「数理最適化」の版間の差分
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== ノルム == | == ノルム == | ||
[[File:Vector norms.svg|thumb|upright=0.5|平面 '''R'''<sup>2</sup> 上の異なるノルムに関する単位円の様子]] | |||
ノルム最適化を行うには、音程の複雑度に関する{{w|ノルム}}を導入する必要がある。技術的には、純正律サブグループを{{w|ノルム線型空間}}に{{w|埋め込み (数学)|埋め込む}}ことである。これをするにはいくつかの側面で検討することがある。重みは形式的素数のそれぞれがどの程度重要なのか、傾き（skew、仮訳）は分数と合成数で扱いを変えるかどうか、である。これらはノルムの定義として書いても座標として表現してもよく、見方の違いでしかない。最後に次数（ノルムと聞いて真っ先に思い浮かべるあれ）は、斜め方向の移動がどう数えられるかを決定する。 | ノルム最適化を行うには、音程の複雑度に関する{{w|ノルム}}を導入する必要がある。技術的には、純正律サブグループを{{w|ノルム線型空間}}に{{w|埋め込み (数学)|埋め込む}}ことである。これをするにはいくつかの側面で検討することがある。重みは形式的素数のそれぞれがどの程度重要なのか、傾き（skew、仮訳）は分数と合成数で扱いを変えるかどうか、である。これらはノルムの定義として書いても座標として表現してもよく、見方の違いでしかない。最後に次数（ノルムと聞いて真っ先に思い浮かべるあれ）は、斜め方向の移動がどう数えられるかを決定する。 | ||
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=== 傾き === | === 傾き === | ||
interval spaceにおいて各素数軸を直交させた場合は分数の形になっているものと合成数の形になっているものを同じ重要度として扱うが、分数の形のほうが重要であると考えることが多い。例えば、同じように 3 と 5 を1個づつ使っていても、5/3 のほうが 15/1 より重要だとみなされる。傾きはこれを理論に導入する。 | |||
[[ワイルノルム]]はテニー重みをベースに、軸の間の角度を 60 度に傾け（さらに線形従属な軸を加え）たものである。 | [[ワイルノルム]]はテニー重みをベースに、軸の間の角度を 60 度に傾け（さらに線形従属な軸を加え）たものである。 | ||
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* ユークリッドノルム（''L''<sup>2</sup> ノルム）は現実の距離のようなものである。 | * ユークリッドノルム（''L''<sup>2</sup> ノルム）は現実の距離のようなものである。 | ||
* マンハッタンノルム（''L''<sup>1</sup> ノルム）はマンハッタンの中のタクシーのようなものである。水平方向の移動と垂直方向の移動しかできないので、斜めの移動コストは両方の和となる。 | * マンハッタンノルム（''L''<sup>1</sup> ノルム）はマンハッタンの中のタクシーのようなものである。水平方向の移動と垂直方向の移動しかできないので、斜めの移動コストは両方の和となる。 | ||
* チェビシェフノルム（''L''<sup>∞</sup> | * チェビシェフノルム（''L''<sup>∞</sup> ノルム）はチェスのキングのようなものである。左右に1マス、上下に1マス、斜め移動（''L''<sup>2</sup> 的に言えば 1.41 マス先）が全て1手でできる。 | ||
''L''<sup>1</sup> と ''L''<sup>∞</sup> が双対ノルム（双対空間それぞれに設定されたノルムである種の性質の良さがある組み合わせ）である。''L''<sup>2</sup> の双対は ''L''<sup>2</sup> である。 | ''L''<sup>1</sup> と ''L''<sup>∞</sup> が双対ノルム（双対空間それぞれに設定されたノルムである種の性質の良さがある組み合わせ）である。''L''<sup>2</sup> の双対は ''L''<sup>2</sup> である。 | ||
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== 強制 == | == 強制 == | ||
特定の音程を特定の大きさに強制する手法について解説する。オクターブを純正にすることが最もよく行われている強制であるが、他の音程も対象になりうる。2つの主流な方法がある。 | |||
=== デストレッチ === | |||
デストレッチは後処理により純正音程を強制する方法である。（17.1edoの[[一般化パテントヴァル|GPV]]を17.0edoで用いるようなやつである。）その結果はもはや元々のノルムとは関係ないものになるが、しばしばもっと高度な手法に対する簡便な近似になる。最もありふれた例が{{en仮リンク|POTE tuning}}である。これはたまたま{{en仮リンク|CWE tuning}}に近い結果を得られることで知られている。 | |||
=== 制約 === | |||
制約条件（等式）を追加してそれも満たす最小化問題をきちんと解くこと。制約条件を増やした結果最小化以前に解が定まってしまう場合もある（純正のままにした音程のことを{{en仮リンク|固有モンゾ|eigenmonzo}}という。ランク2テンペラメントに固有モンゾを2個設定すると解が定まってしまう。{{en仮リンク|minimax tuning}}なども参照のこと）。制約条件は最適化の{{w|実行可能領域}}を定義し、実行可能な範囲で最小化された結果をfeasibly optimalという。 | |||
== | == 枠組みの定式化 == | ||
（デストレッチを除いて）テンペラメントの最適化問題は下記のように定義できる。～ | |||
== | == 主要なチューニング == | ||
～ | |||