「利用者:Tessyrrh1016/draft/リーマンゼータ関数と調律」の版間の差分
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: <math>\displaystyle \xi_p(x) = \sum_{\substack{2 \le q \le p \\ q \in \mathbb{P}}} \left(\frac{||x \log_2 q||}{\log_2 q}\right)^2</math> | : <math>\displaystyle \xi_p(x) = \sum_{\substack{2 \le q \le p \\ q \in \mathbb{P}}} \left(\frac{||x \log_2 q||}{\log_2 q}\right)^2</math> | ||
この関数には、関連する一般化パテントヴァルに対応する局所的極小値がある。極小値は、関連する[[ヴァル]]のオクターブのTenney–Euclidean調律である ''x'' の値に対して発生する。一方、これらの極小値における <math>\xi_p(x)</math> | この関数には、関連する一般化パテントヴァルに対応する局所的極小値がある。極小値は、関連する[[ヴァル]]のオクターブのTenney–Euclidean調律である ''x'' の値に対して発生する。一方、これらの極小値における <math>\xi_p(x)</math> の値は、ヴァルのTenney–Euclidean相対誤差の2乗であり、TE誤差とTE複雑度の積に等しい。「{{en仮リンク|TE単純悪さ|TE simple badness}}」として知られている。 | ||
ここで、特定の素数リミットの式ではなく、すべての素数に適用される式が必要だとする。上式は無限和にすると収束しない。しかし、重み係数をべき乗に変更すると収束するようになる。 | ここで、特定の素数リミットの式ではなく、すべての素数に適用される式が必要だとする。上式は無限和にすると収束しない。しかし、重み係数をべき乗に変更すると収束するようになる。 | ||
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: <math>\displaystyle \sum_{\substack{2 \le q \le p \\ q \in \mathbb{P}}} \frac{||x \log_2 q||^2}{q^s}</math> | : <math>\displaystyle \sum_{\substack{2 \le q \le p \\ q \in \mathbb{P}}} \frac{||x \log_2 q||^2}{q^s}</math> | ||
''s'' が1より大きい場合これは収束する。ただしいくつかの調整が必要になる場合がある。まず調律が[[一貫性|一貫的]]であるのに十分なほど誤差が小さい場合、素数の2乗の誤差は素数の誤差の2倍になり、3乗の誤差は3倍になり、誤差が一貫的でなくなるまで続く。重み付けに対数が使用され、誤差測定値が一貫している場合、対数重み付けによってこの効果が打ち消されるため、素数べき乗が暗黙的にTenney–Euclidean測定値に含まれていると考えることができる。各素数べき乗 ''p''<sup>''n''</sup> に 1/''n'' をかけることで、それらを含めることができる。これを実行した結果を記述するためのやや独特だが便利な方法は、フォン・マンゴルト関数{{wikilink|フォン・マンゴルト関数}}を使用したものである。これは、素数べき乗 ''p''<sup>''n''</sup> では ln ''p'' に等しく、その他の場合は 0 となる正の整数上に定義される数論的関数{{Wikilink|数論的関数}}である。これは大文字のラムダを使用して Λ(n) と記述され、これを使って、誤差関数に素数べき乗を次のように含めることができる。 | ''s'' が1より大きい場合これは収束する。ただしいくつかの調整が必要になる場合がある。まず調律が[[一貫性|一貫的]]であるのに十分なほど誤差が小さい場合、素数の2乗の誤差は素数の誤差の2倍になり、3乗の誤差は3倍になり、誤差が一貫的でなくなるまで続く。重み付けに対数が使用され、誤差測定値が一貫している場合、対数重み付けによってこの効果が打ち消されるため、素数べき乗が暗黙的にTenney–Euclidean測定値に含まれていると考えることができる。各素数べき乗 ''p''<sup>''n''</sup> に 1/''n'' をかけることで、それらを含めることができる。これを実行した結果を記述するためのやや独特だが便利な方法は、フォン・マンゴルト関数{{wikilink|フォン・マンゴルト関数}}を使用したものである。これは、素数べき乗 ''p''<sup>''n''</sup> では ln ''p'' に等しく、その他の場合は 0 となる正の整数上に定義される数論的関数{{Wikilink|数論的関数}}である。これは大文字のラムダを使用して Λ(''n'') と記述され、これを使って、誤差関数に素数べき乗を次のように含めることができる。 | ||
: <math>\displaystyle \xi_{\infty,s}(x) = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{\ln n} \frac{||x \log_2 n||^2}{n^s}</math> | : <math>\displaystyle \xi_{\infty,s}(x) = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{\ln n} \frac{||x \log_2 n||^2}{n^s}</math> | ||
ここで、和は形式的には 2 以上のすべての整数に対して取られるが、実際は素数とそのべき乗以外はフォン・マンゴルト関数の定義より 0 である。 | |||
上記の定義のもう一つの帰結として、滑らかな関数が望ましいのに不連続な導関数を持つ関数になるという点に異論があるかもしれない（詳細は[[Wikipedia:微分#連続性と可微分性]]を参照）。関数 ||''x''||<sup>2</sup> は ''x'' の整数値付近で二次増加し、周期1で周期的である。同じ特性を持つ別の関数で 1 − cos(2π''x'') がある。これは滑らかであり、実際は整関数{{wikilink|整関数}}である。そこで、任意の ''s'' > 1 について以下のように定義する。 | 上記の定義のもう一つの帰結として、滑らかな関数が望ましいのに不連続な導関数を持つ関数になるという点に異論があるかもしれない（詳細は[[Wikipedia:微分#連続性と可微分性]]を参照）。関数 ||''x''||<sup>2</sup> は ''x'' の整数値付近で二次増加し、周期1で周期的である。同じ特性を持つ別の関数で 1 − cos(2π''x'') がある。これは滑らかであり、実際は整関数{{wikilink|整関数}}である。そこで、任意の ''s'' > 1 について以下のように定義する。 | ||
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: <math>\displaystyle F_s(x) = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{\ln n} \frac{\cos(2 \pi x \log_2 n)}{n^s}</math> | : <math>\displaystyle F_s(x) = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{\ln n} \frac{\cos(2 \pi x \log_2 n)}{n^s}</math> | ||
この新しい関数は元の関数との間で <math>F_s(x) = F_s(0) - E_s(x)</math> という関係式が成り立ち、つまりこの関数は <math>E_s(x)</math> の符号を反転しそれを垂直方向に平行移動したものである。これで誤差が小さい場合、極小値になるのではなく極大値になるようになる。さらに興味深いのはこれが既知の数学関数であり、リーマンゼータ関数{{Wikilink|リーマンゼータ関数}}の対数の実部で表現できるという事実である。[[Wikipedia:フォン・マンゴルト関数 #ディリクレ級数]]に載っているディリクレ級数 | この新しい関数は元の関数との間で <math>F_s(x) = F_s(0) - E_s(x)</math> という関係式が成り立ち、つまりこの関数は <math>E_s(x)</math> の符号を反転しそれを垂直方向に平行移動したものである。これで誤差が小さい場合、極小値になるのではなく極大値になるようになる。さらに興味深いのはこれが既知の数学関数であり、リーマンゼータ関数{{Wikilink|リーマンゼータ関数}}の対数の実部で表現できるという事実である。[[Wikipedia:フォン・マンゴルト関数#ディリクレ級数]]に載っているディリクレ級数 | ||
: <math>\displaystyle \ln \zeta(s) = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{\ln n} \frac{1}{n^s}</math> | : <math>\displaystyle \ln \zeta(s) = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{\ln n} \frac{1}{n^s}</math> | ||
を使い、また、オイラーの公式 <math>e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}</math> より <math>\text{Re}(e^{-ix})=\cos x</math> なので、 | |||
: <math>\displaystyle F_s(x) = \Re \left( \ln \zeta \left(s + \dfrac{2 \pi i x}{\ln 2} \right) \right) = \ln \left| \zeta \left(s + \dfrac{2 \pi i x}{\ln 2} \right) \right|</math> | : <math>\displaystyle \cos(2\pi x \log_2{n})=\text{Re}(e^{-\log_2 n\times 2\pi ix})=\text{Re}(e^{-\ln n\times2\pi ix/\ln 2})=\text{Re}(n^{-2\pi ix/\ln 2})</math> | ||
<math>F_s(x)</math> は実関数なので、 | |||
: <math>\displaystyle F_s(x)=\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{\ln n} \frac{\text{Re}(n^{-2\pi ix/\ln2})}{n^s}=\text{Re}\left(\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{\ln n} \frac{n^{-2\pi ix/\ln2}}{n^s}\right)=\text{Re}\left(\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{\ln n} \frac{1}{n^{s+2\pi ix/\ln2}}\right)=\text{Re}\left( \ln \zeta \left(s + \dfrac{2 \pi i x}{\ln 2} \right) \right)</math> | |||
複素数 <math>z</math> に対し、 <math>\ln z = \ln |z| + i \arg z</math> より <math>\text{Re}(\ln x)=\ln|x|</math> なので | |||
: <math>\displaystyle F_s(x) = \ln \left|\zeta \left(s + \dfrac{2 \pi i x}{\ln 2} \right)\right|</math> | |||
が導出でき、両辺で指数関数をとれば、 | が導出でき、両辺で指数関数をとれば、 | ||
: <math>\displaystyle | : <math>\displaystyle e^{F_s(x)} = \left| \zeta \left(s + \dfrac{2 \pi i x}{\ln 2} \right) \right|</math> | ||
がわかる。したがって、ゼータ関数の絶対値は均等分割における相対誤差を測定するのに役立つことがわかる。 | |||
===臨界帯（臨海領域, critical strip）の中へ=== | ===臨界帯（臨海領域, critical strip）の中へ=== | ||