「飽和、ねじれ、contorsion」の版間の差分

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== Contorsion ==

テンペラメントのマッピングが'''contorsion'''~~であるとは、そのジェネレーター音程から組み立て可能な音程の中に元となる純正音程との対応がつかない音程があることを言う。~~

テンペラメントのマッピングが'''contorsion'''を示す（contortedである）とは、そのジェネレーター音程の候補の中に元となる純正音程との対応がつかない音程があることをいう。（同じ意味のマッピングでも{{en仮リンク|Generator form manipulation}}による変形で異なるジェネレーター音程の組が得られ、その中のどれかでそういう音程が見つかる。）この対応のつかない音程を'''contorted generator'''といい、この音程は純正音程からのマッピングにおいて ''c''×整数倍の形でしか含まれない。この ''c'' > 1 を'''contorsion order'''という。複数の方向がcontorted generatorになる場合もあり、その場合の最大のcontorsion orderを'''greatest factor'''という。

例えば、[[5リミット]] [[36平均律]]（パテントヴァルの{{val| 36 57 84}}）は5リミットの純正音程をマップするのにオクターブ当たり12個の（[[12平均律]]と同じ）ピッチしか使わない。結局、他の24個の音程は使われず、36平均律は5リミットにおいてcontortedだということである。この場合のcontorted generatorは…ランク1なので平均律の1ステップが唯一のジェネレーターであり（1/36オクターブ）、これがcontortedでなければならない。このジェネレーターは必ず3の倍数個で使われ、contorsion orderは 3 である。

== ねじれ ==

テンペラメントをコンマ基底で定義することを考える。例えばミーントーンは 81/80 = {{~~val~~|-4 4 -1}} ~~をテンパーアウトする。これはもともとあった[[5リミット]]の音程の3次元格子が、「5~~/1 と (3/2)^4 を同一視する（すなわち 1/1 と 81/80 を同一視する）」という条件により 5/1 の方向の点が片付いて2次元格子に縮小することになる。イメージしづらかったら、5/1 の方向と 3/2 の方向だけを取り出した方眼紙（2次元格子）を、5/1 と (3/2)^4 が重なるように巻くと方眼紙のすべての点が (3/2)^''n'' として（1次元格子）説明できるようになるイメージを思い浮かべてください。

テンペラメントの定義が'''ねじれ'''を示すとは、そのアーベル群としての定義がねじれを含んでおり、したがって全順序であるピッチの集合にそのまま変換することができないことをいう。

テンペラメントをコンマ基底で定義することを考える。例えばミーントーンは 81/80 = {{monzo| -4 4 -1}} をテンパーアウトする。これはもともとあった5リミットの音程の3次元格子が、「5/1 と (3/2)^4 を同一視する（すなわち 1/1 と 81/80 を同一視する）」という条件により 5/1 の方向の点が片付いて2次元格子に縮小することになる。イメージしづらかったら、5/1 の方向と 3/2 の方向だけを取り出した方眼紙（2次元格子）を、5/1 と (3/2)^4 が重なるように巻くと方眼紙のすべての点が (3/2)^''n'' として（1次元格子）説明できるようになるイメージを思い浮かべてください。

では 81/80 ではなく (81/80)^2 = 6561/6400 = {{~~val~~|-8 8 -2}} をテンパーアウトするという定義にしたらどうなるか？ ~~1/1 と (81/80)^2 を同一視するのだが、では 81/80 はどうなるのか？~~ この定義は 81/80 を 1/1 と同一視しろとは書いていない。方眼紙の例なら巻き付け方を2倍に緩めて、1点の (81/80)^''n'' だった音程が (81/80)^(2''n'') と (81/80)^(2''n''+1) に分裂することになる。そして (81/80)^2 = 1/1 となり、81/80 の方向はべき数 2 の{{w|捩れ部分群}}となる。

では 81/80 ではなく (81/80)^2 = 6561/6400 = {{monzo| -8 8 -2}} をテンパーアウトするという定義にしたらどうなるか？この定義は 81/80 を 1/1 と同一視しろとは書いていない。方眼紙の例なら巻き付け方を2倍に緩めて、1点の (81/80)^''n'' だった音程が (81/80)^(2''n'') と (81/80)^(2''n''+1) に分裂することになる。そして (81/80)^2 = 1/1 となり、81/80 の方向はべき数 2 の{{w|捩れ部分群}}となる。

ここまでが純粋に抽象的な群の定義として見た場合である。ここからレギュラーテンペラメントとしてピッチへのマッピングを目指すと、(81/80)^2 = 1/1 が 0 セントである以上 √(81/80)^2 = 81/80 も 0 セントにするしかない。もし仮に周波数が複素数であるとか、周波数と空間オーディオの音源位置情報を各音符に盛り込むとかいうことがあれば、これを過不足なく写すマッピングを

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 == Contorsion ==
-テンペラメントのマッピングが'''contorsion'''であるとは、そのジェネレーター音程から組み立て可能な音程の中に元となる純正音程との対応がつかない音程があることを言う。
+テンペラメントのマッピングが'''contorsion'''を示す（contortedである）とは、そのジェネレーター音程の候補の中に元となる純正音程との対応がつかない音程があることをいう。（同じ意味のマッピングでも{{en仮リンク|Generator form manipulation}}による変形で異なるジェネレーター音程の組が得られ、その中のどれかでそういう音程が見つかる。）この対応のつかない音程を'''contorted generator'''といい、この音程は純正音程からのマッピングにおいて ''c''×整数倍の形でしか含まれない。この ''c'' > 1 を'''contorsion order'''という。複数の方向がcontorted generatorになる場合もあり、その場合の最大のcontorsion orderを'''greatest factor'''という。
+例えば、[[5リミット]] [[36平均律]]（パテントヴァルの{{val| 36 57 84}}）は5リミットの純正音程をマップするのにオクターブ当たり12個の（[[12平均律]]と同じ）ピッチしか使わない。結局、他の24個の音程は使われず、36平均律は5リミットにおいてcontortedだということである。この場合のcontorted generatorは…ランク1なので平均律の1ステップが唯一のジェネレーターであり（1/36オクターブ）、これがcontortedでなければならない。このジェネレーターは必ず3の倍数個で使われ、contorsion orderは 3 である。
 == ねじれ ==
-テンペラメントをコンマ基底で定義することを考える。例えばミーントーンは 81/80 = {{val|-4 4 -1}} をテンパーアウトする。これはもともとあった[[5リミット]]の音程の3次元格子が、「5/1 と (3/2)^4 を同一視する（すなわち 1/1 と 81/80 を同一視する）」という条件により 5/1 の方向の点が片付いて2次元格子に縮小することになる。イメージしづらかったら、5/1 の方向と 3/2 の方向だけを取り出した方眼紙（2次元格子）を、5/1 と (3/2)^4 が重なるように巻くと方眼紙のすべての点が (3/2)^''n'' として（1次元格子）説明できるようになるイメージを思い浮かべてください。
+テンペラメントの定義が'''ねじれ'''を示すとは、そのアーベル群としての定義がねじれを含んでおり、したがって全順序であるピッチの集合にそのまま変換することができないことをいう。
+テンペラメントをコンマ基底で定義することを考える。例えばミーントーンは 81/80 = {{monzo| -4 4 -1}} をテンパーアウトする。これはもともとあった5リミットの音程の3次元格子が、「5/1 と (3/2)^4 を同一視する（すなわち 1/1 と 81/80 を同一視する）」という条件により 5/1 の方向の点が片付いて2次元格子に縮小することになる。イメージしづらかったら、5/1 の方向と 3/2 の方向だけを取り出した方眼紙（2次元格子）を、5/1 と (3/2)^4 が重なるように巻くと方眼紙のすべての点が (3/2)^''n'' として（1次元格子）説明できるようになるイメージを思い浮かべてください。
-では 81/80 ではなく (81/80)^2 = 6561/6400 = {{val|-8 8 -2}} をテンパーアウトするという定義にしたらどうなるか？ 1/1 と (81/80)^2 を同一視するのだが、では 81/80 はどうなるのか？ この定義は 81/80 を 1/1 と同一視しろとは書いていない。方眼紙の例なら巻き付け方を2倍に緩めて、1点の (81/80)^''n'' だった音程が (81/80)^(2''n'') と (81/80)^(2''n''+1) に分裂することになる。そして (81/80)^2 = 1/1 となり、81/80 の方向はべき数 2 の{{w|捩れ部分群}}となる。
+では 81/80 ではなく (81/80)^2 = 6561/6400 = {{monzo| -8 8 -2}} をテンパーアウトするという定義にしたらどうなるか？ この定義は 81/80 を 1/1 と同一視しろとは書いていない。方眼紙の例なら巻き付け方を2倍に緩めて、1点の (81/80)^''n'' だった音程が (81/80)^(2''n'') と (81/80)^(2''n''+1) に分裂することになる。そして (81/80)^2 = 1/1 となり、81/80 の方向はべき数 2 の{{w|捩れ部分群}}となる。
 ここまでが純粋に抽象的な群の定義として見た場合である。ここからレギュラーテンペラメントとしてピッチへのマッピングを目指すと、(81/80)^2 = 1/1 が 0 セントである以上 √(81/80)^2 = 81/80 も 0 セントにするしかない。もし仮に周波数が複素数であるとか、周波数と空間オーディオの音源位置情報を各音符に盛り込むとかいうことがあれば、これを過不足なく写すマッピングを