「利用者:Tessyrrh1016/draft/リーマンゼータ関数と調律」の版間の差分
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: <math>\displaystyle F_s(x) = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{\ln n} \frac{\cos(2 \pi x \log_2 n)}{n^s}</math> | : <math>\displaystyle F_s(x) = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{\ln n} \frac{\cos(2 \pi x \log_2 n)}{n^s}</math> | ||
この新しい関数は元の関数との間で <math>F_s(x) = F_s(0) - E_s(x)</math> という関係式が成り立ち、つまりこの関数は <math>E_s(x)</math> の符号を反転しそれを垂直方向に平行移動したものである。これで誤差が小さい場合、極小値になるのではなく極大値になるようになる。さらに興味深いのはこれが既知の数学関数であり、リーマンゼータ関数{{Wikilink|リーマンゼータ関数}}の対数の実部で表現できるという事実である。 | この新しい関数は元の関数との間で <math>F_s(x) = F_s(0) - E_s(x)</math> という関係式が成り立ち、つまりこの関数は <math>E_s(x)</math> の符号を反転しそれを垂直方向に平行移動したものである。これで誤差が小さい場合、極小値になるのではなく極大値になるようになる。さらに興味深いのはこれが既知の数学関数であり、リーマンゼータ関数{{Wikilink|リーマンゼータ関数}}の対数の実部で表現できるという事実である。[[Wikipedia:フォン・マンゴルト関数 #ディリクレ級数]]に載っているディリクレ級数 | ||
: <math>\displaystyle \ln \zeta(s) = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{\ln n} \frac{1}{n^s}</math> | |||
を使えば、 | |||
: <math>\displaystyle F_s(x) = \Re \ln \zeta \left(s + \dfrac{2 \pi i x}{\ln 2} \right) = \ln \left| \zeta \left(s + \dfrac{2 \pi i x}{\ln 2} \right) \right|</math> | : <math>\displaystyle F_s(x) = \Re \ln \zeta \left(s + \dfrac{2 \pi i x}{\ln 2} \right) = \ln \left| \zeta \left(s + \dfrac{2 \pi i x}{\ln 2} \right) \right|</math> | ||
が導出でき、両辺で指数関数をとれば、 | |||
: <math>\displaystyle \exp(F_s(x)) = \left| \zeta \left(s + \dfrac{2 \pi i x}{\ln 2} \right) \right|</math> | : <math>\displaystyle \exp(F_s(x)) = \left| \zeta \left(s + \dfrac{2 \pi i x}{\ln 2} \right) \right|</math> | ||