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「パテントヴァル」の版間の差分

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| en = Patent val
| en = Patent val
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| ja = 特徴的なヴァル
| ja = パテントヴァル
}}
}}
<span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">いくつかの[[平均律|平均律]]における特徴的な[[ヴァル|ヴァル]]とは、単純にチューニングの各素数に最も近いヴァルのことである。例えば、</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">[[17平均律|17]]</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">[[17平均律|平均律]]の特徴的な</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">val</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">は</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">&lt;17 27 39|</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">であり、それは</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">2/1</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">のためのマッピングに最も近いのは</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">17</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">ステップであり、</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">3/1</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">のためのマッピングに最も近いのが</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">27</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">ステップであり、</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">5/1</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">のためのマッピングに最も近いのが</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">39</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">ステップであることを示す。このことはすなわち、もしオクターブがピュアならば、</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">3/2</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">は</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">706</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">セントであり、本来</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">702</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">セントであることから、大きく変化されている。そして</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">5/4</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">は</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">353</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">セントとなり、こちらも本来</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">386</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">セントであることから大きく変化されている。このヴァルはオクターブのステップの数において、本来の数から拡大されることができる。例えば、</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">16.9</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">のための</span>7<span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">[[リミット|リミット]]における特徴的なヴァルは、</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">&lt;17 27 39 47|</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">であり、</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">16.9 * log2(7) = 47.444</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">であることから、それは</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">47</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">の端数を切り捨てている。</span>
ある[[オクターブ平均律]]における'''パテントヴァル'''（patent val、特徴的なヴァル）または'''最近傍マッピング'''（nearest edomapping）とは、その平均律チューニング（純正律との対応を定めていないただの等間隔ピッチ集合。以下仮に ''n''-等分律と書く）において各素数音程を[[直接近似|最近接丸め]]して得られる[[ヴァル]]のことである。この際[[オクターブ]]は純正（誤差なし）とする。これの基本的な使い方は素数音程をステップ数に丸めて、それをもとに任意の純正音程のステップ数を求めることである。


<span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">[[5リミット|5]]</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">リミットの</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">17</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">平均律ヴァルの代わりとして、</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">&lt;17 27 40|</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">を利用するならば、むしろ</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">5/4</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">としての</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">424</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">セントとして扱う</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">&lt;17 27 39|</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">である。このヴァル</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">17</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">平均律の特徴的なヴァルと比べ、</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">Tenney-Euclidean</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">エラーよりも小さい。しかしながら、</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">&lt;17 27 39|</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">はたぶん、必ずしも</span><span style="font-family: 'Century','serif'; font-size: 14px;">17</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">平均律において、完全なベストではない。</span><span style="font-family: 'ＭＳ 明朝',serif; font-size: 10.5pt;">それは明らかに、「特徴的な」ヴァルは、</span><span style="font-family: Century,serif; font-size: 10.5pt;">EDO</span><span style="font-family: 'ＭＳ 明朝',serif; font-size: 10.5pt;">となるよう単純に丸め込まれた素数であり、それ以上の理由のための深い熟考は存在しない。</span><span style="font-family: Century,serif; font-size: 14px;">&lt;17 27 40|</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">は</span><span style="font-family: Century,serif; font-size: 14px;">17.1</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">の特徴的なヴァルであり、</span><span style="font-family: Century,serif; font-size: 14px;">17.1 * log2(5) = 39.705</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">であるため、</span><span style="font-family: Century,serif; font-size: 14px;">40</span><span style="font-family: 'MS Mincho'; font-size: 14px;">に近い。</span>
例えば、[[17平均律]]のパテントヴァルは {{val| 17 27 39 }} であり、それは 2/1 の最近傍マッピングは 17 ステップであり、3/1 の最近傍マッピングが 27 ステップであり、5/1 の最近傍マッピングが 39 ステップであることを示す。このことはすなわち、もしオクターブが純正ならば、3/2 は 706 セントであり、本来の 3/2 が17等分律にある一番近い音程に丸められている。そして 5/4 は 353 セントとなり、こちらも本来の 5/4 を17等分律にある音程に丸めて得たものである。
 
== 一般化パテントヴァル ==
<!--{{Main| Uniform map }}
-->
このヴァルの概念はオクターブのステップの数について、整数から実数に拡大されることができる。これを'''一般化パテントヴァル'''（generalized patent val、'''GPV'''）と呼ぶ。例えば、16.9edo（これは16L 1sなMOSスケールではなく、169 ステップで 10 オクターブになる等分律を表す）のための[[7リミット]]における一般化パテントヴァルは、{{val| 17 27 39 47 }} であり、16.9 × log2(7) = 47.444 であることから、7/1 を 48 ステップではなく 47 ステップに切り下げている。
 
[[File:Generalized Patent Vals.png|thumb|13リミットで99平均律までの全ての可能なGPVを可視化したもの（任意の縦断面がGPVとなる）]]
 
パテントヴァルに加えて検討する価値のあるマッピングが存在する。5リミットの17平均律を考えよう。{{val| 17 27 39 }} がパテントヴァルであり、これは各素数をそれぞれ最近接丸め（再確認、パテントヴァルは純オクターブつまり整数edoを想定する）したものである。しかしこの規制を解除するなら、5/1 の「次に良い近似」を利用できるようになって、我々が気に掛ける協和音全体の被害を軽減できる。言い換えると、39 ステップは 40 ステップよりわずかに素数 5 に近いのだが、これは素朴すぎる選択であって、他の素数との組み合わせで誤差が打ち消されたり強め合ったりする効果を考慮に入れていない。この問題を深く考察すると {{val|17 27 40}} という選択肢が浮かび上がってくる。また {{val| 17 27 39 }} より {{val| 17 27 40 }} を選ぶほかの理由もある; それは異なるコンマをテンパーアウトする。
 
{{val| 17 27 40 }} は17.1edoのパテントヴァルつまり一般化パテントヴァルであり、17.1 × log2(5) = 39.705 は 40 に切り上げられる。本質的にそこにはあるジェネレーターの存在があり、そのサイズは　2<sup>1/17.1</sup> である。これには 17、27、40 ステップがそれぞれ素数 2、3、5 の最良近似になるという事実が伴う。これはつまり、我々は素数を真実に一番近いものにしないように「強制」しているわけではないということである（問題にするなら17.1edoのパテントヴァルを17edoで使うことの強制性であろうか）。そうでない（強制している）例が {{val| 17 27 41 }} である。2 を 17 ステップに、かつ 5 を 41 ステップにマップするジェネレーターサイズを見つけることはできるが、それは必ず 3 を 28 ステップにマップするものになる。（ほかの例として、7リミットのkeemunテンペラメントを支持する（同じコンマをテンパーアウトする）平均律である91dd（[[ヴァル #Wart notation|wart notation]]）がある。これは72ddよりTE誤差が小さくなるのだがGPVではない。）（可能な組み合わせは右図から容易に読み取れる。<small>がwartsを書くのには情報が足りない図である</small>）
 
一般化パテントヴァルはまたの名を'''一様写像'''（uniform map）という（そしてパテントヴァルの別名が''integer uniform map''、または''simple map''となる）。
 
== 詳細な説明 ==
[[リミット|''p''-リミット]]の[[ヴァル]]は ''p'' までの素数それぞれを何ステップで表すかを示す数値を並べたものである。
 
{{val| [2/1] [3/1] [5/1] [7/1] … [''p''/1] }}
 
与えられた ''N''-edo、つまりオクターブを ''N'' 等分する等分律について、特定のステップ数と素数との間をマップするヴァルを定義することができる。
 
任意の素数 ''p'' について対応する ''p''-リミットのヴァルを次の規範的な方法で見つけることができる: {{val| 1 log<sub>2</sub>3 log<sub>2</sub>5 … log<sub>2</sub>''p'' }} を ''N'' 倍（{{w|スカラー倍}}）してから各要素を整数に丸め（四捨五入す）る。一般的にはこれは可能な中で最も正確なヴァルであることを保証されないが、''N''-edo が ''p''-リミットに応じて十分正確であるならば、そうなるであろう。''patent''という名前はその意味の一つが "obvious" と同義語であることからくる。パテントヴァルはベストチョイスだったりそうでなかったりするが、簡明で明白な選択肢である。
 
この工程の考え方の一つが次の問いを立てることである、「各素数を得るのにいくつの 1200 セントなステップ（つまりオクターブ）が必要だろうか？」 すると 2/1 を得るのに 1 個の完全なオクターブが必要で、3/1 を得るのに log<sub>2</sub>3 個分が必要で、5/1 を得るのに log<sub>2</sub>5 個分が必要で、以下同様。これにより {{val| 1 1.585 2.322 2.807 3.459 … log<sub>2</sub>''p'' }} を得る。
 
次の問いは、「それらの同じ場所にいくつの ''N''-edoのステップで到達できるだろうか？」 例えば12edoだったらオクターブを 12 等分するので先ほどの「オクターブ何個分」を 12 倍すればよい。31edoだったら 31 倍すればよい。
 
なので、''N''-edoのための ''p''-リミットのパテントヴァルは {{val| 1 1.585 2.322 2.807 … log<sub>2</sub>''p'' }} を ''N'' 倍し、そういえば等分律のステップをさらに細かくするようなことはできないので、結果を一番近い整数に丸める。
 
同様の工程をオクターブ数ではなくセント値を媒介にして行っても同じである。1200*log<sub>2</sub>''p'' セントの素数音程に 1200/''N'' セントのステップがいくつ分で到達するか → (1200*log<sub>2</sub>''p'') / (1200/''N'') となり本質的に ''N'' 倍と同じ計算である。
 
== 例 ==
=== 12平均律 ===
{{val| 1 1.585 2.322 2.807 3.459 }} を 12 倍すると
 
{{val| 12 19.020 27.863 33.688 41.513 }} になり、これを四捨五入すると
 
{{val| 12 19 28 34 42 }} になる。これが12edoの11リミットパテントヴァルである。
 
=== 31平均律 ===
=== Alternate and expanded example for 31edo ===
上記の通り、ヴァルは素数音程に達するステップ数を {{Val| [2/1] [3/1] [5/1] [7/1] [etc.] }} こういう順番で並べたものである。
 
定義より、edoに対しては、2/1 に達するためのステップ数は分割数そのものである。31edoなら 31 ステップ。2リミットのパテントヴァルは {{val| 31 }} となる。
 
3/1 に達するためのステップ数は？ 31edoのステップサイズは 38.70967742 セントである。3/1 は 1901.96 セントである。
 
1901.955001 cents / 38.70967742 cents/step = 49.13383752 steps.
 
これはedoなので、0.13383752 ステップといった動きはできない。これは明らかに 49 ステップに近いので 49 ステップが「パテント」な選択である。3リミットのパテントヴァルは {{val| 31 49 }} となる。
 
以下同様に素数 17 まで繰り返し、17リミットのパテントヴァルとして {{val| 31 49 72 87 107 115 127 }} を得る。
 
さらにリミットを拡張しようと思ったら追加する素数を考える。上記のヴァルを19リミットにするために 19/1 を考えてみよう。19/1 は 5097.51 セントである。
 
5097.513016 cents / 38.70967742 cents/step = 131.6857529 steps.
 
四捨五入すると 132 ステップとなり、19リミットのパテントヴァルは {{Val| 31 49 72 87 107 115 127 132 }} となる。
 
もちろん {{val| 1 1.585 2.322 2.807 3.459 3.700 4.087 4.248 }} を 31 倍して四捨五入しても同じ結果を得られる。
 
== Properties ==
{{Main| en:Patent val/Properties }}
 
（後略）
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