「飽和、ねじれ、contorsion」の版間の差分

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テンペラメントの定義が'''ねじれ'''を示すとは、その{{w|アーベル群}}としての定義がねじれを含んでおり、したがって{{w|全順序群|全順序}}であるピッチの集合にそのまま変換することができないことをいう。

テンペラメントをコンマ基底で定義することを考える。例えばミーントーンは 81/80 = {{monzo| -4 4 -1}} をテンパーアウトする。これはもともとあった5リミットの音程の3次元格子が、「5/1 と (3/2)^4 を同一視する（すなわち 1/1 と 81/80 を同一視する）」という条件により 5/1 ~~の方向の点が片付いて2次元格子に縮小することになる。イメージしづらかったら、5~~/1 の方向と 3/2 ~~の方向だけを取り出した方眼紙（2次元格子）を、5~~/1 と (3/2)^4 ~~が重なるように巻くと方眼紙のすべての点が~~ (3/2)^''n~~'' として（1次元格子）説明できるようになるイメージを思い浮かべてください。~~

テンペラメントをコンマ基底で定義することを考える。例えばミーントーンは 81/80 = {{monzo| -4 4 -1}} をテンパーアウトする。これはもともとあった5リミットの音程の3次元格子が、「5/1 と (3/2)^4 を同一視する（すなわち 1/1 と 81/80 を同一視する）」という条件により 5/1 の方向の点が片付いて2次元格子に縮小することになる。下図はオクターブ方向を無視して 5/1 の方向と 3/2 の方向による2次元格子を考え、5/1 と (3/2)^4 が重なるように巻くと2次元格子のすべての点が1本のらせんに乗る（1次元格子）ことの模式図である。

Figure1 abelian group.svg|2.3.5サブグループの純正音程による3次元格子。(3/2)^m * 5^n に該当する音程だけ着色。

Figure2 special plane.svg|左図の音程が属する平面。

Figure3 no torsion.svg|平面を 81/80 と 1/1 と 80/81 が重なるように巻き付けた。(3/2)^n が1本のらせんを形成する。

Figure4 with torsion.svg|平面を 1/1 と (81/80)^2=6561/6400 が重なるように巻き付けた。2本のらせんが形成されている。1/1と81/80の関係（赤リング）がねじれ部分群である。

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では 81/80 ではなく (81/80)^2 = 6561/6400 = {{monzo| -8 8 -2}} をテンパーアウトするという定義にしたらどうなるか？この定義は 81/80 を 1/1 ~~と同一視しろとは書いていない。方眼紙の例なら巻き付け方を2倍に緩めて、全ての~~ (81/80)^''n'' をテンパーするはずだった音程が (81/80)^(2''n'') をテンパーしたもの（1/1を含んでいるので仮に"1/1"と呼ぶことにします）と (81/80)^(2''n''+1) をテンパーしたもの（81/80を含んでいるので仮に"81/80"と呼ぶことにします）に分裂することになる。そして ("81/80")^2 = "1/1" となり、"81/80" の方向はべき数 2 の{{w|捩れ部分群|ねじれ部分群}}となる。

では 81/80 ではなく (81/80)^2 = 6561/6400 = {{monzo| -8 8 -2}} をテンパーアウトするという定義にしたらどうなるか？この定義は 81/80 を 1/1 と同一視しろとは書いていない。格子のたとえで言うなら巻き付け方を2倍に緩めて、全ての (81/80)^''n'' をテンパーするはずだった音程が (81/80)^(2''n'') をテンパーしたもの（1/1を含んでいるので仮に"1/1"と呼ぶことにします）と (81/80)^(2''n''+1) をテンパーしたもの（81/80を含んでいるので仮に"81/80"と呼ぶことにします）に分裂することになる。そして ("81/80")^2 = "1/1" となり、"81/80" の方向はべき数 2 の{{w|捩れ部分群|ねじれ部分群}}となる。

ここまでが純粋に抽象的な群の定義として見た場合である。ここからレギュラーテンペラメントとしてピッチへのマッピングを目指すと、(81/80)^2 = "1/1" が 0 セントである以上 √(81/80)^2 = "81/80" も 0 セントにするしかなくどうしても同じ音程を表すことになる。もし仮に周波数が複素数であるとか、周波数と空間オーディオの音源位置情報を各音符に盛り込むとかいうことがあれば、これを過不足なく写すマッピングを

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 テンペラメントの定義が'''ねじれ'''を示すとは、その{{w|アーベル群}}としての定義がねじれを含んでおり、したがって{{w|全順序群|全順序}}であるピッチの集合にそのまま変換することができないことをいう。
-テンペラメントをコンマ基底で定義することを考える。例えばミーントーンは 81/80 = {{monzo| -4 4 -1}} をテンパーアウトする。これはもともとあった5リミットの音程の3次元格子が、「5/1 と (3/2)^4 を同一視する（すなわち 1/1 と 81/80 を同一視する）」という条件により 5/1 の方向の点が片付いて2次元格子に縮小することになる。イメージしづらかったら、5/1 の方向と 3/2 の方向だけを取り出した方眼紙（2次元格子）を、5/1 と (3/2)^4 が重なるように巻くと方眼紙のすべての点が (3/2)^''n'' として（1次元格子）説明できるようになるイメージを思い浮かべてください。
+テンペラメントをコンマ基底で定義することを考える。例えばミーントーンは 81/80 = {{monzo| -4 4 -1}} をテンパーアウトする。これはもともとあった5リミットの音程の3次元格子が、「5/1 と (3/2)^4 を同一視する（すなわち 1/1 と 81/80 を同一視する）」という条件により 5/1 の方向の点が片付いて2次元格子に縮小することになる。下図はオクターブ方向を無視して 5/1 の方向と 3/2 の方向による2次元格子を考え、5/1 と (3/2)^4 が重なるように巻くと2次元格子のすべての点が1本のらせんに乗る（1次元格子）ことの模式図である。
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+Figure1 abelian group.svg|2.3.5サブグループの純正音程による3次元格子。(3/2)^m * 5^n に該当する音程だけ着色。
+Figure2 special plane.svg|左図の音程が属する平面。
+Figure3 no torsion.svg|平面を 81/80 と 1/1 と 80/81 が重なるように巻き付けた。(3/2)^n が1本のらせんを形成する。
+Figure4 with torsion.svg|平面を 1/1 と (81/80)^2=6561/6400 が重なるように巻き付けた。2本のらせんが形成されている。1/1と81/80の関係（赤リング）がねじれ部分群である。
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-では 81/80 ではなく (81/80)^2 = 6561/6400 = {{monzo| -8 8 -2}} をテンパーアウトするという定義にしたらどうなるか？ この定義は 81/80 を 1/1 と同一視しろとは書いていない。方眼紙の例なら巻き付け方を2倍に緩めて、全ての (81/80)^''n'' をテンパーするはずだった音程が (81/80)^(2''n'') をテンパーしたもの（1/1を含んでいるので仮に"1/1"と呼ぶことにします）と (81/80)^(2''n''+1) をテンパーしたもの（81/80を含んでいるので仮に"81/80"と呼ぶことにします）に分裂することになる。そして ("81/80")^2 = "1/1" となり、"81/80" の方向はべき数 2 の{{w|捩れ部分群|ねじれ部分群}}となる。
+では 81/80 ではなく (81/80)^2 = 6561/6400 = {{monzo| -8 8 -2}} をテンパーアウトするという定義にしたらどうなるか？ この定義は 81/80 を 1/1 と同一視しろとは書いていない。格子のたとえで言うなら巻き付け方を2倍に緩めて、全ての (81/80)^''n'' をテンパーするはずだった音程が (81/80)^(2''n'') をテンパーしたもの（1/1を含んでいるので仮に"1/1"と呼ぶことにします）と (81/80)^(2''n''+1) をテンパーしたもの（81/80を含んでいるので仮に"81/80"と呼ぶことにします）に分裂することになる。そして ("81/80")^2 = "1/1" となり、"81/80" の方向はべき数 2 の{{w|捩れ部分群|ねじれ部分群}}となる。
 ここまでが純粋に抽象的な群の定義として見た場合である。ここからレギュラーテンペラメントとしてピッチへのマッピングを目指すと、(81/80)^2 = "1/1" が 0 セントである以上 √(81/80)^2 = "81/80" も 0 セントにするしかなくどうしても同じ音程を表すことになる。もし仮に周波数が複素数であるとか、周波数と空間オーディオの音源位置情報を各音符に盛り込むとかいうことがあれば、これを過不足なく写すマッピングを