「利用者:Tessyrrh1016/draft/リーマンゼータ関数と調律」の版間の差分

その結果、ゼータ関数は解析的整数論への使用が最もよく知られているが、調律論の背景にも常に存在している——{{en仮リンク|調和エントロピー|Harmonic entropy}}はゼータ関数のフーリエ変換に関連する可能性があることを示している。また、無限リミットまで拡張すると、種々の調律論的な計量から、ゼータ関数と関連する式が得られる。時々、これらはゼータ関数のシンプルな式から導出できる「素数ゼータ関数」を基準にされることもある。

''x'' をオクターブの等分割を表す変数であるとする。例えば、''x'' = 80 の場合、''x'' は 15 ¢ のステップサイズと純正なオクターブを持つ{{en仮リンク|80平均律|80edo}}であることを表す。''x'' は連続値でも良く、分数または「非オクターブ」の分割も表すことができるとする。例えば{{en仮リンク|ボーレン・ピアース・スケール|Bohlen-Pierce scale}}（3/1 の13等分、13EDT）は、「オクターブ」の約 8.202 等分であり（ただし、オクターブ自体はこのチューニングには現れない）、したがって、''x'' = 8.202 の値で表される。

ここで ||''x''|| を、''x'' と ''x'' に最も近い整数との差を表すものとする。例えば、 ||8.202|| は 8.202 と最も近い整数である 8 との差であるため、0.202 となる。||7.95|| は 7.95 と最も近い整数である 8 との差なので 0.05 となる。数学的には、||''x''|| は床関数 <math>\lfloor \rfloor</math> を用いて関数 <math>\left| x - \left\lfloor x + \frac{1}{2} \right\rfloor \right|</math> と表せる。

どのような ''x'' の値に対しても、''p''-リミット{{en仮リンク|一般化パテントヴァル|Patent val}}（英: Generalized patent val）を構成できる。具体的には、''p'' 以下の素数 ''q'' について、log₂(''q'') × ''x'' を最も近い整数に丸めたものが、''q'' に対応する値となる。つまり <math>\left\lfloor x \log_2{q} + \frac{1}{2} \right\rfloor</math> である。

この関数には、関連する一般化パテントヴァルに対応する局所的極小値がある。極小値は、関連する[[ヴァル]]のオクターブのTenney–Euclidean調律である ''x'' の値に対して発生する。一方、これらの極小値における <math>\xi_p(x)</math> の値は、ヴァルのTenney–Euclidean相対誤差の2乗であり、TE誤差とTE複雑度の積に等しい。「TE単純悪さ」として知られている。

''s'' が1より大きい場合これは収束する。ただしいくつかの調整が必要になる場合がある。まず調律が[[一貫性|一貫的]]であるのに十分なほど誤差が小さい場合、素数の2乗の誤差は素数の誤差の2倍になり、3乗の誤差は3倍になり、誤差が一貫的でなくなるまで続く。重み付けに対数が使用され、誤差測定値が一貫している場合、対数重み付けによってこの効果が打ち消されるため、素数べき乗が暗黙的にTenney–Euclidean測定値に含まれていると考えることができる。各素数べき乗 ''p''^''n'' に 1/''n'' をかけることで、それらを含めることができる。これを実行した結果を記述するためのやや独特だが便利な方法は、フォン・マンゴルト関数{{wikilink|フォン・マンゴルト関数}}を使用したものである。これは、素数べき乗 ''p''^''n'' では ln ''p'' に等しく、その他の場合は 0 となる正の整数上に定義される数論的関数{{Wikilink|数論的関数}}である。これは大文字のラムダを使用して Λ(n) と記述され、これを使って、誤差関数に素数べき乗を次のように含めることができる。

: <math>\displaystyle \xi_\infty(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{\Lambda(n)}{\ln n} \frac{||x \log_2 n||^2}{n^s}</math>

上記の定義のもう一つの帰結として、滑らかな関数が望ましいのに不連続な導関数を持つ関数になるという点に異論があるかもしれない（詳細は[[wikipedia:微分#連続性と可微分性]]を参照）。関数 ||''x''||² は ''x'' の整数値付近で二次増加し、周期1で周期的である。同じ特性を持つ別の関数で 1 − cos(2π''x'') がある。これは滑らかであり、実際は整関数{{wikilink|整関数}}である。そこで、任意の s > 1 について以下のように定義する。

: <math>\displaystyle E_s(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{\Lambda(n)}{\ln n} \frac{1 - \cos(2 \pi x \log_2 n)}{n^s}</math>

For any fixed ''s'' > 1 this gives a real [[Wikipedia:analytic function|analytic function]] defined for all ''x'', and hence with all the smoothness properties we could desire.

: <math>\displaystyle F_s(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{\Lambda(n)}{\ln n} \frac{\cos(2 \pi x \log_2 n)}{n^s}</math>

This new function has the property that <math>F_s(x) = F_s(0) - E_s(x)</math>, so that all we have done is flip the sign of <math>E_s(x)</math> and offset it vertically. This now increases to a maximum value for low errors, rather than declining to a minimum. Of more interest is the fact that it is a known mathematical function, which can be expressed in terms of the real part of the logarithm of the [[Wikipedia:Riemann zeta function|Riemann zeta function]]:

: <math>\displaystyle F_s(x) = \Re \ln \zeta(s + 2 \pi i x/\ln 2)</math>

: <math>\displaystyle \exp(F_s(x)) = |\zeta(s + 2 \pi i x/\ln 2)|</math>

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===Z関数===

===Harmonic Entropyとの関係===