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「レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント」の版間の差分

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| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
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{{上級者向け|ジェネレーターとピリオド}}
{{上級者向け|レギュラーテンペラメント}}


== Wikipediaによるレギュラーテンペラメントとランクテンペラメントの解説 ==
'''レギュラーテンペラメント'''は音律同士の{{w|群準同型|群準同型}}である。ここでいう音律は音程を元とする集合によって生成されるアーベル群を言う。定義域は大抵の場合[[純正律部分群]]で、値域は[[マップされた音程|テンパーされた音程]]のなす空間とされる。


Xenharmonic Wikiの「Regular Temperaments」は少々難解な個所が多く、全貌がつかみにくいため、Wikipediaの「Regular temperament」の翻訳をまず示し、解読の容易化を図る。また、ランクrテンペラメントの解説も比較的よくまとめられている。
'''テンパー'''は恣意的な写像を用いて一つ以上のコンマを単位元であるユニゾンと同一視することであり、[[テンパーアウト]]は音程がユニゾンによって同一視されている状態を言う。加えて、テンパーによって2つの異なる音程が同じテンパーされた音程に同一視されることがあり、これを''tempered together''<sup>[定訳なし]</sup>という。


原文『Wikipedia』：[https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_temperament https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_temperament] oldid=1139233514
レギュラーテンペラメントの大きな有用性としては、協和音程からなり、純正律から大胆に簡略化された音階を生成できることにあることと、同一視される音程を増やすことによって、ある種の多義性（ポリセミー）を与えられることである。多義性の具体例としては、[[12平均律]]のサブセットであるホールトーンスケールにおいて、2つの増三和音(augコード)の合成、全音の堆積と言った文脈を扱えること、長六度を足した減三和音(m6b5やdim6コード)・減七の和音(dim7コード)・短三度堆積和音などがそれぞれ同一なコードとして扱えることが挙げられる。これらは12平均律が[[ピタゴラスコンマ]]や[[シントニックコンマ]]、[[ディエシス]]などを同時にテンパーしていることによって成立していると考えることができる。


=== 概要 ===
7-limit純正律の音程は7までの素因数の軸で表される4次元で考えられ、全ての音程は4次元座標で扱われる。何かしらコンマがテンパーアウトされることにより次元が減らされ、値域の元における全ての音程は1～3次元座標で扱われる。テンパー後の次元数はテンパーアウトされたコンマの数に依存する。そしてテンペラメントのランクはテンパー後の音律の次元数に等しい。
レギュラーテンペラメントとは、任意のテンパーされたミュージカル調律システムである。各周波数比は有限個のジェネレーター（周波数比）の冪の積として得られる。例えば西洋でよく使われる12平均律は、テンパーされた5度（700 セント）をジェネレーターとして持ち、これが五度圏を閉じる鍵となっている。


ジェネレーターをちょうど 2 個持ち、その片方がオクターブである場合、それはリニアテンペラメントと呼ばれる。最も知られている例としては、ミーントーンであり、それはジェネレーター音程が通常わずかにフラットにされた5度とオクターブとなる。他のリニアテンペラメントとしてはschismatic temperament, Hermann von Helmholtz, miracle temperamentがある。
具体例として、[[セプティマルミーントーン]]テンペラメントを関数 M: J→K とすると、M(6/5) = M(32/27) = "短三度" である。2つの純正音程の差（周波数比）である 81/80（[[シントニックコンマ]]）はテンパーアウトされている。すなわち M(81/80) = M(1/1) = "ユニゾン" である。
=== 数学的な記述 ===
もしジェネレーターが{{w|素数}} ''p'' 以下のすべての素数であるならば、我々はそれを ''p''-リミット純正調と呼ぶ。テンパーの方法の例として、何らかの{{w|無理数}}が、近似するこれら素数のひとつを置換することで他の素数の支持に回る（その素数で生成できるようになる。線形従属になる。実質的にジェネレーターが1個減る）。12平均律の 3 は 2<sup>19/12</sup> にテンパーされ 2 を支持し、1/4コンマミーントーンの 3 は 2 * 5<sup>1/4</sup> にテンパーされ 2 と 5 を支持する。


（中略）
各レギュラーテンペラメントは抽象的な構造で、正確な調律について扱うものではない。任意のテンペラメントに対して調律の最適性を求めることはできる一方で、最適性の尺度は多く存在するため、一般にテンペラメントは{{En仮リンク|可能な調律範囲|Tuning ranges of regular temperaments}}を持つものであると考えられる。ジェネレーターの調律が与えられると、値域の音律はジェネレーターの整数係数線形結合で閉じている。この性質がテンペラメントをレギュラーたらしめている。


レギュラーテンペラメントについて学ぶとき、テンペラメントを ''p''-リミット純正調からテンパーされた音程集合へのマップ（{{w|写像}}、関数）とみなすと便利である。テンペラメントの次元を適切に分類するため、一体いくつのジェネレーターが線形独立なのかということを決定する必要がある。なぜならば、その記述は冗長である場合があるからである。この問題のもう一方の見方は、テンペラメントのランクを、このマップの写像先の{{w|像 (数学)|像}}のランクとすることである。
== 次元数、またはランク ==
 
たとえば、おそらくチェンバロに使われた1/4コンマミーントーンは、3 つのジェネレーターをもつ。すなわち 1 オクターブと、純正長3度（5/4）と、1/4コンマテンパード5度である。しかし 4 つ積み重ねられたテンパード5度が純正長3度を作るため、長3度が余剰であり、ランク2テンペラメントに縮小することになる。
 
他の手法として{{w|線型代数学|線形代数}}と{{w|多重線型代数}}が、そのマップに適用される。たとえば、マップのカーネル（{{w|零空間}}）は ''p''-リミット純正音程（コンマと呼ばれる）によって構成される。コンマはテンペラメントを表現するのに便利なプロパティである。
 
== Xenharmonic wikiによるRegular Temperamentの解説 ==
 
原文『Xenharmonic wiki』：[[:en:Mathematical theory of regular temperaments]]
 
=== 概要 ===
レギュラーテンペラメントは対象の[[純正律|（純正）音程]]のアーベル群からテンパーされた音程のアーベル群への{{w|群準同型|準同型写像}}である。典型的には、定義域は有理数の乗法的部分群である(aka ''p''-limit JI)。テンパーは、故意にチューニングを変更することによってコンマ、またはコンマのセットが「消され」、ユニゾンになること（[[テンパーアウト]]という）によって実行される。レギュラーテンペラメントの有用性の一部は、音階を生成することである。その音階は、厳密な純正律に比べ簡略であり、協和する音程を多く持ちつつ、高いレベルの協和、または純正律の近似を維持する。そして他の一部は、コンマをテンパーアウトするものとして利用できる「語呂合わせ」を導入することである。テンペラメントは効果的に純正律の次元を減らす。それによりピッチ間の関係性をより簡略化するのである。
 
数学的に言うと、レギュラーテンペラメントは定義域を近似したいJI等とし、値域を[[マップされた音程|テンパーされた音程]]（簡易的にテンペラメントの音程とも呼ばれる）の集合とする関数である。一般的にはこの写像は多対一である。2つの異なる有理数が同じテンパーされた音程に写像されることがある。これを''tempered together''<sup>[定訳なし]</sup>という。
 
例えば、[[7リミット]]純正調のピッチ間の関係性は、7 までの素数（2, 3, 5, 7）の軸で表される4次元で考えることができ、全ての音程は4次元座標で位置づけられる。7リミットレギュラーテンペラメントにおいて、しかしながら、どうにかして次元は減少される。それはテンパーアウトされるコンマに依存する。そして音程はうまく調整され1, 2または3次元の座標で位置づけられる。次元数の減少はテンパーアウトされたコンマの数に依存する。テンパー後の次元数がテンペラメントのランクである。
 
具体例として、7リミット[[ミーントーン]]テンペラメントを関数 M とすると、M(6/5) = M(32/27) = "minor third" である。2つの純正音程の差（周波数比）である 81/80（シントニックコンマ）はテンパーアウトされている。すなわち M(81/80) = M(1/1) = "unison" である。
 
各レギュラーテンペラメントは抽象的なもので、特定のチューニングを決定してしまうものではない。任意のテンペラメントの最適なチューニングを計算で求めることができるが、最適性の尺度はいくつも存在していてそれぞれチューニング結果も異なることになる。そのため、各テンペラメントにはチューニング可能な範囲（[[ジェネレーターとピリオド|ジェネレーター]]のサイズの範囲で示される）がある、というように取り扱うことが多い。ジェネレーターのチューニングが与えられると、任意のテンパーされた音程はジェネレーターの整数係数線形結合として計算できる。この性質がテンペラメントをレギュラーたらしめている。
 
=== 次元数、またはランク ===
特定の調律（つまり周波数比決定済み）におけるランク-''r'' レギュラーテンペラメントはおそらく、与えられた ''r'' 個の乗法的に独立した実数により定義されるだろう。それら実数を掛け合わせることでそのテンペラメントの音程が生成できる。ランク-''r'' テンペラメントは ''r'' 個のジェネレーターにより定義され、従って ''r'' 行(個)の[[ヴァル]]である。抽象的レギュラーテンペラメントは、様々な方法により定義される。例えば、テンペラメントにおけるテンパーアウトされるコンマのセットで与えることで定義されたり、テンペラメントの[[マッピング]]を定義する ''r'' 行のヴァルを与えるというやり方だったりする。テンパーアウトされたコンマをもつテンペラメントの特徴は、コンマポンプである。和声的に関連する音符やコードのシーケンスにより、開始地点に戻る。それらは純正律では不可能なことである。例としては、ミーントーンテンペラメントの I-vii-IV-ii-V-I である。
特定の調律（つまり周波数比決定済み）におけるランク-''r'' レギュラーテンペラメントはおそらく、与えられた ''r'' 個の乗法的に独立した実数により定義されるだろう。それら実数を掛け合わせることでそのテンペラメントの音程が生成できる。ランク-''r'' テンペラメントは ''r'' 個のジェネレーターにより定義され、従って ''r'' 行(個)の[[ヴァル]]である。抽象的レギュラーテンペラメントは、様々な方法により定義される。例えば、テンペラメントにおけるテンパーアウトされるコンマのセットで与えることで定義されたり、テンペラメントの[[マッピング]]を定義する ''r'' 行のヴァルを与えるというやり方だったりする。テンパーアウトされたコンマをもつテンペラメントの特徴は、コンマポンプである。和声的に関連する音符やコードのシーケンスにより、開始地点に戻る。それらは純正律では不可能なことである。例としては、ミーントーンテンペラメントの I-vii-IV-ii-V-I である。


==== ランク1テンペラメント (平均律) ====
=== ランク1テンペラメント (平均律) ===
 
[[平均律]] (ET or tET) と [[オクターブ平均律|オクターブの均等な分割]] (edo or ed2) は似た概念であるが、用語の使われ方が異なる。''p''-リミット平均律は、単純にジェネレーターが1種類しかない ''p''-リミットテンペラメント、つまりランク1テンペラメントであって、''p''-リミット純正音程を1次元座標を用いてマップする。このようにETという用語はオクターブなど何らかの音程を等分割するということに縛られず、実際に純オクターブを等分割するものではないETが多数開発されている。他方で、''n''-edoは、オクターブを ''n'' 個に等分したものであって、純正音程からのマッピングを考慮していないものである。edoはマッピングの出力に位置づけることでETとして扱える。それは典型的にはedoに支持<sup>(広義)</sup>されるテンペラメントのヴァルを使ってであるが、おもしろい結果を得るためにそれ以外のヴァルを使うこともできる。慣れ親しんだ12平均律（edoとETを区別せずこのように呼ぶこととする）は完全5度（約 701.955 セント）のサイズをピタゴラスコンマの 1/12 だけ短縮することによって 700.0 セントの5度を得る。ほかにも12etに支持<sup>(狭義?)</sup>されるテンペラメントがある。
[[平均律]] (ET or tET) と [[オクターブ平均律|オクターブの均等な分割]] (edo or ed2) は似た概念であるが、用語の使われ方が異なる。''p''-リミット平均律は、単純にジェネレーターが1種類しかない ''p''-リミットテンペラメント、つまりランク1テンペラメントであって、''p''-リミット純正音程を1次元座標を用いてマップする。このようにETという用語はオクターブなど何らかの音程を等分割するということに縛られず、実際に純オクターブを等分割するものではないETが多数開発されている。他方で、''n''-edoは、オクターブを ''n'' 個に等分したものであって、純正音程からのマッピングを考慮していないものである。edoはマッピングの出力に位置づけることでETとして扱える。それは典型的にはedoに支持<sup>(広義)</sup>されるテンペラメントのヴァルを使ってであるが、おもしろい結果を得るためにそれ以外のヴァルを使うこともできる。慣れ親しんだ12平均律（edoとETを区別せずこのように呼ぶこととする）は完全5度（約 701.955 セント）のサイズをピタゴラスコンマの 1/12 だけ短縮することによって 700.0 セントの5度を得る。ほかにも12etに支持<sup>(狭義?)</sup>されるテンペラメントがある。


==== ランク2テンペラメント ====
=== ランク2テンペラメント ===
 
''p''-リミットランク2テンペラメントは ''p''-リミット純正律のすべての音程を2次元座標を用いてマップする。このためランク2テンペラメントは2種類のジェネレーターを有している。ジェネレーターの大きさは問わない。つまりランク2テンペラメントは 2 行のヴァルからなるマッピングで定義される。それぞれのヴァルがそれぞれのジェネレーターに対応する。大きいほうの（または1番目の）ジェネレーターはピリオド（周期）と呼ばれ（なのでこのマッピングはperiod-generator mappingとも呼ばれる）、ピリオドはたいていオクターブかその整数分の1となる。ピリオドがオクターブの場合は'''linear temperament'''と呼ばれる。ランク2テンペラメントは追加でコンマをテンパーアウトすることによって関係する（それを支持<sup>(狭義)</sup>する）ランク1テンペラメントにすることができる。例えば、5リミットミーントーンテンペラメントはランク2であり（3次元である5リミット純正律から 81/80 をテンパーアウトしたものであり）、追加でピタゴラスコンマをテンパーアウトすることで12etとなる。（RTTに基づきどういうETになるかというのを脇に置いて、ジェネレーターの大きさをEDOに合わせることでそのEDOで演奏できるようになることを指してEDO tuningという言い方をされることもある。）
''p''-リミットランク2テンペラメントは ''p''-リミット純正律のすべての音程を2次元座標を用いてマップする。このためランク2テンペラメントは2種類のジェネレーターを有している。ジェネレーターの大きさは問わない。つまりランク2テンペラメントは 2 行のヴァルからなるマッピングで定義される。それぞれのヴァルがそれぞれのジェネレーターに対応する。大きいほうの（または1番目の）ジェネレーターはピリオド（周期）と呼ばれ（なのでこのマッピングはperiod-generator mappingとも呼ばれる）、ピリオドはたいていオクターブかその整数分の1となる。ピリオドがオクターブの場合は'''linear temperament'''と呼ばれる。ランク2テンペラメントは追加でコンマをテンパーアウトすることによって関係する（それを支持<sup>(狭義)</sup>する）ランク1テンペラメントにすることができる。例えば、5リミットミーントーンテンペラメントはランク2であり（3次元である5リミット純正律から 81/80 をテンパーアウトしたものであり）、追加でピタゴラスコンマをテンパーアウトすることで12etとなる。（RTTに基づきどういうETになるかというのを脇に置いて、ジェネレーターの大きさをEDOに合わせることでそのEDOで演奏できるようになることを指してEDO tuningという言い方をされることもある。）


ランク2とランク3のレギュラーテンペラメントが{{en仮リンク|Optimal patent val}}にカタログ化されている。ランク2テンペラメントはマッピングに基づいて{{en仮リンク|Proposed names for rank 2 temperaments}}に、ジェネレーターのサイズに基づいて{{en仮リンク|Map of rank-2 temperaments}}にリスト化されている。{{en仮リンク|pergen}}も参考のこと。{{en仮リンク|Graham Breed}}の[http://x31eq.com/catalog2.html giant list of regular temperaments]もある。
ランク2とランク3のレギュラーテンペラメントが{{en仮リンク|Optimal patent val}}にカタログ化されている。ランク2テンペラメントはマッピングに基づいて{{en仮リンク|Proposed names for rank 2 temperaments}}に、ジェネレーターのサイズに基づいて{{en仮リンク|Map of rank-2 temperaments}}にリスト化されている。{{en仮リンク|pergen}}も参考のこと。{{en仮リンク|Graham Breed}}の[http://x31eq.com/catalog2.html giant list of regular temperaments]もある。


=== レギュラーテンペラメントの特徴づけ ===
== レギュラーテンペラメントの特徴づけ ==
==== Normal val lists ====
 
=== Normal val lists ===
{{see also|マッピング}}
{{see also|マッピング}}
{{main|標準形 #マッピングの標準形}}
{{main|標準形 #マッピングの標準形}}
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ヴァルのリストが与えられた場合、それを[[飽和、ねじれ、contorsion|saturate]]（マッピングの約分みたいなもの。これができていないとマッピングで出力される音程に対してジェネレーターによる格子が無駄に細かくなり全射ではなくなる）し、エルミート標準形を使って整理しnormal val listにする場合がある。これは抽象的テンペラメントを規範的に表現する。各ヴァルを有理数の音程に適用（慣れていればマッピングとモンゾの行列演算）するとテンペラメントの音程<!-- 基準音を決めてあればnotesでいいけど -->全体を表すアーベル群の要素1つ（つまりテンペラメントの音程）が得られる。例えば、7リミットミラクルを表すマッピングは [{{val| 1 1 3 3 }}, {{val| 0 6 -7 -2 }}] であり、これを 16/15 または 15/14 に適用すると [0 1] （2番目のジェネレーター1個）というテンパード音程になる。
ヴァルのリストが与えられた場合、それを[[飽和、ねじれ、contorsion|saturate]]（マッピングの約分みたいなもの。これができていないとマッピングで出力される音程に対してジェネレーターによる格子が無駄に細かくなり全射ではなくなる）し、エルミート標準形を使って整理しnormal val listにする場合がある。これは抽象的テンペラメントを規範的に表現する。各ヴァルを有理数の音程に適用（慣れていればマッピングとモンゾの行列演算）するとテンペラメントの音程<!-- 基準音を決めてあればnotesでいいけど -->全体を表すアーベル群の要素1つ（つまりテンペラメントの音程）が得られる。例えば、7リミットミラクルを表すマッピングは [{{val| 1 1 3 3 }}, {{val| 0 6 -7 -2 }}] であり、これを 16/15 または 15/14 に適用すると [0 1] （2番目のジェネレーター1個）というテンパード音程になる。


==== Normal comma lists ====
=== Normal comma lists ===
{{see also|コンマ基底}}
{{see also|コンマ基底}}
{{main|標準形 #コンマ基底の標準形}}
{{main|標準形 #コンマ基底の標準形}}
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テンパーアウトするコンマのリストでテンペラメントを表す場合、リストはval listと同様にsaturate ([[defactoring]]) しておくほうが良い。
テンパーアウトするコンマのリストでテンペラメントを表す場合、リストはval listと同様にsaturate ([[defactoring]]) しておくほうが良い。


==== Wedgie ====
=== Wedgie ===
{{main|{{en仮リンク| Wedgies and multivals }}}}
{{main|{{en仮リンク| Wedgies and multivals }}}}


80行目: 55行目:
<!-- As explained on the [[Interior product #Applications|interior product]] page, if W is the ''r''-wedgie defining the rank-''r'' temperament, then the tuning of a mapping for the temperament can be defined via an (''r'' - 1)-multimonzo V which has the property that for every JI interval ''q'', the tempered value of ''q'' is given by the dot product (W∨''q'')·V. -->
<!-- As explained on the [[Interior product #Applications|interior product]] page, if W is the ''r''-wedgie defining the rank-''r'' temperament, then the tuning of a mapping for the temperament can be defined via an (''r'' - 1)-multimonzo V which has the property that for every JI interval ''q'', the tempered value of ''q'' is given by the dot product (W∨''q'')·V. -->


==== Frobenius projection matrix ====
 
=== Frobenius projection matrix ===
{{main|{{en仮リンク| Tenney-Euclidean Tuning #Frobenius tuning and Frobenius projection matrix }}}}
{{main|{{en仮リンク| Tenney-Euclidean Tuning #Frobenius tuning and Frobenius projection matrix }}}}


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