「飽和、ねじれ、contorsion」の版間の差分

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では 81/80 ではなく (81/80)^2 = 6561/6400 = {{monzo| -8 8 -2}} をテンパーアウトするという定義にしたらどうなるか？この定義は 81/80 を 1/1 と同一視しろとは書いていない。方眼紙の例なら巻き付け方を2倍に緩めて、全ての (81/80)^''n'' をテンパーするはずだった音程が (81/80)^(2''n'') をテンパーしたものと (81/80)^(2''n''+1) をテンパーしたものに分裂することになる。そして (81/80)^2 = 1/1 となり、81/80 の方向はべき数 2 の{{w|捩れ部分群}}となる。

ここまでが純粋に抽象的な群の定義として見た場合である。ここからレギュラーテンペラメントとしてピッチへのマッピングを目指すと、(81/80)^2 = 1/1 が 0 セントである以上 √(81/80)^2 = 81/80 も 0 セントにするしかない。もし仮に周波数が複素数であるとか、周波数と空間オーディオの音源位置情報を各音符に盛り込むとかいうことがあれば、これを過不足なく写すマッピングを

ここまでが純粋に抽象的な群の定義として見た場合である。ここからレギュラーテンペラメントとしてピッチへのマッピングを目指すと、(81/80)^2 = 1/1 が 0 セントである以上 √(81/80)^2 = 81/80 も 0 セントにするしかなくどうしても同じ音程を表すことになる。もし仮に周波数が複素数であるとか、周波数と空間オーディオの音源位置情報を各音符に盛り込むとかいうことがあれば、これを過不足なく写すマッピングを

<math>

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== 歴史と用語 ==

''saturation''は1972年に[[ニコラ・ブルバキ]]が生み出した、{{w|可換環論}}の用語である。

''saturation''は1972年に{{w|ニコラ・ブルバキ}}が生み出した、{{w|可換環論}}の用語である。

''torsion''は少なくとも1932年からある{{w|群論}}の用語である。歴史的に、RTTにおいてコンマをテンパーアウトすることに関して群論での定式化が行われ、あるコンマをテンパーアウトせずにその累乗をテンパーアウトすることが音楽的に不可能であることが見いだされた。現在では線形代数による定式化が好まれ、不可能性というより無意味性として受け流されている。''contorsion''はRTTのために2002年にPaul Erlichによって発明された用語である。"co-torsion"、つまり"torsion"~~の対になる状況を指す言葉である。~~

''torsion''は少なくとも1932年からある{{w|群論}}の用語である。歴史的に、RTTにおいてコンマをテンパーアウトすることに関して群論での定式化が行われ、あるコンマをテンパーアウトせずにその累乗をテンパーアウトすることが音楽的に不可能であることが見いだされた。現在では線形代数による定式化が好まれ、不可能性というより無意味性として受け流されている。''contorsion''はRTTのために2002年にPaul Erlichによって発明された用語である。"co-torsion"、つまり"torsion"の対になる状況を指す言葉である。（ただsaturationの意味では似ていてもねじれ群との関係は正直に言って存在しない）

Dave KeenanとDouglas Blumeyerは''saturation''の代わりに'''defactored'''、''torsion''と''contorsion''の代わりに'''enfactored'''という用語を提案し使用している。（上記saturation algorithmがマッピング行列やコンマ基底行列に行うことがdefactoringであることからも自然な用法であろう）

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 では 81/80 ではなく (81/80)^2 = 6561/6400 = {{monzo| -8 8 -2}} をテンパーアウトするという定義にしたらどうなるか？ この定義は 81/80 を 1/1 と同一視しろとは書いていない。方眼紙の例なら巻き付け方を2倍に緩めて、全ての (81/80)^''n'' をテンパーするはずだった音程が (81/80)^(2''n'') をテンパーしたものと (81/80)^(2''n''+1) をテンパーしたものに分裂することになる。そして (81/80)^2 = 1/1 となり、81/80 の方向はべき数 2 の{{w|捩れ部分群}}となる。
-ここまでが純粋に抽象的な群の定義として見た場合である。ここからレギュラーテンペラメントとしてピッチへのマッピングを目指すと、(81/80)^2 = 1/1 が 0 セントである以上 √(81/80)^2 = 81/80 も 0 セントにするしかない。もし仮に周波数が複素数であるとか、周波数と空間オーディオの音源位置情報を各音符に盛り込むとかいうことがあれば、これを過不足なく写すマッピングを
+ここまでが純粋に抽象的な群の定義として見た場合である。ここからレギュラーテンペラメントとしてピッチへのマッピングを目指すと、(81/80)^2 = 1/1 が 0 セントである以上 √(81/80)^2 = 81/80 も 0 セントにするしかなくどうしても同じ音程を表すことになる。もし仮に周波数が複素数であるとか、周波数と空間オーディオの音源位置情報を各音符に盛り込むとかいうことがあれば、これを過不足なく写すマッピングを
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 == 歴史と用語 ==
-''saturation''は1972年に[[ニコラ・ブルバキ]]が生み出した、{{w|可換環論}}の用語である。
+''saturation''は1972年に{{w|ニコラ・ブルバキ}}が生み出した、{{w|可換環論}}の用語である。
-''torsion''は少なくとも1932年からある{{w|群論}}の用語である。歴史的に、RTTにおいてコンマをテンパーアウトすることに関して群論での定式化が行われ、あるコンマをテンパーアウトせずにその累乗をテンパーアウトすることが音楽的に不可能であることが見いだされた。現在では線形代数による定式化が好まれ、不可能性というより無意味性として受け流されている。''contorsion''はRTTのために2002年にPaul Erlichによって発明された用語である。"co-torsion"、つまり"torsion"の対になる状況を指す言葉である。
+''torsion''は少なくとも1932年からある{{w|群論}}の用語である。歴史的に、RTTにおいてコンマをテンパーアウトすることに関して群論での定式化が行われ、あるコンマをテンパーアウトせずにその累乗をテンパーアウトすることが音楽的に不可能であることが見いだされた。現在では線形代数による定式化が好まれ、不可能性というより無意味性として受け流されている。''contorsion''はRTTのために2002年にPaul Erlichによって発明された用語である。"co-torsion"、つまり"torsion"の対になる状況を指す言葉である。（ただsaturationの意味では似ていてもねじれ群との関係は正直に言って存在しない）
 Dave KeenanとDouglas Blumeyerは''saturation''の代わりに'''defactored'''、''torsion''と''contorsion''の代わりに'''enfactored'''という用語を提案し使用している。（上記saturation algorithmがマッピング行列やコンマ基底行列に行うことがdefactoringであることからも自然な用法であろう）