「マッピング」の版間の差分

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<math>\left\{440\cdot 2^a\cdot 3^b\,\middle|\,a,b\in\mathbb Z\right\}</math>

~~次に関数の出力側である12edoの音高を表すのに整数を導入する。A440 がノート番号~~ 0、そこから上がった B♭ がノート番号 1、下がった A♭ がノート番号 −1、… とするとマッピングは素因数 2 の1個当たり 12 ステップ、素因数 3 の1個当たり 19 ステップ（3/1 は 1901.955… セントだがこれを 1900 セントに丸める）であると表される。数式で書くと<math>12a + 19b</math>となる。よって、A440から 1/1 上がった音（つまりA440）はノート番号 0、A440から（以後省略）2/1 上がった音（以後省略）はノート番号 12、3/2 はノート番号 7、そして312/219（ピタゴラスコンマ）はノート番号 0 （A440から動かない）となる。

次に関数の出力側である12edoの音高を表すのに整数を導入する。A440がノート番号 0、そこから上がった B♭ がノート番号 1、下がった A♭ がノート番号 −1、… とするとマッピングは素因数 2 の1個当たり 12 ステップ、素因数 3 の1個当たり 19 ステップ（3/1 は 1901.955… セントだがこれを 1900 セントに丸める）であると表される。数式で書くと<math>12a + 19b</math>となる。よって、A440から 1/1 上がった音（つまりA440）はノート番号 0、A440から（以後省略）2/1 上がった音（以後省略）はノート番号 12、3/2 はノート番号 7、そして312/219（ピタゴラスコンマ）はノート番号 0 （A440から動かない）となる。''a'' と ''b'' はこのように素因数分解から、または[[モンゾ]]から読み取れる。

=== 四捨五入との比較 ===

27行目:

=== 記法 ===

RTTにおいてこのようなマッピングのための特別な記法がある。上記の3リミット12平均律は {{val| 12 19 }} と書かれる。最初の素数（2）は 12 ステップにマップされ、次の素数（3）は 19 ステップにマップされるという意味である。数学的に言うならこれは ~~"マッピング行列" で、マッピングの情報をとてもコンパクトに表している。これはランク1テンペラメントなのでマッピング行列は~~ 1 行であり、またこれは3リミットテンペラメントなのでマッピング行列は 2 列でそれぞれ素数 2 と素数 3 を表している。ブラ記法で書かれた1行だけのマッピング行列（あるいはマッピング行列の中の行）を[[ヴァル]]と呼ぶ。また複数個のヴァルを並べることで表現したマッピング行列を'''ヴァルのリスト'''という。

RTTにおいてこのようなマッピングのための特別な記法がある。上記の3リミット12平均律は {{val| 12 19 }} と書かれる。最初の素数（2）は 12 ステップにマップされ、次の素数（3）は 19 ステップにマップされるという意味である。数学的に言うならこれは「マッピング行列」で、マッピングの情報をとてもコンパクトに表している。これはランク1テンペラメントなのでマッピング行列は 1 行であり、またこれは3リミットテンペラメントなのでマッピング行列は 2 列でそれぞれ素数 2 と素数 3 を表している。ブラ記法で書かれた1行だけのマッピング行列（あるいはマッピング行列の中の行）を[[ヴァル]]と呼ぶ。また複数個のヴァルを並べることで表現したマッピング行列を'''ヴァルのリスト'''という。

=== 様々な12平均律 ===

84行目:

これが、ミーントーンテンペラメントのマッピング行列である。

純正音程からピリオドとジェネレーターそれぞれいくつになるかは、順番に各ヴァルと純正音程のモンゾの内積を求めればよい。または標準的な行列積で書いても内容は同一である。例えば 15/8 は {{monzo|-3 1 1}} と書けるので

<math>\begin{align}

&\left(\begin{array}{ccc}

1 & 1 & 0 \\

0 & 1 & 4

\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \\

=& \left(\begin{array}{cc}

1 * (-3) + 1 * 1 + 0 * 1 \\

0 * (-3) + 1 * 1 + 4 * 1

\end{array} \right) \\

=& \left(\begin{array}{cc}

-2 \\

5

\end{array} \right) \\

\end{align}</math>

となり、ジェネレーター 5 個で 2 オクターブ上の長3度に完全5度が乗って長7度、そこからピリオドがマイナス 2 個されるので単音程の長7度となる。

== 基底変換 ==

92行目:

111行目:

（中略）

マッピング行列の様々な書き方の中で、正規形に関する議論は[[normal ~~lists #Normal~~ val list|normal val list]]を参照のこと。正規形は本ウィキのテンペラメントの一覧に使われる。

マッピング行列の様々な書き方の中で、正規形に関する議論は{{en仮リンク|normal val list|normal lists #Normal val list}}を参照のこと。正規形は本ウィキのテンペラメントの一覧に使われる。

こういった作業については、[[ジェネレーター読み替え操作]]を参照のこと。

== ~~Units~~ ==

== 単位 ==

~~It may be helpful to think of the units of each entry of a mapping as~~ <math>\small 𝗴/𝗽</math>~~, read "generators~~ per prime." Each mapping row corresponds to a different generator, and each mapping column corresponds to a different prime, and so the value of the mapping entry at the intersection of a given row and column tells how many of the corresponding generator are part of the temperament's approximation of the corresponding prime. For more information, see [[Dave Keenan & Douglas Blumeyer's guide to RTT/Units analysis]].

マッピングの中の個々の要素の単位を <math>\small 𝗴/𝗽</math>（generators per prime）と考えるとよいかもしれない。マッピングの各行はそれぞれのジェネレーターに対応し、各列は純正律のそれぞれ異なる素数に対応する。なので行と列が交差する要素はその素数1個を近似するときにその材料の一部として対応するジェネレーターをいくつ用意するのかを表している。（線形写像というのはざっくり言えば係数のかたまりを掛けることであり、係数のかたまり＝行列、掛けること＝行列積として整理したのが線形代数である。なので関数の入力の単位がリットルで出力の単位がkmである場合、関数の本体である係数の単位は入力の単位を分母にしてkm/リットルとなるのである。primeが分母にあるのは単にそういう意味である。） For more information, see {{en仮リンク|Dave Keenan & Douglas Blumeyer's guide to RTT/Units analysis}}.

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 <math>\left\{440\cdot 2^a\cdot 3^b\,\middle|\,a,b\in\mathbb Z\right\}</math>
-次に関数の出力側である12edoの音高を表すのに整数を導入する。A440 がノート番号 0、そこから上がった B&#x266D; がノート番号 1、下がった A&#x266D; がノート番号 &minus;1、… とするとマッピングは素因数 2 の1個当たり 12 ステップ、素因数 3 の1個当たり 19 ステップ（3/1 は 1901.955… セントだがこれを 1900 セントに丸める）であると表される。数式で書くと<math>12a + 19b</math>となる。よって、A440から 1/1 上がった音（つまりA440）はノート番号 0、A440から（以後省略）2/1 上がった音（以後省略）はノート番号 12、3/2 はノート番号 7、そして3<sup>12</sup>/2<sup>19</sup>（ピタゴラスコンマ）はノート番号 0 （A440から動かない）となる。
+次に関数の出力側である12edoの音高を表すのに整数を導入する。A440がノート番号 0、そこから上がった B&#x266D; がノート番号 1、下がった A&#x266D; がノート番号 &minus;1、… とするとマッピングは素因数 2 の1個当たり 12 ステップ、素因数 3 の1個当たり 19 ステップ（3/1 は 1901.955… セントだがこれを 1900 セントに丸める）であると表される。数式で書くと<math>12a + 19b</math>となる。よって、A440から 1/1 上がった音（つまりA440）はノート番号 0、A440から（以後省略）2/1 上がった音（以後省略）はノート番号 12、3/2 はノート番号 7、そして3<sup>12</sup>/2<sup>19</sup>（ピタゴラスコンマ）はノート番号 0 （A440から動かない）となる。''a'' と ''b'' はこのように素因数分解から、または[[モンゾ]]から読み取れる。
 === 四捨五入との比較 ===
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 === 記法 ===
-RTTにおいてこのようなマッピングのための特別な記法がある。上記の3リミット12平均律は {{val| 12 19 }} と書かれる。最初の素数（2）は 12 ステップにマップされ、次の素数（3）は 19 ステップにマップされるという意味である。数学的に言うならこれは "マッピング行列" で、マッピングの情報をとてもコンパクトに表している。これはランク1テンペラメントなのでマッピング行列は 1 行であり、またこれは3リミットテンペラメントなのでマッピング行列は 2 列でそれぞれ素数 2 と素数 3 を表している。ブラ記法で書かれた1行だけのマッピング行列（あるいはマッピング行列の中の行）を[[ヴァル]]と呼ぶ。また複数個のヴァルを並べることで表現したマッピング行列を'''ヴァルのリスト'''という。
+RTTにおいてこのようなマッピングのための特別な記法がある。上記の3リミット12平均律は {{val| 12 19 }} と書かれる。最初の素数（2）は 12 ステップにマップされ、次の素数（3）は 19 ステップにマップされるという意味である。数学的に言うならこれは 「マッピング行列」で、マッピングの情報をとてもコンパクトに表している。これはランク1テンペラメントなのでマッピング行列は 1 行であり、またこれは3リミットテンペラメントなのでマッピング行列は 2 列でそれぞれ素数 2 と素数 3 を表している。ブラ記法で書かれた1行だけのマッピング行列（あるいはマッピング行列の中の行）を[[ヴァル]]と呼ぶ。また複数個のヴァルを並べることで表現したマッピング行列を'''ヴァルのリスト'''という。
 === 様々な12平均律 ===
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 これが、ミーントーンテンペラメントのマッピング行列である。
+純正音程からピリオドとジェネレーターそれぞれいくつになるかは、順番に各ヴァルと純正音程のモンゾの内積を求めればよい。または標準的な行列積で書いても内容は同一である。例えば 15/8 は {{monzo|-3 1 1}} と書けるので
+<math>\begin{align}
+&\left(\begin{array}{ccc}
+& 1 & 0 \\
+& 1 & 4
+\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \\
+=& \left(\begin{array}{cc}
+* (-3) + 1 * 1 + 0 * 1 \\
+* (-3) + 1 * 1 + 4 * 1
+\end{array} \right) \\
+=& \left(\begin{array}{cc}
+-2 \\
+\end{array} \right) \\
+\end{align}</math>
+となり、ジェネレーター 5 個で 2 オクターブ上の長3度に完全5度が乗って長7度、そこからピリオドがマイナス 2 個されるので単音程の長7度となる。
 == 基底変換 ==
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 （中略）
-マッピング行列の様々な書き方の中で、正規形に関する議論は[[normal lists #Normal val list|normal val list]]を参照のこと。正規形は本ウィキのテンペラメントの一覧に使われる。
+マッピング行列の様々な書き方の中で、正規形に関する議論は{{en仮リンク|normal val list|normal lists #Normal val list}}を参照のこと。正規形は本ウィキのテンペラメントの一覧に使われる。
 こういった作業については、[[ジェネレーター読み替え操作]]を参照のこと。
-== Units ==
+== 単位 ==
-It may be helpful to think of the units of each entry of a mapping as <math>\small 𝗴/𝗽</math>, read "generators per prime." Each mapping row corresponds to a different generator, and each mapping column corresponds to a different prime, and so the value of the mapping entry at the intersection of a given row and column tells how many of the corresponding generator are part of the temperament's approximation of the corresponding prime. For more information, see [[Dave Keenan & Douglas Blumeyer's guide to RTT/Units analysis]].
+マッピングの中の個々の要素の単位を <math>\small 𝗴/𝗽</math>（generators per prime）と考えるとよいかもしれない。マッピングの各行はそれぞれのジェネレーターに対応し、各列は純正律のそれぞれ異なる素数に対応する。なので行と列が交差する要素はその素数1個を近似するときにその材料の一部として対応するジェネレーターをいくつ用意するのかを表している。（線形写像というのはざっくり言えば係数のかたまりを掛けることであり、係数のかたまり＝行列、掛けること＝行列積として整理したのが線形代数である。なので関数の入力の単位がリットルで出力の単位がkmである場合、関数の本体である係数の単位は入力の単位を分母にしてkm/リットルとなるのである。primeが分母にあるのは単にそういう意味である。） For more information, see {{en仮リンク|Dave Keenan & Douglas Blumeyer's guide to RTT/Units analysis}}.