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「マッピング」の版間の差分

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=== 記法 ===
=== 記法 ===
RTTにおいてこのようなマッピングのための特別な記法がある。上記の3リミット12平均律は {{val| 12 19 }} と書かれる。最初の素数（2）は 12 ステップにマップされ、次の素数（3）は 19 ステップにマップされるという意味である。数学的に言うならこれは "マッピング行列" で、マッピングの情報をとてもコンパクトに表している。これはランク1テンペラメントなのでマッピング行列は 1 行であり、またこれは3リミットテンペラメントなのでマッピング行列は 2 列でそれぞれ素数 2 と素数 3 を表している。ブラ記法で書かれた1行だけのマッピング行列（あるいはマッピング行列の中の行）を[[ヴァル]]と呼ぶ。
RTTにおいてこのようなマッピングのための特別な記法がある。上記の3リミット12平均律は {{val| 12 19 }} と書かれる。最初の素数（2）は 12 ステップにマップされ、次の素数（3）は 19 ステップにマップされるという意味である。数学的に言うならこれは "マッピング行列" で、マッピングの情報をとてもコンパクトに表している。これはランク1テンペラメントなのでマッピング行列は 1 行であり、またこれは3リミットテンペラメントなのでマッピング行列は 2 列でそれぞれ素数 2 と素数 3 を表している。ブラ記法で書かれた1行だけのマッピング行列（あるいはマッピング行列の中の行）を[[ヴァル]]と呼ぶ。また複数個のヴァルを並べることで表現したマッピング行列を'''ヴァルのリスト'''という。


=== 様々な12平均律 ===
=== 様々な12平均律 ===
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孤立した1個のヴァルは純正律をランク1のテンペラメントにマップする。ランク2以上のテンペラメントを扱うには、2個以上のヴァルが必要である。つまりきちんとテンペラメントにマップするにはテンペラメントのランク数と同じ数のヴァルが必要である。
孤立した1個のヴァルは純正律をランク1のテンペラメントにマップする。ランク2以上のテンペラメントを扱うには、2個以上のヴァルが必要である。つまりきちんとテンペラメントにマップするにはテンペラメントのランク数と同じ数のヴァルが必要である。


== Example ==
== 例 ==
At first, we'll consider a 5-limit rank 2 example. A list of vals for such a temperament will take the following form:
5リミットでランク2の例を考える。そのようなテンペラメントのヴァルのリストは以下の形になる:


{{val| a b c }} – period
{{val| a b c }} – ピリオド


{{val| d e f }} – generator
{{val| d e f }} – ジェネレーター


The top val is taken by convention to represent the generator chain which is the period, and the bottom one is taken to represent the one which is not.
一番上のヴァルは慣習によりピリオドのジェネレーターチェーンを表し、下のヴァルはそうでないものを表す。


When mapping a prime in JI onto a rank 2 temperament, one must think about how many steps of each type of generator it takes to reach the final tempered prime interval. For an example, we'll look at meantone temperament, and we'll start by mapping 2/1. We'll assume that the period is 2/1, and the generator is 3/2. 2/1 maps to one period and zero generators, and hence we arrive at
純正律の素数をマッピングするとき、それぞれのジェネレーターをいくつずつ用意すればその素数音程に到達するのかを考える必要がある。例として、ミーントーンテンペラメントを考察する。普通に考えてピリオドを 2/1 とし、ジェネレーターを 3/2 とする。純正律の 2/1 をピリオド 1 個とジェネレーター 0 個の組み合わせにマップする。これをヴァルのリストに書き込むと


{{val| 1 _ _ }}
{{val| 1 _ _ }}
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{{val| 0 _ _ }}
{{val| 0 _ _ }}


3/1 is slightly more complicated – it requires one step along the 2/1 period chain, plus one step along the 3/2 generator chain, to get to 3/1. This is represented by the following mapping:
3/1 は少し複雑だ――ピリオドのチェーンで 1 ステップに、ジェネレーターのチェーンで 1 ステップを加えると 3/1 に到達する。


{{val| 1 1 _ }}
{{val| 1 1 _ }}
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{{val| 0 1 _ }}
{{val| 0 1 _ }}


5/1 is simpler—we know that four meantone 3/2 generators gets us to 5/1. Since it lands us directly on 5/1, rather than something like 5/2 or 10/1, we don't need to shift by any octaves, and 4 generators and 0 periods is all we need:
5/1 は簡単だ――我々はミーントーンの5度を 4 個積み重ねると 5/1 になることを知っている。それは 5/2 や 10/1 などではないので、オクターブを足したり引いたりする必要はない。つまりピリオド 0 個とジェネレーター 4 個である。


{{val| 1 1 0 }}
{{val| 1 1 0 }}
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{{val| 0 1 4 }}
{{val| 0 1 4 }}


This is, in fact, the mapping matrix for meantone temperament, which is what we wanted.
これが、ミーントーンテンペラメントのマッピング行列である。
 
== 基底変換 ==
上記の例では、ミーントーンのマッピングを 2/1 と 3/2 の組み合わせとして書き出した。代わりにジェネレーターを 2/1 と 4/3 としたらどうなるか？ それとも、2/1 と 3/1 としたらどうなるか？ その結果はそれぞれ異なるヴァルのリストになるが、それでも同じテンペラメントを表すことになる。
 
数学の言葉では、テンペラメントの'''基底を変換'''しただけであり、テンパーされた音程の空間として互いに'''同型'''である。これはこれらが同じテンペラメントであることを示す凝った方法である。
 
（中略）
 
マッピング行列の様々な書き方の中で、正規形に関する議論は[[normal lists #Normal val list|normal val list]]を参照のこと。正規形は本ウィキのテンペラメントの一覧に使われる。
 
こういった作業については、[[ジェネレーター読み替え操作]]を参照のこと。
 
== Units ==
It may be helpful to think of the units of each entry of a mapping as <math>\small 𝗴/𝗽</math>, read "generators per prime." Each mapping row corresponds to a different generator, and each mapping column corresponds to a different prime, and so the value of the mapping entry at the intersection of a given row and column tells how many of the corresponding generator are part of the temperament's approximation of the corresponding prime. For more information, see [[Dave Keenan & Douglas Blumeyer's guide to RTT/Units analysis]].
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