「ジェネレーター読み替え操作」の版間の差分
Dummy index (トーク | 投稿記録) 修正: meantoneのマッピングのどれが標準形なのか |
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本項目では、標準形としてdefactoredエルミート標準形を採用していることにする。二つのマッピングが等価である、つまり標準形が一致しゆえに同じテンペラメントを表している場合、対応する[[ジェネレーターとピリオド|ジェネレーター]]基底も等価である。これはジェネレーターのサイズが一致しているという意味ではなく、それぞれのジェネレーターの組が基底となって最終的に同じピッチ集合を生成するということである。 | 本項目では、標準形としてdefactoredエルミート標準形を採用していることにする。二つのマッピングが等価である、つまり標準形が一致しゆえに同じテンペラメントを表している場合、対応する[[ジェネレーターとピリオド|ジェネレーター]]基底も等価である。これはジェネレーターのサイズが一致しているという意味ではなく、それぞれのジェネレーターの組が基底となって最終的に同じピッチ集合を生成するということである。 | ||
例として、5リミット[[ミーントーン]]のよく挙げられる形は {{ket| {{val| 1 1 0 }} {{val| 0 1 4 }} }} であり、この形の場合は2つのジェネレーターは大まかに[[オクターブ]]と[[3/2|完全5度]]となる（なぜマッピングを見ただけでそれがわかるのか？→マッピングの1列目を見れば 2/1 | 例として、5リミット[[ミーントーン]]のよく挙げられる形は {{ket| {{val| 1 1 0 }} {{val| 0 1 4 }} }} であり、この形の場合は2つのジェネレーターは大まかに[[オクターブ]]と[[3/2|完全5度]]となる（なぜマッピングを見ただけでそれがわかるのか？→マッピングの1列目を見れば 2/1 を最初のジェネレーター1個で表すことが読み取れ、またまともなチューニングアルゴリズムならこのジェネレーターを 2400 セントとかではなくだいたい 1200 セントにチューニングするはずである。2個目は以下略）。しかしオクターブと完全5度の組み合わせでできるピッチ集合はオクターブと完全4度の組み合わせでも問題なく生成できる。具体的には、完全5度1個で到達できるピッチにはオクターブ上がって完全4度下がることによっても到達できるからである。なので5リミットミーントーンをオクターブと完全4度で組み立てるというシチュエーションの下では、マッピングを {{ket| {{val| 1 2 4 }} {{val| 0 -1 -4 }} }} と書けるとよい。 | ||
そして、エルミート標準形はジェネレーターがなるべく（単音程化しない）素数音程になるようにするものであり、ミーントーンのマッピングをジェネレーターがオクターブと完全12度（トリターブ、3/1）の組み合わせになるように書けるとよい。完全5度1個で到達できるピッチには完全12度上がってオクターブ下がることによっても到達できるのでこれも問題なく行え、マッピングとして {{ket| {{val| 1 0 -4 }} {{val| 0 1 4 }} }} が得られる。 | そして、エルミート標準形はジェネレーターがなるべく（単音程化しない）素数音程になるようにするものであり、ミーントーンのマッピングをジェネレーターがオクターブと完全12度（トリターブ、3/1）の組み合わせになるように書けるとよい。完全5度1個で到達できるピッチには完全12度上がってオクターブ下がることによっても到達できるのでこれも問題なく行え、マッピングとして {{ket| {{val| 1 0 -4 }} {{val| 0 1 4 }} }} が得られる。 | ||
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マッピング <math>M</math> の各行を <math>𝒎_1, 𝒎_2 ... 𝒎_r</math>、それぞれに対応するジェネレーターを <math>g_1, g_2 ... g_r</math> と書くことにして、<math>g_a</math> を <math>g_b</math> 分だけ増加させたい場合、<math>𝒎_b</math> を <math>𝒎_b' = 𝒎_b - 𝒎_a</math> で置き換える。 | マッピング <math>M</math> の各行を <math>𝒎_1, 𝒎_2 ... 𝒎_r</math>、それぞれに対応するジェネレーターを <math>g_1, g_2 ... g_r</math> と書くことにして、<math>g_a</math> を <math>g_b</math> 分だけ増加させたい場合、<math>𝒎_b</math> を <math>𝒎_b' = 𝒎_b - 𝒎_a</math> で置き換える。 | ||
先ほどの最後の例、「オクターブと完全12度の組み合わせによるミーントーン」で考えてみよう。スタート地点を {{ket|{{val|1 1 0}} {{val|0 1 4}}}} とすると、ジェネレーターは順番にオクターブと完全5度となる。2番目のジェネレーターを1番目のジェネレーターの分だけ延ばすと完全12度となる。記号で書くと <math>g_2</math> を <math>g_2 + g_1</math> に変更したい。上記操作に従えば、<math>𝒎_1</math> を <math>𝒎_1' = 𝒎_1 - 𝒎_2</math> で置き換える。<math>𝒎_1'</math> は次のようになる: | |||
<math> | <math> | ||
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このようにジェネレーターのサイズの影響は手順ごとに局限されるので、順序だててジェネレーターのサイズを変更してゆくことができ、豊富に様々な表現方法が得られるのである。（右図） | このようにジェネレーターのサイズの影響は手順ごとに局限されるので、順序だててジェネレーターのサイズを変更してゆくことができ、豊富に様々な表現方法が得られるのである。（右図） | ||
== チューニング == | |||
positive generator form、equave-reduced generator form、minimal-generator formなどはジェネレーターのサイズに関する規定があるため、チューニングを定めてから変換を行う必要がある。この時に単純に目についた原像 <math>g_1 = \mathrm{cent}(2/1), g_2 = \mathrm{cent}(3/2)</math> を採用するのは信頼できる方法とは言えない（<math>g_1</math> は 2/1 を表すと同時に 81/40 や 160/81 等々を表してもいる）。採用されるチューニングはツールによっても違っているが、本項目中の例では minimax-ES チューニングを採用する。 | |||
== mingen form を求める例 == | |||
（翻訳中） | |||