consider JI approximations when dealing with equal tunings, and thus not treat equal tunings as temperaments. In such case, the less theory-laden term '''edo''' (occasionally written '''ed2'''), meaning '''equal divisions of the octave''' (or '''equal divisions of 2/1'''), leaves comparison to JI out of the picture, aside from the octave itself (which is assumed to be just). There are other less standard terms, many in the [http://www.tonalsoft.com/enc/encyclopedia.aspx Tonalsoft Encyclopedia]. More generally, the term '''ed-''p''''' can be used, where ''p'' is any frequency ratio. For example, the equal-tempered [[Bohlen-Pierce]] scale may also be referred to as 13ed3, for 13 equal divisions of 3/~~1 (the 3rd harmonic).~~		<math>\displaystyle c = p^{k/n}</math>

	''~~As the steps are tuned to be equal~~, ~~equal scales may be taken to close anywhere composers wish them~~ to.'' ~~Barring the convention of closing equal divisions of particular just intervals at those stated just intervals~~, ~~there are infinite synonymous names for each equal scale. Barring further the large~~ number ~~of names which would be avoided in discourses on comparative modality and tonality, there is still a a great width~~ to the ~~universe of modes and keys which modal and tonal compositional art can access~~.		In particular, when ''k'' is 0, ''c'' is simply 1, because any number to the 0th power is 1. And when ''k'' = ''n'', ''c'' is simply ''p'', because any number to the 1st power is itself.

	~~''As there are infinitely many intervals~~, ~~there~~ are ~~infinitely many equal scales~~.~~'' Barring technicalities, there are large quantities~~ of ~~perceivably different equal scales~~. ~~Seeing such a diverse menagerie at their disposal~~, ~~some composers choose~~ to ~~combine multiple~~ equal ~~tunings [[ET survey\|sequentially]]~~ or ~~[[Polymicrotonality\|simultaneously]]~~.		== Simultaneous equal divisions ==
			What do 12ed2, 19ed3, and 28ed5 all have in common? They are all approximately the same scale. This happens because 12ed2 is an accurate temperament (for its size) that contains relatively close approximations of 3/1 and 5/1. In contrast, 11ed2 does not correspond closely to any equal division of 3/1 or 5/1.

	An equal~~-step tuning~~ is an ~~[[Arithmetic tuning\|arithmetic]]~~ and ~~[[harmonotonic tuning]]. In terms~~ of ~~what musical resource is divided, it divides pitch~~, so it is ~~an ''~~equal ~~pitch~~ division~~'' (''EPD'')~~. ~~Because pitch is the overwhelmingly most common musical resource to divide equally, this may be abbreviated to ED, or~~ equal ~~division~~.		The following plot shows equal divisions of 2/1, 3/1, 5/1, and 7/1, and points out some instances when three or more of them happen to be close together. Note that any equal division of 2/1 is automatically an equal division of 4/1; and if something is simultaneously a good equal division of both 2/1 and 3/1, then it is a good equal division of 6/1 as well.

			[[File:equal.png\|alt=equal.png\|800x69px\|equal.png]]

			(Unlimited resolution version: [[:File:equal.svg\|equal.svg]])

			For the mathematically inclined, this kind of diagram is closely related to [[The Riemann zeta function and tuning\|the Riemann zeta function]].

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	'''平均律'''は、1種類の音程サイズの繰り返しからなる周期的な[[音律\|調律システム]]である。この1ステップのサイズは明示的に与えられたり(e.g. {{en仮リンク\|88cET}})、より大きな音程の等分割として与えられたりする(e.g. オクターブ[[13平均律]])~~。元になる音程は純正（有理数）音程でも無理数音程でもよいが、通例はオクターブを分割した~~[[オクターブ平均律]]となる。純正音程を等分割した場合、新たに生じる音程は約せる場合（8/1 の3等分は立方根なので 2/1 になる等）を除いてすべて無理数音程となる。		'''平均律''' (英: equal-step tuning, equal tuning, equal division, ED) は、1種類の音程サイズの繰り返しからなる周期的な[[音律\|調律システム]]である。この1ステップのサイズは明示的に与えられたり(e.g. {{en仮リンク\|88cET}})、より大きな音程の等分割として与えられたりする(e.g. オクターブ[[13平均律]])。元になる音程は純正（有理数）音程でも無理数音程でもよいが、通例は[[オクターブ]]を分割した[[オクターブ平均律]]となる。純正音程を等分割した場合、新たに生じる音程は約せる場合（8/1 の3等分は立方根なので 2/1 になる等）を除いてすべて無理数音程となる。

	テンペラメントとしての平均律と、純粋に音程の集合、調律システムとしての平均律を簡単に呼び分ける日本語の用語はない。テンペラメントとしての平均律というのは、平均律という音階を純正律の近似として説明するものであり、つまり平均律の各音程はそれぞれ何らかの純正音程を代理しているということを作曲家に対して提案するものである。調律の実務に対しては、この提案からオクターブの響きを優先した調律や完全5度の響きを優先した調律など、ステップサイズがわずかに異なる複数の調律システムが派生しうる。逆に全く同じ調律でも、純正律として異なる解釈をするならばそれは異なるテンペラメントであり、その平均律の意外な側面を明らかにするかもしれない。		[[テンペラメント]]としての平均律と、純粋に音程の集合、調律システムとしての平均律を簡単に呼び分ける日本語の用語はまだない。テンペラメントとしての平均律というのは、平均律という音階を純正律の近似として説明するものであり、つまり平均律の各音程はそれぞれ何らかの純正音程を代理しているということを作曲家に対して提案するものである。調律の実務に対しては、この提案からオクターブの響きを優先した調律や完全5度の響きを優先した調律など、ステップサイズがわずかに異なる複数の調律システムが派生しうる。逆に全く同じ調律でも、純正律として異なる解釈をするならばそれは異なるテンペラメントであり、その平均律の意外な側面を明らかにするかもしれない。オクターブを等分割するテンペラメントは、英語で ''n''-tone equal temperament (''n''-tet or ''n''-et)と書かれる。

	純正律に基づかずに平均律を扱うこともよくある。この場合の理論面で身軽な用語として、'''オクターブの均等な分割'''を意味する '''edo''' (または '''ed2''') という用語が使われる。この場合は言及されたオクターブ(純正)~~のみが純正律に基づいている。より一般的には、~~''p'' を分割のもととなる音程として、'''ed-''p''''' という用語が使われる。例えば、{{en仮リンク\|ボーレン・ピアース\|Bohlen-Pierce}}の 3/1 を13分割する平均律は13ed3または13edtと書かれる。		純正律に基づかずに平均律を扱うこともよくある。この場合の理論面で身軽な用語として、'''オクターブの均等な分割'''を意味する '''edo''' (または '''ed2''') という用語が使われる。この場合は言及されたオクターブ(純正)のみが純正律に関係している。より一般的には、''p'' を分割のもととなる音程として、'''ed-''p''''' という用語が使われる。例えば、{{en仮リンク\|ボーレン・ピアース\|Bohlen-Pierce}}の 3/1 を13分割する平均律は13ed3または13edtと書かれる。

			''ステップが等しくなるように調律されているため、作曲家はスケールのどこでも好きなところにアプローチできる。'' 通常は簡約化されるものではあるが、均等な分割のスケールは無限に別名を持っている（12edo = 24ed4 = 36ed8 = …など）。さらにモード音楽と調性音楽の議論において避けられる様々な名前を除外しても、作曲活動から利用可能なモードとキーはまだとても幅広く存在する。

	An '''equal-step tuning''', '''equal tuning''', or '''equal division''' ('''ED''') is a [[period]]ic [[tuning system]] where the distance between adjacent steps is of constant [[Interval size\|size]]. The size of this single step is given explicitly (e.g. [[88cET\|88-cent equal tuning]]) or as a fraction of a larger interval (e.g. [[13edo\|13 equal divisions of the octave]]). Any interval, rational/just, or irrational, may be used as the basis for an equal tuning, although divisions of the octave are most common, leading to [[edo]] systems. When a just interval is equally divided, it is assumed none of the resulting intervals are just, because if the interval has a rational root it is seen as a division of that [[root]].		An '''equal-step tuning''', '''equal tuning''', or '''equal division''' ('''ED''') is a [[period]]ic [[tuning system]] where the distance between adjacent steps is of constant [[Interval size\|size]]. The size of this single step is given explicitly (e.g. [[88cET\|88-cent equal tuning]]) or as a fraction of a larger interval (e.g. [[13edo\|13 equal divisions of the octave]]). Any interval, rational/just, or irrational, may be used as the basis for an equal tuning, although divisions of the octave are most common, leading to [[edo]] systems. When a just interval is equally divided, it is assumed none of the resulting intervals are just, because if the interval has a rational root it is seen as a division of that [[root]].

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	'''平均律'''~~は、1種類の音程サイズの繰り返しからなる周期的な調律システムである。この1ステップのサイズは明示的に与えられたり~~(e.g. {{en仮リンク\|88cET]])、より大きな音程の等分割として与えられたりする(e.g. [[13平均律]])。元になる音程は純正（有理数）音程でも無理数音程でもよいが、通例はオクターブを分割した[[オクターブ平均律]]となる。純正音程を等分割した場合、新たに生じる音程は約せる場合（8/1 の3等分は立方根なので 2/1 になる等）を除いてすべて無理数音程となる。		'''平均律'''は、1種類の音程サイズの繰り返しからなる周期的な[[音律\|調律システム]]である。この1ステップのサイズは明示的に与えられたり(e.g. {{en仮リンク\|88cET}})、より大きな音程の等分割として与えられたりする(e.g. オクターブ[[13平均律]])。元になる音程は純正（有理数）音程でも無理数音程でもよいが、通例はオクターブを分割した[[オクターブ平均律]]となる。純正音程を等分割した場合、新たに生じる音程は約せる場合（8/1 の3等分は立方根なので 2/1 になる等）を除いてすべて無理数音程となる。

	テンペラメントとしての平均律と、純粋に音程の集合、調律システムとしての平均律を簡単に呼び分ける日本語の用語はない。テンペラメントとしての平均律というのは、平均律という音階を純正律の近似として説明するものであり、つまり平均律の各音程はそれぞれ何らかの純正音程を代理しているということを作曲家に対して提案するものである。調律の実務に対しては、この提案からオクターブの響きを優先した調律や完全5度の響きを優先した調律など複数の調律システムが派生しうる。		テンペラメントとしての平均律と、純粋に音程の集合、調律システムとしての平均律を簡単に呼び分ける日本語の用語はない。テンペラメントとしての平均律というのは、平均律という音階を純正律の近似として説明するものであり、つまり平均律の各音程はそれぞれ何らかの純正音程を代理しているということを作曲家に対して提案するものである。調律の実務に対しては、この提案からオクターブの響きを優先した調律や完全5度の響きを優先した調律など、ステップサイズがわずかに異なる複数の調律システムが派生しうる。逆に全く同じ調律でも、純正律として異なる解釈をするならばそれは異なるテンペラメントであり、その平均律の意外な側面を明らかにするかもしれない。

	~~純正律に基づかずに平均律を扱うこともよくある。この場合の軽理論的な用語として、~~'''オクターブの均等な分割'''を意味する '''edo''' (または '''ed2''') という用語が使われる。この場合は言及されたオクターブ(純正)~~のみが純正律に基づいている。~~		純正律に基づかずに平均律を扱うこともよくある。この場合の理論面で身軽な用語として、'''オクターブの均等な分割'''を意味する '''edo''' (または '''ed2''') という用語が使われる。この場合は言及されたオクターブ(純正)のみが純正律に基づいている。より一般的には、''p'' を分割のもととなる音程として、'''ed-''p''''' という用語が使われる。例えば、{{en仮リンク\|ボーレン・ピアース\|Bohlen-Pierce}}の 3/1 を13分割する平均律は13ed3または13edtと書かれる。

	An '''equal-step tuning''', '''equal tuning''', or '''equal division''' ('''ED''') is a [[period]]ic [[tuning system]] where the distance between adjacent steps is of constant [[Interval size\|size]]. The size of this single step is given explicitly (e.g. [[88cET\|88-cent equal tuning]]) or as a fraction of a larger interval (e.g. [[13edo\|13 equal divisions of the octave]]). Any interval, rational/just, or irrational, may be used as the basis for an equal tuning, although divisions of the octave are most common, leading to [[edo]] systems. When a just interval is equally divided, it is assumed none of the resulting intervals are just, because if the interval has a rational root it is seen as a division of that [[root]].		An '''equal-step tuning''', '''equal tuning''', or '''equal division''' ('''ED''') is a [[period]]ic [[tuning system]] where the distance between adjacent steps is of constant [[Interval size\|size]]. The size of this single step is given explicitly (e.g. [[88cET\|88-cent equal tuning]]) or as a fraction of a larger interval (e.g. [[13edo\|13 equal divisions of the octave]]). Any interval, rational/just, or irrational, may be used as the basis for an equal tuning, although divisions of the octave are most common, leading to [[edo]] systems. When a just interval is equally divided, it is assumed none of the resulting intervals are just, because if the interval has a rational root it is seen as a division of that [[root]].

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	'''平均律'''は、1種類の音程サイズの繰り返しからなる周期的な[[音律\|調律システム]]である。この1ステップのサイズは明示的に与えられたり(e.g. {{en仮リンク\|88cET}})、より大きな音程の等分割として与えられたりする(e.g. オクターブ[[13平均律]])~~。元になる音程は純正（有理数）音程でも無理数音程でもよいが、通例はオクターブを分割した~~[[オクターブ平均律]]となる。純正音程を等分割した場合、新たに生じる音程は約せる場合（8/1 の3等分は立方根なので 2/1 になる等）を除いてすべて無理数音程となる。		'''平均律''' (英: equal-step tuning, equal tuning, equal division, ED) は、1種類の音程サイズの繰り返しからなる周期的な[[音律\|調律システム]]である。この1ステップのサイズは明示的に与えられたり(e.g. {{en仮リンク\|88cET}})、より大きな音程の等分割として与えられたりする(e.g. オクターブ[[13平均律]])。元になる音程は純正（有理数）音程でも無理数音程でもよいが、通例は[[オクターブ]]を分割した[[オクターブ平均律]]となる。純正音程を等分割した場合、新たに生じる音程は約せる場合（8/1 の3等分は立方根なので 2/1 になる等）を除いてすべて無理数音程となる。

	テンペラメントとしての平均律と、純粋に音程の集合、調律システムとしての平均律を簡単に呼び分ける日本語の用語はない。テンペラメントとしての平均律というのは、平均律という音階を純正律の近似として説明するものであり、つまり平均律の各音程はそれぞれ何らかの純正音程を代理しているということを作曲家に対して提案するものである。調律の実務に対しては、この提案からオクターブの響きを優先した調律や完全5度の響きを優先した調律など、ステップサイズがわずかに異なる複数の調律システムが派生しうる。逆に全く同じ調律でも、純正律として異なる解釈をするならばそれは異なるテンペラメントであり、その平均律の意外な側面を明らかにするかもしれない。		[[テンペラメント]]としての平均律と、純粋に音程の集合、調律システムとしての平均律を簡単に呼び分ける日本語の用語はまだない。テンペラメントとしての平均律というのは、平均律という音階を純正律の近似として説明するものであり、つまり平均律の各音程はそれぞれ何らかの純正音程を代理しているということを作曲家に対して提案するものである。調律の実務に対しては、この提案からオクターブの響きを優先した調律や完全5度の響きを優先した調律など、ステップサイズがわずかに異なる複数の調律システムが派生しうる。逆に全く同じ調律でも、純正律として異なる解釈をするならばそれは異なるテンペラメントであり、その平均律の意外な側面を明らかにするかもしれない。オクターブを等分割するテンペラメントは、英語で ''n''-tone equal temperament (''n''-tet or ''n''-et)と書かれる。

	純正律に基づかずに平均律を扱うこともよくある。この場合の理論面で身軽な用語として、'''オクターブの均等な分割'''を意味する '''edo''' (または '''ed2''') という用語が使われる。この場合は言及されたオクターブ(純正)~~のみが純正律に基づいている。より一般的には、~~''p'' を分割のもととなる音程として、'''ed-''p''''' という用語が使われる。例えば、{{en仮リンク\|ボーレン・ピアース\|Bohlen-Pierce}}の 3/1 を13分割する平均律は13ed3または13edtと書かれる。		純正律に基づかずに平均律を扱うこともよくある。この場合の理論面で身軽な用語として、'''オクターブの均等な分割'''を意味する '''edo''' (または '''ed2''') という用語が使われる。この場合は言及されたオクターブ(純正)のみが純正律に関係している。より一般的には、''p'' を分割のもととなる音程として、'''ed-''p''''' という用語が使われる。例えば、{{en仮リンク\|ボーレン・ピアース\|Bohlen-Pierce}}の 3/1 を13分割する平均律は13ed3または13edtと書かれる。

			''ステップが等しくなるように調律されているため、作曲家はスケールのどこでも好きなところにアプローチできる。'' 通常は簡約化されるものではあるが、均等な分割のスケールは無限に別名を持っている（12edo = 24ed4 = 36ed8 = …など）。さらにモード音楽と調性音楽の議論において避けられる様々な名前を除外しても、作曲活動から利用可能なモードとキーはまだとても幅広く存在する。

	An '''equal-step tuning''', '''equal tuning''', or '''equal division''' ('''ED''') is a [[period]]ic [[tuning system]] where the distance between adjacent steps is of constant [[Interval size\|size]]. The size of this single step is given explicitly (e.g. [[88cET\|88-cent equal tuning]]) or as a fraction of a larger interval (e.g. [[13edo\|13 equal divisions of the octave]]). Any interval, rational/just, or irrational, may be used as the basis for an equal tuning, although divisions of the octave are most common, leading to [[edo]] systems. When a just interval is equally divided, it is assumed none of the resulting intervals are just, because if the interval has a rational root it is seen as a division of that [[root]].		An '''equal-step tuning''', '''equal tuning''', or '''equal division''' ('''ED''') is a [[period]]ic [[tuning system]] where the distance between adjacent steps is of constant [[Interval size\|size]]. The size of this single step is given explicitly (e.g. [[88cET\|88-cent equal tuning]]) or as a fraction of a larger interval (e.g. [[13edo\|13 equal divisions of the octave]]). Any interval, rational/just, or irrational, may be used as the basis for an equal tuning, although divisions of the octave are most common, leading to [[edo]] systems. When a just interval is equally divided, it is assumed none of the resulting intervals are just, because if the interval has a rational root it is seen as a division of that [[root]].