「レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント」の版間の差分

もしジェネレーターが素数 ''p'' 以下のすべての素数であるならば、我々はそれを ''p''-リミット純正調と呼ぶ。テンパーの方法の例として、何らかの無理数が、近似するこれら素数のひとつを置換することで他の素数の支持に回る（その素数で生成できるようになる。線形従属になる。実質的にジェネレーターが1個減る）。12平均律の 3 は 2^19/12 にテンパーされ 2 を支持し、1/4コンマミーントーンの 3 は 2 * 5^1/4 にテンパーされ 2 と 5 を支持する。

レギュラーテンペラメントについて学ぶとき、テンペラメントを ''p''-リミット純正調からテンパーされた音程集合へのマップ（写像、関数）とみなすと便利である。テンペラメントの次元を適切に分類するため、一体いくつのジェネレーターが線形独立なのかということを決定する必要がある。なぜならば、その記述は冗長である場合があるからである。この問題のもう一方の見方は、テンペラメントのランクを、このマップの写像先の像のランクとすることである。

他の手法として線形代数と多重線型代数が、そのマップに適用される。たとえば、マップのカーネル（零空間）は ''p''-リミット純正音程（コンマと呼ばれる）によって構成される。コンマはテンペラメントを表現するのに便利なプロパティである。

レギュラーテンペラメントは対象の（純正）音程のアーベル群からテンパーされた音程のアーベル群への{{w|群準同型|準同型写像}}である。典型的には、定義域は有理数の乗法的部分群である(aka ''p''-limit JI)。テンパーは、故意にチューニングを変更することによってコンマ、またはコンマのセットが「消され」、ユニゾンになること（[[テンパーアウト]]という）によって実行される。レギュラーテンペラメントの有用性の一部は、音階を生成することである。その音階は、厳密な純正律に比べ簡略であり、協和する音程を多く持ちつつ、高いレベルの協和、または純正律の近似を維持する。そして他の一部は、コンマをテンパーアウトするものとして利用できる「語呂合わせ」を導入することである。テンペラメントは効果的に純正律の次元を減らす。それによりピッチ間の関係性をより簡略化するのである。

数学的に言うと、レギュラーテンペラメントは定義域を近似したいJI等とし、値域をテンパーされた音程（簡易的にテンペラメントの音程とも呼ばれる）の集合とする関数である。一般的にはこの写像は多対一である。2つの異なる有理数が同じ[[マップされた音程|テンパーされた音程]]に写像されることがある。これを''tempered together''^{[定訳なし]}という。

特定の調律（つまり周波数比決定済み）におけるランク-''r'' レギュラーテンペラメントはおそらく、与えられた ''r'' 個の乗法的に独立した実数により定義されるだろう。それら実数を掛け合わせることでそのテンペラメントの音程が生成できる。ランク-''r'' テンペラメントは ''r'' 個のジェネレーターにより定義され、従って ''r'' 行(個)の[[ヴァル]]である。抽象的レギュラーテンペラメントは、様々な方法により定義される。例えば、テンペラメントにおけるテンパーアウトされるコンマのセットで与えることで定義されたり、テンペラメントのマッピングを定義する ''r'' 行のヴァルを与えるというやり方だったりする。テンパーアウトされたコンマをもつテンペラメントの特徴は、コンマポンプである。和声的に関連する音符やコードのシーケンスにより、開始地点に戻る。それらは純正律では不可能なことである。例としては、ミーントーンテンペラメントの I-vii-IV-ii-V-I である。

[[平均律]] (ET or tET) と [[オクターブ平均律|オクターブの均等な分割]] (edo or ed2) は似た概念であるが、用語の使われ方が異なる。''p''-リミット平均律は、単純にジェネレーターが1種類しかない ''p''-リミットテンペラメント、つまりランク1テンペラメントであって、''p''-リミット純正音程を1次元座標を用いてマップする。このようにETという用語はオクターブなど何らかの音程を等分割するということに縛られず、実際に純オクターブを等分割するものではないETが多数開発されている。他方で、''n''-edoは、オクターブを ''n'' 個に等分したものであって、純正音程からのマッピングを考慮していないものである。edoはedoの音程を出力するマッピングに接続することでETとして扱える。それは典型的にはedoに支持^(広義)されるテンペラメントのヴァルを使ってであるが、おもしろい結果を得るためにそれ以外のヴァルを使うこともできる。慣れ親しんだ12平均律（edoとETを区別せずこのように呼ぶこととする）は完全5度（約 701.955 セント）のサイズをピタゴラスコンマの 1/12 だけ短縮することによって 700.0 セントの5度を得る。ほかにも12etに支持^(狭義?)されるテンペラメントがある。

''p''-リミットランク2テンペラメントは ''p''-リミット純正律のすべての音程を2次元座標を用いてマップする。このためランク2テンペラメントは2種類のジェネレーターを有している。ジェネレーターの大きさは問わない。つまりランク2テンペラメントは 2 行のヴァルからなるマッピングで定義される。それぞれのヴァルがそれぞれのジェネレーターに対応する。大きいほうの（または1番目の）ジェネレーターは周期と呼ばれ（なのでこのマッピングはperiod-generator mappingとも呼ばれる）、周期はたいていオクターブかその整数分の1となる。周期がオクターブの場合は'''linear temperament'''と呼ばれる。ランク2テンペラメントは追加でコンマをテンパーアウトすることによって関係する（それを支持^(狭義)する）ランク1テンペラメントにすることができる。例えば、5リミットミーントーンテンペラメントはランク2であり（3次元である5リミット純正律から 81/80 をテンパーアウトしたものであり）、追加でピタゴラスコンマをテンパーアウトすることで12etとなる。（RTTに基づきどういうETになるかというのを脇に置いて、ジェネレーターの大きさをEDOに合わせることでそのEDOで演奏できるようになることを指してEDO tuningという言い方をされることもある。）

ランク2とランク3のレギュラーテンペラメントが[[Optimal patent val]]にカタログ化されている。ランク2テンペラメントはマッピングに基づいて[[Proposed names for rank 2 temperaments]]に、ジェネレーターのサイズに基づいて[[Map of rank-2 temperaments]]にリスト化されている。[[pergen]]も参考のこと。[[Graham Breed]]の[http://x31eq.com/catalog2.html giant list of regular temperaments]もある。

:''→詳細は「{{en仮リンク| Normal lists #Normal val lists }}」を参照''

ヴァルのリストが与えられた場合、それを[[飽和、ねじれ、contorsion|saturate]]（マッピングの約分みたいなもの。これができていないとマッピングで出力される音程に対してジェネレーターによる格子が無駄に細かくなり全射ではなくなる）し、[[Normal lists|Hermite normal form]]を使って整理しnormal val listにする場合がある。これは抽象的テンペラメントを規範的に表現する。各ヴァルを有理数の音程に適用（慣れていればマッピングとモンゾの行列演算）するとテンペラメントの音程<!-- 基準音を決めてあればnotesでいいけど -->全体を表すアーベル群の要素1つ（つまりテンペラメントの音程）が得られる。例えば、7リミットミラクルを表すマッピングは [{{val| 1 1 3 3 }}, {{val| 0 6 -7 -2 }}] であり、これを 16/15 または 15/14 に適用すると [0 1] （2番目のジェネレーター1個）というテンパード音程になる。

:''→詳細は「{{en仮リンク| Normal lists #Normal interval lists }}」を参照''

テンパーアウトするコンマのリストでテンペラメントを表す場合、リストはval listと同様にsaturate ([[飽和、ねじれ、contorsion|defactoring]]) しておくほうが良い。