「テンパーアウト」の版間の差分
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音を[[周波数比率|周波数比]]で表すとして、それを消すということは、それを 1/1 と同じものにするということである。1/1 を掛けても何も変わらない。音を[[セント]]で表すなら、それを 0 セントにするということである。0 セントを足しても何も変わらない。 | 音を[[周波数比率|周波数比]]で表すとして、それを消すということは、それを 1/1 と同じものにするということである。1/1 を掛けても何も変わらない。音を[[セント]]で表すなら、それを 0 セントにするということである。0 セントを足しても何も変わらない。 | ||
どちらの場合でも、それをするには我々のチューニングになにがしかの誤差を導入するということを意味する。例えば 3 を使いたい場合に代わりにわずかに大きいまたは小さい 3 を使う。どの素数にも誤差を導入することができ、コンマをひとつだけテンパーアウトするのなら任意の素数を選んで誤差なしにできる(不正確: | どちらの場合でも、それをするには我々のチューニングになにがしかの誤差を導入するということを意味する。例えば 3 を使いたい場合に代わりにわずかに大きいまたは小さい 3 を使う。どの素数にも誤差を導入することができ、コンマをひとつだけテンパーアウトするのなら任意の素数を選んで誤差なしにできる(不正確: ひとつだけとは限らないし反例)。実際、多くの人は純粋なオクターブを得るために 2 を誤差なしにする。オクターブをテンパーする方向のチューニングもある。{{en仮リンク|TOP tuning}}など。 | ||
== Tempering together == | == Tempering together == | ||
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例えば、[[81/80]] をテンパーアウトする[[ミーントーン]]において、[[54:64:81]] (with steps 32/27, 81/64) と [[10:12:15]] (with steps 6/5, 5/4) がtempered togetherされる。なぜなら <math>\textstyle\frac{32}{27}\cdot\frac{81}{80} = \frac{6}{5}</math> かつ <math>\textstyle\frac{81}{64} = \frac{5}{4}\cdot\frac{81}{80}</math>だから、つまり 81/80 を 1/1 にするということは 32/27 と 6/5 を同じに、81/64 と 5/4 を同じにすることも意味するからである。 | 例えば、[[81/80]] をテンパーアウトする[[ミーントーン]]において、[[54:64:81]] (with steps 32/27, 81/64) と [[10:12:15]] (with steps 6/5, 5/4) がtempered togetherされる。なぜなら <math>\textstyle\frac{32}{27}\cdot\frac{81}{80} = \frac{6}{5}</math> かつ <math>\textstyle\frac{81}{64} = \frac{5}{4}\cdot\frac{81}{80}</math>だから、つまり 81/80 を 1/1 にするということは 32/27 と 6/5 を同じに、81/64 と 5/4 を同じにすることも意味するからである。 | ||
== | == 例 == | ||
シントニックコンマ(81/80)は <math>\textstyle\frac{3^4}{2^4 \times 5}</math> または、[[モンゾ]]で書くと {{monzo| -4 4 -1}} となる。 | |||
19平均律(パテントヴァル)は 81/80 をテンパーアウトする。これを何通りかの方法で見てみよう: | |||
=== 1. | === 1. ヴァルのステップを数える === | ||
81/80 には 5 より大きい素因数は含まれていないので、これは5リミットのコンマのひとつである。19edoの5リミットの[[パテントヴァル]]は {{val| 19 30 44 }} である。これは19edoの 19 ステップで 2/1 を得、30 ステップが 3/1 に一番近いのでそれを採用し、44 ステップが 5/1 に一番近いのでそれを採用する、という意味である。 | |||
注意、19平均律に「ストレッチ」等の但し書きがないのでedoだとみなす。そのため、19 ステップは正確に 2/1 となるが、19edoの 30 ステップは 3/1 を近似しているだけである。5/1 も同様。これが素数に誤差が導入される場面である。心配いりません、これはとても便利な誤差です。 | |||
81 は 3×3×3×3 であるが、19edoの 30 + 30 + 30 + 30 = 120 ステップでもある。 | |||
80 は 5×2×2×2×2 であるが、19edoの 44 + 19 + 19 + 19 + 19 = 120 ステップでもある。 | |||
81/80 は 81 倍のためのステップ数分だけ上がって、80 倍のためのステップ数分だけ下がることになる。120 ステップ - 120 ステップ = 0 ステップ。 | |||
モンゾに[[ヴァル]]を適用する<!--[[ヴァルと調律空間]]によれば(双対だとしてもどちらかというと)ヴァルのほうがhomomorphism扱いされているはず、原文のapplyは「申し込む」系の意味と考えればわからなくはない、「適用」と訳すには順番を変えたほうがよさそう-->のはもっと簡単である。モンゾの最初の数値(コンマに含まれている 2/1 の個数(符号付き重複度))掛けるヴァルの最初の数値(2/1 を構成するのに必要なステップ数)、足す、モンゾの2番目の数値掛けるヴァルの2番目の数値、足す、3番目掛ける3番目、である: (−4 × 19) + (4 × 30) + (−1 × 44) = 0 ステップ。 | |||
なので、19平均律において 81/80 を任意の音程に加える(掛ける)ことは19edoの0ステップを加えることで、つまり 81/80 は''テンパーアウト''されている。 | |||
=== 2. Painstakingly doing the math === | === 2. Painstakingly doing the math === | ||