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| | en = Patent val | | | en = Patent val |
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| | ja = 特徴的なヴァル | | | ja = パテントヴァル |
| }} | | }} |
| ある[[オクターブ平均律]]における'''パテントヴァル'''（patent val、特徴的なヴァル）または'''最近傍マッピング'''（nearest edomapping）とは、その平均律チューニング（純正律との対応を定めていないただの等間隔ピッチ集合。以下 ''n''-等分律と書く）において各素数音程を[[直接近似|最近接丸め]]して得られる[[ヴァル]]のことである。この際[[オクターブ]]は純正（誤差なし）とする。これの基本的な使い方は素数音程をステップ数に丸めて、それをもとに任意の純正音程のステップ数を求めることである。 | | ある[[オクターブ平均律]]における'''パテントヴァル'''（patent val、特徴的なヴァル）または'''最近傍マッピング'''（nearest edomapping）とは、その平均律チューニング（純正律との対応を定めていないただの等間隔ピッチ集合。以下仮に ''n''-等分律と書く）において各素数音程を[[直接近似|最近接丸め]]して得られる[[ヴァル]]のことである。この際[[オクターブ]]は純正（誤差なし）とする。これの基本的な使い方は素数音程をステップ数に丸めて、それをもとに任意の純正音程のステップ数を求めることである。 |
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| The '''patent val''' (a.k.a. '''nearest edomapping''') for an [[edo]] is a list of numbers you obtain by finding the closest rounded approximation to each [[prime harmonic]] in the tuning, assuming [[2/1|octaves]] are pure (or in other words, assuming the edo number is an integer). The basic application of a patent val is that you round prime harmonics to edosteps, and then deduce the number of steps of an arbitrary just interval based on its [[prime factorization]].
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| 例えば、[[17平均律]]のパテントヴァルは {{val| 17 27 39 }} であり、それは 2/1 の最近傍マッピングは 17 ステップであり、3/1 の最近傍マッピングが 27 ステップであり、5/1 の最近傍マッピングが 39 ステップであることを示す。このことはすなわち、もしオクターブが純正ならば、3/2 は 706 セントであり、本来の 3/2 が17等分律にある一番近い音程に丸められている。そして 5/4 は 353 セントとなり、こちらも本来の 5/4 を17等分律にある音程に丸めて得たものである。 | | 例えば、[[17平均律]]のパテントヴァルは {{val| 17 27 39 }} であり、それは 2/1 の最近傍マッピングは 17 ステップであり、3/1 の最近傍マッピングが 27 ステップであり、5/1 の最近傍マッピングが 39 ステップであることを示す。このことはすなわち、もしオクターブが純正ならば、3/2 は 706 セントであり、本来の 3/2 が17等分律にある一番近い音程に丸められている。そして 5/4 は 353 セントとなり、こちらも本来の 5/4 を17等分律にある音程に丸めて得たものである。 |
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| For example, the patent val for 17edo is {{val| 17 27 39 }}, indicating that the closest mapping for 2/1 is 17 steps, the closest mapping for 3/1 is 27 steps, and the closest mapping for 5/1 is 39 steps. This means, if octaves are pure, that 3/2 is 706 cents, which is what you get if you round off 3/2 to the closest location in 17-equal, and that 5/4 is 353 cents, which is what you get is you round off 5/4 to the closest location in 17-equal.
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| == 一般化パテントヴァル == | | == 一般化パテントヴァル == |
| {{Main| Uniform map }} | | <!--{{Main| Uniform map }} |
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| このヴァルの概念はオクターブのステップの数について、整数から実数に拡大されることができる。これを'''一般化パテントヴァル'''（generalized patent val、'''GPV'''）と呼ぶ。例えば、16.9edo（これは16L 1sなMOSスケールではなく、169 ステップで 10 オクターブになる等分律を表す）のための[[7リミット]]における一般化パテントヴァルは、{{val| 17 27 39 47 }} であり、16.9 × log2(7) = 47.444 であることから、7/1 を 48 ステップではなく 47 ステップに切り下げている。 | | このヴァルの概念はオクターブのステップの数について、整数から実数に拡大されることができる。これを'''一般化パテントヴァル'''（generalized patent val、'''GPV'''）と呼ぶ。例えば、16.9edo（これは16L 1sなMOSスケールではなく、169 ステップで 10 オクターブになる等分律を表す）のための[[7リミット]]における一般化パテントヴァルは、{{val| 17 27 39 47 }} であり、16.9 × log2(7) = 47.444 であることから、7/1 を 48 ステップではなく 47 ステップに切り下げている。 |
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| This val can be extended to the case where the number of steps in an octave is a real number rather than an integer; this is called a '''generalized patent val''', or '''GPV'''. For instance the 7-limit generalized patent val for 16.9 is {{val| 17 27 39 47 }}, since 16.9 × log<sub>2</sub>7 = 47.444, which rounds down to 47.
| | [[File:Generalized Patent Vals.png|thumb|13リミットで99平均律までの全ての可能なGPVを可視化したもの（任意の縦断面がGPVとなる）]] |
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| [[File:Generalized Patent Vals.png|thumb|a visualization of all possible GPVs through the 13-limit up to 99et (any vertical slice is a GPV)]] | |
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| パテントヴァルに加えて検討する価値のあるマッピングが存在する。5リミットの17平均律を考えよう。{{val| 17 27 40 }} がパテントヴァルであり、これは各素数をそれぞれ最近接丸め（再確認、パテントヴァルは純オクターブつまり整数edoを想定する）したものである。しかしこの規制を解除するなら、5/1 の「次に良い近似」を利用できるようになって、我々が気に掛ける協和音全体の被害を軽減できる。言い換えると、39 ステップは 40 ステップよりわずかに素数 5 に近いのだが、これは素朴すぎる選択であって、他の素数との組み合わせで誤差が打ち消されたり強め合ったりする効果を考慮に入れていない。この問題を深く考察すると {{val|17 27 40}} という選択肢が浮かび上がってくる。また {{val| 17 27 39 }} より {{val| 17 27 40 }} を選ぶほかの理由もある; それは異なるコンマをテンパーアウトする。
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| There are other vals worth considering besides the patent val. Consider the case of 5-limit 17et. {{val| 17 27 39}} is the patent val, meaning each prime individually is as closely approximated as possible (again, assuming pure octaves). However, if that constraint is lifted, and we're allowed to choose the next-closest approximations for prime 5, the overall damage to the consonances we care about can be reduced; in other words, even though 39 steps can take you just a tiny bit closer to prime 5 than 40 steps can, this is a naïve choice which does not take into account whether the errors tend to cancel or reinforce in simple ratios that combine different primes. Considering the problem more deeply in this manner may lead to choosing {{val|17 27 40}} instead. And there are other harmonic reasons to choose {{val| 17 27 40 }} over {{val| 17 27 39 }} as well; it tempers different commas.
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| {{val| 17 27 40 }} は17.1edoのパテントヴァルつまり一般化パテントヴァルであり、17.1 × log2(5) = 39.705 は 40 に切り上げられる。本質的にそこにはあるジェネレーターの存在があり、そのサイズは 2<sup>1/17.1</sup> である。これには 17、27、40 ステップがそれぞれ素数 2、3、5 の最良近似になるという事実が伴う。これはつまり、我々は素数を真実に一番近いものにしないように「強制」しているわけではないということである。そうでない（している）例が {{val| 17 27 41 }} である。2 を 17 ステップに、かつ 5 を 41 ステップにマップするジェネレーターサイズを見つけることはできるが、それは必ず 3 を 28 ステップにマップするものになる。（今のは雑な例だが、ミーントーンであって1/2コンマミーントーンに近い {{val| 59 93 136 163 }} (59bcddddd) なども一般化パテントヴァルでは表せない。）（可能な組み合わせは右図から容易に読み取れる。）
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| We can show that {{val| 17 27 40 }} is a generalized patent val because it would be the patent val for 17.1et: 17.1 × log<sub>2</sub>5 = 39.705, which rounds up to 40. Essentially this is showing that there does exist some generator size, 2<sup>1/17.1</sup>, for which it is truly the case that 17, 27, and 40 are the respective best approximations of primes 2, 3, and 5. That is, we are not "forcing" an interpretation of a prime which is not closest to the truth. A counterexample would be {{val| 17 27 41 }}: it is possible to find a generator that maps 2 to 17 steps and 5 to 41 steps, but it would require 3 to be 28 steps (this type of information can be read easily off the nearby visualization).
| | パテントヴァルに加えて検討する価値のあるマッピングが存在する。5リミットの17平均律を考えよう。{{val| 17 27 39 }} がパテントヴァルであり、これは各素数をそれぞれ最近接丸め（再確認、パテントヴァルは純オクターブつまり整数edoを想定する）したものである。しかしこの規制を解除するなら、5/1 の「次に良い近似」を利用できるようになって、我々が気に掛ける協和音全体の被害を軽減できる。言い換えると、39 ステップは 40 ステップよりわずかに素数 5 に近いのだが、これは素朴すぎる選択であって、他の素数との組み合わせで誤差が打ち消されたり強め合ったりする効果を考慮に入れていない。この問題を深く考察すると {{val|17 27 40}} という選択肢が浮かび上がってくる。また {{val| 17 27 39 }} より {{val| 17 27 40 }} を選ぶほかの理由もある; それは異なるコンマをテンパーアウトする。 |
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| 一般化パテントヴァルはまたの名を'''uniform map'''という（そしてパテントヴァルの別名が''integer uniform map''、または''simple map''となる）。
| | {{val| 17 27 40 }} は17.1edoのパテントヴァルつまり一般化パテントヴァルであり、17.1 × log2(5) = 39.705 は 40 に切り上げられる。本質的にそこにはあるジェネレーターの存在があり、そのサイズは 2<sup>1/17.1</sup> である。これには 17、27、40 ステップがそれぞれ素数 2、3、5 の最良近似になるという事実が伴う。これはつまり、我々は素数を真実に一番近いものにしないように「強制」しているわけではないということである（問題にするなら17.1edoのパテントヴァルを17edoで使うことの強制性であろうか）。そうでない（強制している）例が {{val| 17 27 41 }} である。2 を 17 ステップに、かつ 5 を 41 ステップにマップするジェネレーターサイズを見つけることはできるが、それは必ず 3 を 28 ステップにマップするものになる。（ほかの例として、7リミットのkeemunテンペラメントを支持する（同じコンマをテンパーアウトする）平均律である91dd（[[ヴァル #Wart notation|wart notation]]）がある。これは72ddよりTE誤差が小さくなるのだがGPVではない。）（可能な組み合わせは右図から容易に読み取れる。<small>がwartsを書くのには情報が足りない図である</small>） |
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| Another name for generalized patent val is [[uniform map]] (and an [[integer uniform map]], or [[simple map]], is another name for patent val).
| | 一般化パテントヴァルはまたの名を'''一様写像'''（uniform map）という（そしてパテントヴァルの別名が''integer uniform map''、または''simple map''となる）。 |
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| == 詳細な説明 == | | == 詳細な説明 == |
| [[リミット|''p''-リミット]]の[[ヴァル]]は ''p'' までの素数それぞれを何ステップで表すかを示す数値を並べたものである。 | | [[リミット|''p''-リミット]]の[[ヴァル]]は ''p'' までの素数それぞれを何ステップで表すかを示す数値を並べたものである。 |
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| A [[harmonic limit|''p''-limit]] [[val]] contains the number of steps it takes to get to each prime number up to ''p'', in prime number order:
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| {{val| [2/1] [3/1] [5/1] [7/1] … [''p''/1] }} | | {{val| [2/1] [3/1] [5/1] [7/1] … [''p''/1] }} |
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| 与えられた ''N''-edo、つまりオクターブを ''N'' 等分する等分律について、特定のステップ数と素数との間をマップするヴァルを定義することができる。 | | 与えられた ''N''-edo、つまりオクターブを ''N'' 等分する等分律について、特定のステップ数と素数との間をマップするヴァルを定義することができる。 |
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| Given ''N''-edo, the equal division of the octave into ''N'' parts, we may define vals that map a specific number of N-edo steps to these primes.
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| 任意の素数 ''p'' について対応する ''p''-リミットのヴァルを次の規範的な方法で見つけることができる: {{val| 1 log<sub>2</sub>3 log<sub>2</sub>5 … log<sub>2</sub>''p'' }} を ''N'' 倍（{{w|スカラー倍}}）してから各要素を整数に丸め（四捨五入す）る。一般的にはこれは可能な中で最も正確なヴァルであることを保証されないが、''N''-edo が ''p''-リミットに応じて十分正確であるならば、そうなるであろう。''patent''という名前はその意味の一つが "obvious" と同義語であることからくる。パテントヴァルはベストチョイスだったりそうでなかったりするが、簡明で明白な選択肢である。 | | 任意の素数 ''p'' について対応する ''p''-リミットのヴァルを次の規範的な方法で見つけることができる: {{val| 1 log<sub>2</sub>3 log<sub>2</sub>5 … log<sub>2</sub>''p'' }} を ''N'' 倍（{{w|スカラー倍}}）してから各要素を整数に丸め（四捨五入す）る。一般的にはこれは可能な中で最も正確なヴァルであることを保証されないが、''N''-edo が ''p''-リミットに応じて十分正確であるならば、そうなるであろう。''patent''という名前はその意味の一つが "obvious" と同義語であることからくる。パテントヴァルはベストチョイスだったりそうでなかったりするが、簡明で明白な選択肢である。 |
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| For any prime ''p'' we can find a corresponding ''p''-limit val in a canonical manner by [[Wikipedia: Scalar multiplication|scalar multiplying]] {{val| 1 log<sub>2</sub>3 log<sub>2</sub>5 … log<sub>2</sub>''p'' }} by ''N'' and rounding to the nearest integer. In general this is not guaranteed to be the most accurate available val, but if ''N''-edo has enough relative accuracy in the ''p''-limit, it will be. The name ''patent'' comes from the fact that "patent" in one sense of the word is a synonym for "obvious"; the patent val may or may not be the best choice but it's the obvious choice.
| | この工程の考え方の一つが次の問いを立てることである、「各素数を得るのにいくつの 1200 セントなステップ（つまりオクターブ）が必要だろうか？」 すると 2/1 を得るのに 1 個の完全なオクターブが必要で、3/1 を得るのに log<sub>2</sub>3 個分が必要で、5/1 を得るのに log<sub>2</sub>5 個分が必要で、以下同様。これにより {{val| 1 1.585 2.322 2.807 3.459 … log<sub>2</sub>''p'' }} を得る。 |
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| この工程の考え方の一つが次の問いを立てることである、「各素数を得るのにいくつの 1200 セントなステップ（つまりオクターブ）が必要だろうか？」 2/1 を得るのに 1 個の完全なオクターブが必要で、3/1 を得るのに log<sub>2</sub>3 個分が必要で、5/1 を得るのに log<sub>2</sub>5 個分が必要で、以下同様。これにより {{val| 1 1.585 2.322 2.807 3.459 … log<sub>2</sub>''p'' }} を得る。 | |
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| One way to think of this process is to first ask, "How many 1200-cent steps (octaves) does it take to get to each prime?" It takes one full-octave step to get to 2/1, log<sub>2</sub>3 steps to get to 3/1, log<sub>2</sub>5 to get to 5/1, and so on. This gives us {{val| 1 1.585 2.322 2.807 3.459 … log<sub>2</sub>''p'' }}.
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| 次の問いは、「それらの同じ場所にいくつの ''N''-edoのステップで到達できるだろうか？」 例えば12edoだったらオクターブを12等分するので先ほどの「オクターブ何個分」を 12 倍すればよい。31edoだったら 31 倍すればよい。
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| Then ask, "How many more ''N''-edo steps does it take to get to the same places?" One 12edo step is 1/12th of an octave, by definition; therefore, you need 12 times as many steps to reach 2/1, 3/1, 5/1, … Similarly, one 31edo step is 1/31 of an octave, so you need 31 times as many steps to reach 2/1, 3/1, 5/1, …
| | 次の問いは、「それらの同じ場所にいくつの ''N''-edoのステップで到達できるだろうか？」 例えば12edoだったらオクターブを 12 等分するので先ほどの「オクターブ何個分」を 12 倍すればよい。31edoだったら 31 倍すればよい。 |
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| なので、''N''-edoのための ''p''-リミットのパテントヴァルは {{val| 1 1.585 2.322 2.807 … log<sub>2</sub>''p'' }} を ''N'' 倍し、そういえば等分律のステップをさらに細かくするようなことはできないので、結果を一番近い整数に丸める。 | | なので、''N''-edoのための ''p''-リミットのパテントヴァルは {{val| 1 1.585 2.322 2.807 … log<sub>2</sub>''p'' }} を ''N'' 倍し、そういえば等分律のステップをさらに細かくするようなことはできないので、結果を一番近い整数に丸める。 |
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| Thus, the way to get the ''p''-limit patent val for ''N''-edo is to multiply {{val| 1 1.585 2.322 2.807 … log<sub>2</sub>''p'' }} by ''N''. Then, since you can't take fractional steps in an edo, you round the results to the nearest integers.
| | 同様の工程をオクターブ数ではなくセント値を媒介にして行っても同じである。1200*log<sub>2</sub>''p'' セントの素数音程に 1200/''N'' セントのステップがいくつ分で到達するか → (1200*log<sub>2</sub>''p'') / (1200/''N'') となり本質的に ''N'' 倍と同じ計算である。 |
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| == Examples ==
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| === Example for 12edo ===
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| Multiplying 12 times {{val| 1 1.585 2.322 2.807 3.459 }}
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| yields {{val| 12 19.020 27.863 33.688 41.513 }},
| | == 例 == |
| | === 12平均律 === |
| | {{val| 1 1.585 2.322 2.807 3.459 }} を 12 倍すると |
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| rounded to {{val| 12 19 28 34 42 }},
| | {{val| 12 19.020 27.863 33.688 41.513 }} になり、これを四捨五入すると |
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| which is the ''11-limit patent val for [[12edo]]''.
| | {{val| 12 19 28 34 42 }} になる。これが12edoの11リミットパテントヴァルである。 |
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| | === 31平均律 === |
| === Alternate and expanded example for 31edo === | | === Alternate and expanded example for 31edo === |
| As stated above, the val contains the number of steps it takes to get to a given prime number, in prime number order:
| | 上記の通り、ヴァルは素数音程に達するステップ数を {{Val| [2/1] [3/1] [5/1] [7/1] [etc.] }} こういう順番で並べたものである。 |
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| {{Val| [2/1] [3/1] [5/1] [7/1] [etc.] }} | |
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| By definition, for any edo, the number of steps to 2/1 is the edo division: 31 for 31edo. The 2-limit patent val is {{val| 31 }}.
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| What's the number of steps to 3/1?
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| The step size for 31edo is 38.70967742 cents.
| | 定義より、edoに対しては、2/1 に達するためのステップ数は分割数そのものである。31edoなら 31 ステップ。2リミットのパテントヴァルは {{val| 31 }} となる。 |
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| 3/1 is 1901.96 in cents. | | 3/1 に達するためのステップ数は？ 31edoのステップサイズは 38.70967742 セントである。3/1 は 1901.96 セントである。 |
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| 1901.96 cents / 38.70967742 cents/step = 49.13383752 steps. | | 1901.955001 cents / 38.70967742 cents/step = 49.13383752 steps. |
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| This is an edo, so we can't take 0.13383752 steps. Instead, we round. This is clearly closer to 49 steps, so that's the "obvious" or "patent" choice. The 3-limit patent val is
| | これはedoなので、0.13383752 ステップといった動きはできない。これは明らかに 49 ステップに近いので 49 ステップが「パテント」な選択である。3リミットのパテントヴァルは {{val| 31 49 }} となる。 |
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| {{Val| 31 49 }}. | | 以下同様に素数 17 まで繰り返し、17リミットのパテントヴァルとして {{val| 31 49 72 87 107 115 127 }} を得る。 |
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| Doing the same thing up through 17, and we get a 17-limit patent val of
| | さらにリミットを拡張しようと思ったら追加する素数を考える。上記のヴァルを19リミットにするために 19/1 を考えてみよう。19/1 は 5097.51 セントである。 |
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| {{Val| 31 49 72 87 107 115 127 }}
| | 5097.513016 cents / 38.70967742 cents/step = 131.6857529 steps. |
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| To see how to extend from one limit to another, we may look at what to do for 19/1 and use that to go from the 17-limit to the 19-limit.
| | 四捨五入すると 132 ステップとなり、19リミットのパテントヴァルは {{Val| 31 49 72 87 107 115 127 132 }} となる。 |
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| 19/1 = 5097.51 cents, 5097.51 / 38.70967742 cents/step = 131.6857529 steps. Round to get 132. The 19-limit patent val is
| | もちろん {{val| 1 1.585 2.322 2.807 3.459 3.700 4.087 4.248 }} を 31 倍して四捨五入しても同じ結果を得られる。 |
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| {{Val| 31 49 72 87 107 115 127 132 }} | | == Properties == |
| | {{Main| en:Patent val/Properties }} |
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| Note that these are the same answers you would get if you multiplied 31 times {{val| 1 1.585 2.322 2.807 3.459 3.700 4.087 4.248 }} and rounded the result.
| | （後略） |