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「レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント」の版間の差分

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== Xenharmonic wikiによるRegular Temperamentの解説 ==
== Xenharmonic wikiによるRegular Temperamentの解説 ==


原文『Xenharmonic wiki』：[[Mathematical theory of regular temperaments]]
原文『Xenharmonic wiki』：[[:en:Mathematical theory of regular temperaments]]


=== 概要 ===
=== 概要 ===
レギュラーテンペラメントは対象の（純正）音程のアーベル群からテンパーされた音程のアーベル群への[[Wikipedia:ja:群準同型|準同型写像]]である。典型的には、定義域は有理数の乗法的部分群である(aka ''p''-limit JI)。テンパーとは、故意にチューニングを変更することによってコンマ、またはコンマのセットが「消され」、ユニゾンになること（テンパーアウトという）によって実行される。レギュラーテンペラメントの有用性の一部は、音階を生成することである。その音階は、厳密な純正律に比べ簡略であり、協和する音程を多く持ちつつ、高いレベルの協和、または純正律の近似を維持する。そして他の一部は、コンマをテンパーアウトするものとして利用できる「語呂合わせ」を導入することである。テンペラメントは効果的に純正律の次元を減らす。それによりピッチ間の関係性をより簡略化するのである。
レギュラーテンペラメントは対象の（純正）音程のアーベル群からテンパーされた音程のアーベル群への{{w|群準同型|準同型写像}}である。典型的には、定義域は有理数の乗法的部分群である(aka ''p''-limit JI)。テンパーとは、故意にチューニングを変更することによってコンマ、またはコンマのセットが「消され」、ユニゾンになること（テンパーアウトという）によって実行される。レギュラーテンペラメントの有用性の一部は、音階を生成することである。その音階は、厳密な純正律に比べ簡略であり、協和する音程を多く持ちつつ、高いレベルの協和、または純正律の近似を維持する。そして他の一部は、コンマをテンパーアウトするものとして利用できる「語呂合わせ」を導入することである。テンペラメントは効果的に純正律の次元を減らす。それによりピッチ間の関係性をより簡略化するのである。


数学的に言うと、レギュラーテンペラメントは定義域を近似したいJI等とし、値域をテンパーされた音程（簡易的にテンペラメントの音程とも呼ばれる）の集合とする関数である。一般的にはこの写像は多対一である。2つの異なる有理数が同じテンパーされた音程に写像されることがある。これを''tempered together''<sup>[定訳なし]</sup>という。
数学的に言うと、レギュラーテンペラメントは定義域を近似したいJI等とし、値域をテンパーされた音程（簡易的にテンペラメントの音程とも呼ばれる）の集合とする関数である。一般的にはこの写像は多対一である。2つの異なる有理数が同じテンパーされた音程に写像されることがある。これを''tempered together''<sup>[定訳なし]</sup>という。
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=== レギュラーテンペラメントの特徴づけ ===
=== レギュラーテンペラメントの特徴づけ ===
==== Normal val lists ====
==== Normal val lists ====
{{Main| Normal lists #Normal val lists }}
:→詳細は「{{en仮リンク| Normal lists #Normal val lists }}」を参照


ヴァルのリストが与えられた場合、それを[[Mathematical theory of saturation|saturate]]（マッピングの約分みたいなもの。これができていないとマッピングで出力される音程に対してジェネレーターによる格子が無駄に細かくなり全射ではなくなる）し、[[Normal lists|Hermite normal form]]を使って整理しnormal val listにする場合がある。これは抽象的テンペラメントを規範的に表現する。各ヴァルを有理数の音程に適用（慣れていればマッピングとモンゾの行列演算）するとテンペラメントの音程<!-- 基準音を決めてあればnotesでいいけど -->全体を表すアーベル群の要素1つ（つまりテンペラメントの音程）が得られる。例えば、7リミットミラクルを表すマッピングは [{{val| 1 1 3 3 }}, {{val| 0 6 -7 -2 }}] であり、これを 16/15 または 15/14 に適用すると [0 1] （2番目のジェネレーター1個）というテンパード音程になる。
ヴァルのリストが与えられた場合、それを[[飽和、ねじれ、contorsion|saturate]]（マッピングの約分みたいなもの。これができていないとマッピングで出力される音程に対してジェネレーターによる格子が無駄に細かくなり全射ではなくなる）し、[[Normal lists|Hermite normal form]]を使って整理しnormal val listにする場合がある。これは抽象的テンペラメントを規範的に表現する。各ヴァルを有理数の音程に適用（慣れていればマッピングとモンゾの行列演算）するとテンペラメントの音程<!-- 基準音を決めてあればnotesでいいけど -->全体を表すアーベル群の要素1つ（つまりテンペラメントの音程）が得られる。例えば、7リミットミラクルを表すマッピングは [{{val| 1 1 3 3 }}, {{val| 0 6 -7 -2 }}] であり、これを 16/15 または 15/14 に適用すると [0 1] （2番目のジェネレーター1個）というテンパード音程になる。


==== Normal comma lists ====
==== Normal comma lists ====
{{Main| Normal lists #Normal interval lists }}
:→詳細は「{{en仮リンク| Normal lists #Normal interval lists }}」を参照


normal comma listによって抽象的テンペラメントが定義される。この方法はnormal val listより明確にテンペラメントの家族関係を示すという利点がある。normal val list以外の方法でテンペラメントを表しテンペラメントの音程を定義することができるということである。
normal comma listによって抽象的テンペラメントが定義される。この方法はnormal val listより明確にテンペラメントの家族関係を示すという利点がある。normal val list以外の方法でテンペラメントを表しテンペラメントの音程を定義することができるということである。


テンパーアウトするコンマのリストでテンペラメントを表す場合、リストはval listと同様にsaturate ([[defactoring|defactor]]) しておくほうが良い。
テンパーアウトするコンマのリストでテンペラメントを表す場合、リストはval listと同様にsaturate ([[飽和、ねじれ、contorsion|defactoring]]) しておくほうが良い。


==== Wedgie ====
==== Wedgie ====
{{Main| Wedgies and multivals }}
:→詳細は「{{en仮リンク| Wedgies and multivals }}」を参照


この手法は[[Wikipedia:ja:外積代数]]を用いて、抽象的テンペラメントと一意に関連付けられるくさび積を定義する。テンペラメントの音程からなる群は、[[wedgie]]とモンゾの内積によって得られる。
この手法は{{w|外積代数}}を用いて、抽象的テンペラメントと一意に関連付けられるくさび積を定義する。テンペラメントの音程からなる群は、[[wedgie]]とモンゾの内積によって得られる。


例えば、"∨" を内積を表す記号として、7リミットミラクルを表すwedgieは W = {{multival| 6 -7 -2 -25 -20 15 }} と書ける。内積 W ∨ {{monzo| 1 0 0 0 }} は {{val| 0 -6 7 2 }} となり（1番目のジェネレーターを入れると2番目のジェネレーターのヴァルが出てくる）、15/14 ならば W ∨ {{monzo| -1 1 1 -1 }} は {{val| 1 1 3 3 }} となり、16/15 ならば W ∨ {{monzo| 4 -1 -1 0 }} だがこれもまた {{val| 1 1 3 3 }} となる（2番目のジェネレーターを入れると1番目のジェネレーターのヴァルが出てくる）。ランク1テンペラメントのように説明すると、{{val| 1 1 3 3 }} はミラクルのコンマをテンパーアウトしたのに加えて 15/14 (~16/15) もユニゾンにしてしまった7リミット1etである。内積はmultivalにコンマを追加しランクを1下げる効果がある。<!-- When we do this to a wedgie, we obtain a multival of rank one less, which has all the commas of the wedgie plus an additional comma, the interval we want to represent. -->
例えば、"∨" を内積を表す記号として、7リミットミラクルを表すwedgieは W = {{multival| 6 -7 -2 -25 -20 15 }} と書ける。内積 W ∨ {{monzo| 1 0 0 0 }} は {{val| 0 -6 7 2 }} となり（1番目のジェネレーターを入れると2番目のジェネレーターのヴァルが出てくる）、15/14 ならば W ∨ {{monzo| -1 1 1 -1 }} は {{val| 1 1 3 3 }} となり、16/15 ならば W ∨ {{monzo| 4 -1 -1 0 }} だがこれもまた {{val| 1 1 3 3 }} となる（2番目のジェネレーターを入れると1番目のジェネレーターのヴァルが出てくる）。ランク1テンペラメントのように説明すると、{{val| 1 1 3 3 }} はミラクルのコンマをテンパーアウトしたのに加えて 15/14 (~16/15) もユニゾンにしてしまった7リミット1etである。内積はmultivalにコンマを追加しランクを1下げる効果がある。<!-- When we do this to a wedgie, we obtain a multival of rank one less, which has all the commas of the wedgie plus an additional comma, the interval we want to represent. -->
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==== Frobenius projection matrix ====
==== Frobenius projection matrix ====
{{Main| Tenney-Euclidean Tuning #Frobenius tuning and Frobenius projection matrix }}
:→詳細は「{{en仮リンク| Tenney-Euclidean Tuning #Frobenius tuning and Frobenius projection matrix }}」を参照


[[Projection matrix]]はランクを落としつつ元のJI空間（指数に非整数も許したもの([[fractional monzos]])）に写像する行列である。これ自体は一意性はないが、[[wikipedia:ja:ムーア・ペンローズ逆行列]]を使うなどすることで抽象的テンペラメントごとに一意のFrobenius projection matrixが得られる。これはまた[[Fractional monzos|Frobenius tuning]]を導く。
[[Projection matrix]]はランクを落としつつ元のJI空間（指数に非整数も許したもの({{en仮リンク|分数モンゾ|fractional monzo}})）に写像する行列である。これ自体は一意性はないが、{{w|ムーア・ペンローズ逆行列}}を使うなどすることで抽象的テンペラメントごとに一意のFrobenius projection matrixが得られる。これはまたFrobenius tuningを導く。


（後略）
（後略）
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