「ジェネレーター読み替え操作」の版間の差分

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| ja =

}}

マッピング行列の標準形はレギュラーテンペラメントを一意に識別する方法として重要だが、それ以外の形式が不要なわけではない。同じテンパーされた音程を生成するのであっても異なる表現を取りたい人もいるからである。いくつかのそういう形式が存在していて、positive generator form、equave-reduced generator form、minimal-generator formなどである。

マッピング行列の標準形は[[レギュラーテンペラメント]]を一意に識別する方法として重要だが、それ以外の形式が不要なわけではない。同じテンパーされた音程を生成するのであっても異なる表現を取りたい人もいるからである。いくつかのそういう形式が存在していて、positive generator form、equave-reduced generator form、minimal-generator formなどである。

~~本項目では、標準形としてdefactoredエルミート標準形を採用していることにする。~~

本項目では、標準形としてdefactoredエルミート標準形を採用していることにする。二つのマッピングが等価である、つまり標準形が一致しゆえに同じテンペラメントを表している場合、対応する[[ジェネレーターとピリオド|ジェネレーター]]基底も等価である。これはジェネレーターのサイズが一致しているという意味ではなく、それぞれのジェネレーターの組が基底となって最終的に同じピッチ集合を生成するということである。

<!--A canonical mapping form is an important standard to have as a community for uniquely identifying temperaments, but it is not the only mapping form one should ever need, because one may wish to use differently-sized generators (to ultimately generate the same tempered intervals). Several such forms with different generator sizes have been presented, such as positive generator form, equave-reduced generator form, and minimal-generator form.

例として、5リミット[[ミーントーン]]の標準形は{{ket| {{val| 1 1 0 }} {{val| 0 1 4 }} }}であり、この形の場合は2つのジェネレーターは大まかに[[オクターブ]]と[[3/2|完全5度]]となる（なぜマッピングを見ただけでそれがわかるのか？→マッピングの1列目を見れば 2/1 を最初のジェネレーター1個で表すことが読み取れ、またまともなチューニングアルゴリズムなら最初のジェネレーターを 2400 セントとかではなくだいたい 1200 セントにチューニングするはずである。2個目は以下略）。しかしオクターブと完全5度の組み合わせでできるピッチ集合はオクターブと完全4度の組み合わせでも問題なく生成できる。具体的には、完全5度1個で到達できるピッチにはオクターブ上がって完全4度下がることによっても到達できるからである。なので5リミットミーントーンをオクターブと完全4度で組み立てるというシチュエーションの下では、マッピングを{{ket| {{val| 1 2 4 }} {{val| 0 -1 -4 }} }}と書けるとよい。

For our purposes here we will be using the defactored Hermite form as the canonical form. If two mappings are equivalent, i.e. they have the same canonical form and therefore represent the same temperament, then their corresponding generators are equivalent too. That doesn't mean their generators are the same sizes; it only means that in combination with each other, their generators reach the same set of pitches.

さらなる例として、ジェネレーターがなるべく素数音程になるようにしたいケースがあり、ミーントーンのマッピングをジェネレーターがオクターブと完全12度（トリターブ）の組み合わせになるように書けるとよい。完全5度1個で到達できるピッチには完全12度上がってオクターブ下がることによっても到達できるのでこれも問題なく行え、マッピングとして{{ket| {{val| 1 0 -4 }} {{val| 0 1 4 }} }}が得られる。

~~For~~ example~~, the canonical form of 5~~-~~limit meantone is [⟨1~~ 1 0~~] ⟨0~~ 1 4]}~~, and form has generators with sizes of approximately an~~ octave ~~and a perfect fifth, respectively. But any pitch system constructed using an octave and a perfect fifth could also have been constructed using an octave and a perfect fourth, because the perfect~~ fourth is the octave complement of the perfect fifth. Specifically, any pitch we reached previously with a perfect fifth could be instead reached by going up an octave and down a perfect fourth. So in situations where we're approaching 5-~~limit meantone as a pitch system constructed by an octave and a perfect fourth, we might prefer to have the mapping in that form, which looks like [⟨1~~ 2 4~~] ⟨0~~ -1 -4]}.-->

{| class="wikitable"

|+example meantone mapping forms

!{{ket|octave-count fifth-count}}

|{{ket|{{val|1 1 0}} {{val|0 1 4}}}}

|-

!{{ket|octave-count fourth-count}}

|{{ket|{{val|1 2 4}} {{val|0 -1 -4}}}}

|-

!{{ket|octave-count tritave-count}}

|{{ket|{{val|1 0 -4}} {{val|0 1 4}}}}

|}

これら3つのマッピングの形式が相互に関係していそうで、実際にそうなのだが、正確にどういうことなのかはぱっと見よくわからない。本項目の目的はこれらを相互に変換する操作を実演し、操作がこれらの関係をどう説明するかを理解することである。

== ジェネレーターを変形させる操作 ==

用いるのは行に関する{{w|行列の基本変形}}のうち行列式の絶対値が変化しないものである。任意の行を1より大きい整数倍するとマッピングを[[飽和、ねじれ、contorsion|enfactor]]することになり、ある行の最大公約数が1より大きくて割ることができる場合マッピングがすでにenfactoredだったことが判明する。

=== 操作その1: あるジェネレーターをほかのあるジェネレーターのサイズ分変化させる ===

等価なマッピングであることが表現できるように等号で書くと、

<math>\begin{align}

\left(\begin{array}{c} \mathrm{octave} \\ \mathrm{fifth} \end{array} \right) &= \left(\begin{array}{ccc}

1 & 1 & 0 \\

0 & 1 & 4

\end{array} \right) \left( \mathrm{poweroftwo} \ \mathrm{powerofthree} \ \mathrm{poweroffive} \right)^T \\

&= \left(\begin{array}{cc}

1 & 1 \\

0 & 1

\end{array} \right) \left(\begin{array}{cc}

1 & -1 \\

0 & 1

\end{array} \right) \left(\begin{array}{ccc}

1 & 1 & 0 \\

0 & 1 & 4

\end{array} \right) \left( \mathrm{poweroftwo} \ \mathrm{powerofthree} \ \mathrm{poweroffive} \right)^T \\

&= \left(\begin{array}{cc}

1 & 1 \\

0 & 1

\end{array} \right) \left(\begin{array}{ccc}

1 & 0 & -4 \\

0 & 1 & 4

\end{array} \right) \left( \mathrm{poweroftwo} \ \mathrm{powerofthree} \ \mathrm{poweroffive} \right)^T \\

\end{align}</math>

右辺の最初の(1 1; 0 1)はチューニングマップと作用することでジェネレーターのサイズを変換する。

<math>\begin{align}

\left( \mathrm{octavesize} \ \mathrm{fifthsize} \right) \left(\begin{array}{cc}

1 & 1 \\

0 & 1

\end{array} \right)

&= \left( \mathrm{octavesize} \ \mathrm{tritavesize} \right)

\end{align}</math>

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 | ja =
 }}
-マッピング行列の標準形はレギュラーテンペラメントを一意に識別する方法として重要だが、それ以外の形式が不要なわけではない。同じテンパーされた音程を生成するのであっても異なる表現を取りたい人もいるからである。いくつかのそういう形式が存在していて、positive generator form、equave-reduced generator form、minimal-generator formなどである。
+マッピング行列の標準形は[[レギュラーテンペラメント]]を一意に識別する方法として重要だが、それ以外の形式が不要なわけではない。同じテンパーされた音程を生成するのであっても異なる表現を取りたい人もいるからである。いくつかのそういう形式が存在していて、positive generator form、equave-reduced generator form、minimal-generator formなどである。
-本項目では、標準形としてdefactoredエルミート標準形を採用していることにする。
+本項目では、標準形としてdefactoredエルミート標準形を採用していることにする。二つのマッピングが等価である、つまり標準形が一致しゆえに同じテンペラメントを表している場合、対応する[[ジェネレーターとピリオド|ジェネレーター]]基底も等価である。これはジェネレーターのサイズが一致しているという意味ではなく、それぞれのジェネレーターの組が基底となって最終的に同じピッチ集合を生成するということである。
-<!--A canonical mapping form is an important standard to have as a community for uniquely identifying temperaments, but it is not the only mapping form one should ever need, because one may wish to use differently-sized generators (to ultimately generate the same tempered intervals). Several such forms with different generator sizes have been presented, such as positive generator form, equave-reduced generator form, and minimal-generator form.
+例として、5リミット[[ミーントーン]]の標準形は{{ket| {{val| 1 1 0 }} {{val| 0 1 4 }} }}であり、この形の場合は2つのジェネレーターは大まかに[[オクターブ]]と[[3/2|完全5度]]となる（なぜマッピングを見ただけでそれがわかるのか？→マッピングの1列目を見れば 2/1 を最初のジェネレーター1個で表すことが読み取れ、またまともなチューニングアルゴリズムなら最初のジェネレーターを 2400 セントとかではなくだいたい 1200 セントにチューニングするはずである。2個目は以下略）。しかしオクターブと完全5度の組み合わせでできるピッチ集合はオクターブと完全4度の組み合わせでも問題なく生成できる。具体的には、完全5度1個で到達できるピッチにはオクターブ上がって完全4度下がることによっても到達できるからである。なので5リミットミーントーンをオクターブと完全4度で組み立てるというシチュエーションの下では、マッピングを{{ket| {{val| 1 2 4 }} {{val| 0 -1 -4 }} }}と書けるとよい。
-For our purposes here we will be using the defactored Hermite form as the canonical form. If two mappings are equivalent, i.e. they have the same canonical form and therefore represent the same temperament, then their corresponding generators are equivalent too. That doesn't mean their generators are the same sizes; it only means that in combination with each other, their generators reach the same set of pitches.
+さらなる例として、ジェネレーターがなるべく素数音程になるようにしたいケースがあり、ミーントーンのマッピングをジェネレーターがオクターブと完全12度（トリターブ）の組み合わせになるように書けるとよい。完全5度1個で到達できるピッチには完全12度上がってオクターブ下がることによっても到達できるのでこれも問題なく行え、マッピングとして{{ket| {{val| 1 0 -4 }} {{val| 0 1 4 }} }}が得られる。
-For example, the canonical form of 5-limit meantone is [⟨1 1 0] ⟨0 1 4]}, and form has generators with sizes of approximately an octave and a perfect fifth, respectively. But any pitch system constructed using an octave and a perfect fifth could also have been constructed using an octave and a perfect fourth, because the perfect fourth is the octave complement of the perfect fifth. Specifically, any pitch we reached previously with a perfect fifth could be instead reached by going up an octave and down a perfect fourth. So in situations where we're approaching 5-limit meantone as a pitch system constructed by an octave and a perfect fourth, we might prefer to have the mapping in that form, which looks like [⟨1 2 4] ⟨0 -1 -4]}.-->
+{| class="wikitable"
+|+example meantone mapping forms
+!{{ket|octave-count fifth-count}}
+|{{ket|{{val|1 1 0}} {{val|0 1 4}}}}
+|-
+!{{ket|octave-count fourth-count}}
+|{{ket|{{val|1 2 4}} {{val|0 -1 -4}}}}
+|-
+!{{ket|octave-count tritave-count}}
+|{{ket|{{val|1 0 -4}} {{val|0 1 4}}}}
+|}
+これら3つのマッピングの形式が相互に関係していそうで、実際にそうなのだが、正確にどういうことなのかはぱっと見よくわからない。本項目の目的はこれらを相互に変換する操作を実演し、操作がこれらの関係をどう説明するかを理解することである。
+== ジェネレーターを変形させる操作 ==
+用いるのは行に関する{{w|行列の基本変形}}のうち行列式の絶対値が変化しないものである。任意の行を1より大きい整数倍するとマッピングを[[飽和、ねじれ、contorsion|enfactor]]することになり、ある行の最大公約数が1より大きくて割ることができる場合マッピングがすでにenfactoredだったことが判明する。
+=== 操作その1: あるジェネレーターをほかのあるジェネレーターのサイズ分変化させる ===
+等価なマッピングであることが表現できるように等号で書くと、
+<math>\begin{align}
+\left(\begin{array}{c} \mathrm{octave} \\ \mathrm{fifth} \end{array} \right) &= \left(\begin{array}{ccc}
+& 1 & 0 \\
+& 1 & 4
+\end{array} \right) \left( \mathrm{poweroftwo} \ \mathrm{powerofthree} \ \mathrm{poweroffive} \right)^T \\
+&= \left(\begin{array}{cc}
+& 1 \\
+& 1
+\end{array} \right) \left(\begin{array}{cc}
+& -1 \\
+& 1
+\end{array} \right) \left(\begin{array}{ccc}
+& 1 & 0 \\
+& 1 & 4
+\end{array} \right) \left( \mathrm{poweroftwo} \ \mathrm{powerofthree} \ \mathrm{poweroffive} \right)^T \\
+&= \left(\begin{array}{cc}
+& 1 \\
+& 1
+\end{array} \right) \left(\begin{array}{ccc}
+& 0 & -4 \\
+& 1 & 4
+\end{array} \right) \left( \mathrm{poweroftwo} \ \mathrm{powerofthree} \ \mathrm{poweroffive} \right)^T \\
+\end{align}</math>
+右辺の最初の(1 1; 0 1)はチューニングマップと作用することでジェネレーターのサイズを変換する。
+<math>\begin{align}
+\left( \mathrm{octavesize} \ \mathrm{fifthsize} \right) \left(\begin{array}{cc}
+& 1 \\
+& 1
+\end{array} \right)
+&= \left( \mathrm{octavesize} \ \mathrm{tritavesize} \right)
+\end{align}</math>