「パテントヴァル」の版間の差分

5行目:

| ja = 特徴的なヴァル

}}

ある[[オクターブ平均律]]における'''パテントヴァル'''（patent val、特徴的なヴァル）または'''最近傍マッピング'''（nearest ~~edomapping）とは、その平均律チューニング（純正律との対応を定めていないただの等間隔ピッチ集合。以下~~ ''n''-等分律と書く）において各素数音程を[[直接近似|最近接丸め]]して得られる[[ヴァル]]のことである。この際[[オクターブ]]は純正（誤差なし）とする。これの基本的な使い方は素数音程をステップ数に丸めて、それをもとに任意の純正音程のステップ数を求めることである。

ある[[オクターブ平均律]]における'''パテントヴァル'''（patent val、特徴的なヴァル）または'''最近傍マッピング'''（nearest edomapping）とは、その平均律チューニング（純正律との対応を定めていないただの等間隔ピッチ集合。以下仮に ''n''-等分律と書く）において各素数音程を[[直接近似|最近接丸め]]して得られる[[ヴァル]]のことである。この際[[オクターブ]]は純正（誤差なし）とする。これの基本的な使い方は素数音程をステップ数に丸めて、それをもとに任意の純正音程のステップ数を求めることである。

The '''patent val''' (a.k.a. '''nearest edomapping''') for an [[edo]] is a list of numbers you obtain by finding the closest rounded approximation to each [[prime harmonic]] in the tuning, assuming [[2/1|octaves]] are pure (or in other words, assuming the edo number is an integer). The basic application of a patent val is that you round prime harmonics to edosteps, and then deduce the number of steps of an arbitrary just interval based on its [[prime factorization]].

22行目:

[[File:Generalized Patent Vals.png|thumb|a visualization of all possible GPVs through the 13-limit up to 99et (any vertical slice is a GPV)]]

パテントヴァルに加えて検討する価値のあるマッピングが存在する。5リミットの17平均律を考えよう。{{val| 17 27 40 }} がパテントヴァルであり、これは各素数をそれぞれ最近接丸め（再確認、パテントヴァルは純オクターブつまり整数edoを想定する）したものである。しかしこの規制を解除するなら、5/1 の「次に良い近似」を利用できるようになって、我々が気に掛ける協和音全体の被害を軽減できる。言い換えると、39 ステップは 40 ステップよりわずかに素数 5 に近いのだが、これは素朴すぎる選択であって、他の素数との組み合わせで誤差が打ち消されたり強め合ったりする効果を考慮に入れていない。この問題を深く考察すると {{val|17 27 40}} という選択肢が浮かび上がってくる。また {{val| 17 27 39 }} より {{val| 17 27 40 }} を選ぶほかの理由もある; それは異なるコンマをテンパーアウトする。

パテントヴァルに加えて検討する価値のあるマッピングが存在する。5リミットの17平均律を考えよう。{{val| 17 27 39 }} がパテントヴァルであり、これは各素数をそれぞれ最近接丸め（再確認、パテントヴァルは純オクターブつまり整数edoを想定する）したものである。しかしこの規制を解除するなら、5/1 の「次に良い近似」を利用できるようになって、我々が気に掛ける協和音全体の被害を軽減できる。言い換えると、39 ステップは 40 ステップよりわずかに素数 5 に近いのだが、これは素朴すぎる選択であって、他の素数との組み合わせで誤差が打ち消されたり強め合ったりする効果を考慮に入れていない。この問題を深く考察すると {{val|17 27 40}} という選択肢が浮かび上がってくる。また {{val| 17 27 39 }} より {{val| 17 27 40 }} を選ぶほかの理由もある; それは異なるコンマをテンパーアウトする。

There are other vals worth considering besides the patent val. Consider the case of 5-limit 17et. {{val| 17 27 39}} is the patent val, meaning each prime individually is as closely approximated as possible (again, assuming pure octaves). However, if that constraint is lifted, and we're allowed to choose the next-closest approximations for prime 5, the overall damage to the consonances we care about can be reduced; in other words, even though 39 steps can take you just a tiny bit closer to prime 5 than 40 steps can, this is a naïve choice which does not take into account whether the errors tend to cancel or reinforce in simple ratios that combine different primes. Considering the problem more deeply in this manner may lead to choosing {{val|17 27 40}} instead. And there are other harmonic reasons to choose {{val| 17 27 40 }} over {{val| 17 27 39 }} as well; it tempers different commas.

{{val| 17 27 40 }} は17.1edoのパテントヴァルつまり一般化パテントヴァルであり、17.1 × log2(5) = 39.705 は 40 に切り上げられる。本質的にそこにはあるジェネレーターの存在があり、そのサイズは　21/17.1 である。これには 17、27、40 ステップがそれぞれ素数 2、3、5 の最良近似になるという事実が伴う。これはつまり、我々は素数を真実に一番近いものにしないように「強制」しているわけではないということである。そうでない（している）例が {{val| 17 27 41 }} である。2 を 17 ステップに、かつ 5 を 41 ステップにマップするジェネレーターサイズを見つけることはできるが、それは必ず 3 を 28 ステップにマップするものになる。（今のは雑な例だが、ミーントーンであって1/2コンマミーントーンに近い {{val| 59 93 136 163 }} (59bcddddd) ~~なども一般化パテントヴァルでは表せない。）（可能な組み合わせは右図から容易に読み取れる。）~~

{{val| 17 27 40 }} は17.1edoのパテントヴァルつまり一般化パテントヴァルであり、17.1 × log2(5) = 39.705 は 40 に切り上げられる。本質的にそこにはあるジェネレーターの存在があり、そのサイズは　21/17.1 である。これには 17、27、40 ステップがそれぞれ素数 2、3、5 の最良近似になるという事実が伴う。これはつまり、我々は素数を真実に一番近いものにしないように「強制」しているわけではないということである。そうでない（している）例が {{val| 17 27 41 }} である。2 を 17 ステップに、かつ 5 を 41 ステップにマップするジェネレーターサイズを見つけることはできるが、それは必ず 3 を 28 ステップにマップするものになる。（今のは雑な例だが、ミーントーンであって1/2コンマミーントーンに近い {{val| 59 93 136 163 }} (59bcddddd) なども一般化パテントヴァルでは表せない。まあ59edoならflattertoneである59bcdと解釈するほうが自然ではありこちらはGPVである。）（可能な組み合わせは右図から容易に読み取れる。）

We can show that {{val| 17 27 40 }} is a generalized patent val because it would be the patent val for 17.1et: 17.1 × log25 = 39.705, which rounds up to 40. Essentially this is showing that there does exist some generator size, 21/17.1, for which it is truly the case that 17, 27, and 40 are the respective best approximations of primes 2, 3, and 5. That is, we are not "forcing" an interpretation of a prime which is not closest to the truth. A counterexample would be {{val| 17 27 41 }}: it is possible to find a generator that maps 2 to 17 steps and 5 to 41 steps, but it would require 3 to be 28 steps (this type of information can be read easily off the nearby visualization).

49行目:

For any prime ''p'' we can find a corresponding ''p''-limit val in a canonical manner by [[Wikipedia: Scalar multiplication|scalar multiplying]] {{val| 1 log23 log25 … log2''p'' }} by ''N'' and rounding to the nearest integer. In general this is not guaranteed to be the most accurate available val, but if ''N''-edo has enough relative accuracy in the ''p''-limit, it will be. The name ''patent'' comes from the fact that "patent" in one sense of the word is a synonym for "obvious"; the patent val may or may not be the best choice but it's the obvious choice.

この工程の考え方の一つが次の問いを立てることである、「各素数を得るのにいくつの 1200 セントなステップ（つまりオクターブ）が必要だろうか？」 2/1 を得るのに 1 個の完全なオクターブが必要で、3/1 を得るのに log23 個分が必要で、5/1 を得るのに log25 個分が必要で、以下同様。これにより {{val| 1 1.585 2.322 2.807 3.459 … log2''p'' }} を得る。

この工程の考え方の一つが次の問いを立てることである、「各素数を得るのにいくつの 1200 セントなステップ（つまりオクターブ）が必要だろうか？」すると 2/1 を得るのに 1 個の完全なオクターブが必要で、3/1 を得るのに log23 個分が必要で、5/1 を得るのに log25 個分が必要で、以下同様。これにより {{val| 1 1.585 2.322 2.807 3.459 … log2''p'' }} を得る。

One way to think of this process is to first ask, "How many 1200-cent steps (octaves) does it take to get to each prime?" It takes one full-octave step to get to 2/1, log23 steps to get to 3/1, log25 to get to 5/1, and so on. This gives us {{val| 1 1.585 2.322 2.807 3.459 … log2''p'' }}.

次の問いは、「それらの同じ場所にいくつの ''N''-edoのステップで到達できるだろうか？」 ~~例えば12edoだったらオクターブを12等分するので先ほどの「オクターブ何個分」を~~ 12 倍すればよい。31edoだったら 31 倍すればよい。

次の問いは、「それらの同じ場所にいくつの ''N''-edoのステップで到達できるだろうか？」例えば12edoだったらオクターブを 12 等分するので先ほどの「オクターブ何個分」を 12 倍すればよい。31edoだったら 31 倍すればよい。

Then ask, "How many more ''N''-edo steps does it take to get to the same places?" One 12edo step is 1/12th of an octave, by definition; therefore, you need 12 times as many steps to reach 2/1, 3/1, 5/1, … Similarly, one 31edo step is 1/31 of an octave, so you need 31 times as many steps to reach 2/1, 3/1, 5/1, …

なので、''N''-edoのための ''p''-リミットのパテントヴァルは {{val| 1 1.585 2.322 2.807 … log2''p'' }} を ''N'' 倍し、そういえば等分律のステップをさらに細かくするようなことはできないので、結果を一番近い整数に丸める。

同様の工程をオクターブ数ではなくセント値を媒介にして行っても同じである。1200*log2''p'' セントの素数音程に 1200/''N'' セントのステップがいくつ分で到達するか → (1200*log2''p'') / (1200/''N'') となり本質的に ''N'' 倍と同じ計算である。

Thus, the way to get the ''p''-limit patent val for ''N''-edo is to multiply {{val| 1 1.585 2.322 2.807 … log2''p'' }} by ''N''. Then, since you can't take fractional steps in an edo, you round the results to the nearest integers.

@@ 5行目: / 5行目: @@
 | ja = 特徴的なヴァル
 }}
-ある[[オクターブ平均律]]における'''パテントヴァル'''（patent val、特徴的なヴァル）または'''最近傍マッピング'''（nearest edomapping）とは、その平均律チューニング（純正律との対応を定めていないただの等間隔ピッチ集合。以下 ''n''-等分律と書く）において各素数音程を[[直接近似|最近接丸め]]して得られる[[ヴァル]]のことである。この際[[オクターブ]]は純正（誤差なし）とする。これの基本的な使い方は素数音程をステップ数に丸めて、それをもとに任意の純正音程のステップ数を求めることである。
+ある[[オクターブ平均律]]における'''パテントヴァル'''（patent val、特徴的なヴァル）または'''最近傍マッピング'''（nearest edomapping）とは、その平均律チューニング（純正律との対応を定めていないただの等間隔ピッチ集合。以下仮に ''n''-等分律と書く）において各素数音程を[[直接近似|最近接丸め]]して得られる[[ヴァル]]のことである。この際[[オクターブ]]は純正（誤差なし）とする。これの基本的な使い方は素数音程をステップ数に丸めて、それをもとに任意の純正音程のステップ数を求めることである。
 The '''patent val''' (a.k.a. '''nearest edomapping''') for an [[edo]] is a list of numbers you obtain by finding the closest rounded approximation to each [[prime harmonic]] in the tuning, assuming [[2/1|octaves]] are pure (or in other words, assuming the edo number is an integer). The basic application of a patent val is that you round prime harmonics to edosteps, and then deduce the number of steps of an arbitrary just interval based on its [[prime factorization]].
@@ 22行目: / 22行目: @@
 [[File:Generalized Patent Vals.png|thumb|a visualization of all possible GPVs through the 13-limit up to 99et (any vertical slice is a GPV)]]
-パテントヴァルに加えて検討する価値のあるマッピングが存在する。5リミットの17平均律を考えよう。{{val| 17 27 40 }} がパテントヴァルであり、これは各素数をそれぞれ最近接丸め（再確認、パテントヴァルは純オクターブつまり整数edoを想定する）したものである。しかしこの規制を解除するなら、5/1 の「次に良い近似」を利用できるようになって、我々が気に掛ける協和音全体の被害を軽減できる。言い換えると、39 ステップは 40 ステップよりわずかに素数 5 に近いのだが、これは素朴すぎる選択であって、他の素数との組み合わせで誤差が打ち消されたり強め合ったりする効果を考慮に入れていない。この問題を深く考察すると {{val|17 27 40}} という選択肢が浮かび上がってくる。また {{val| 17 27 39 }} より {{val| 17 27 40 }} を選ぶほかの理由もある; それは異なるコンマをテンパーアウトする。
+パテントヴァルに加えて検討する価値のあるマッピングが存在する。5リミットの17平均律を考えよう。{{val| 17 27 39 }} がパテントヴァルであり、これは各素数をそれぞれ最近接丸め（再確認、パテントヴァルは純オクターブつまり整数edoを想定する）したものである。しかしこの規制を解除するなら、5/1 の「次に良い近似」を利用できるようになって、我々が気に掛ける協和音全体の被害を軽減できる。言い換えると、39 ステップは 40 ステップよりわずかに素数 5 に近いのだが、これは素朴すぎる選択であって、他の素数との組み合わせで誤差が打ち消されたり強め合ったりする効果を考慮に入れていない。この問題を深く考察すると {{val|17 27 40}} という選択肢が浮かび上がってくる。また {{val| 17 27 39 }} より {{val| 17 27 40 }} を選ぶほかの理由もある; それは異なるコンマをテンパーアウトする。
 There are other vals worth considering besides the patent val. Consider the case of 5-limit 17et. {{val| 17 27 39}} is the patent val, meaning each prime individually is as closely approximated as possible (again, assuming pure octaves). However, if that constraint is lifted, and we're allowed to choose the next-closest approximations for prime 5, the overall damage to the consonances we care about can be reduced; in other words, even though 39 steps can take you just a tiny bit closer to prime 5 than 40 steps can, this is a naïve choice which does not take into account whether the errors tend to cancel or reinforce in simple ratios that combine different primes. Considering the problem more deeply in this manner may lead to choosing {{val|17 27 40}} instead. And there are other harmonic reasons to choose {{val| 17 27 40 }} over {{val| 17 27 39 }} as well; it tempers different commas.
-{{val| 17 27 40 }} は17.1edoのパテントヴァルつまり一般化パテントヴァルであり、17.1 × log2(5) = 39.705 は 40 に切り上げられる。本質的にそこにはあるジェネレーターの存在があり、そのサイズは　2<sup>1/17.1</sup> である。これには 17、27、40 ステップがそれぞれ素数 2、3、5 の最良近似になるという事実が伴う。これはつまり、我々は素数を真実に一番近いものにしないように「強制」しているわけではないということである。そうでない（している）例が {{val| 17 27 41 }} である。2 を 17 ステップに、かつ 5 を 41 ステップにマップするジェネレーターサイズを見つけることはできるが、それは必ず 3 を 28 ステップにマップするものになる。（今のは雑な例だが、ミーントーンであって1/2コンマミーントーンに近い {{val| 59 93 136 163 }} (59bcddddd) なども一般化パテントヴァルでは表せない。）（可能な組み合わせは右図から容易に読み取れる。）
+{{val| 17 27 40 }} は17.1edoのパテントヴァルつまり一般化パテントヴァルであり、17.1 × log2(5) = 39.705 は 40 に切り上げられる。本質的にそこにはあるジェネレーターの存在があり、そのサイズは　2<sup>1/17.1</sup> である。これには 17、27、40 ステップがそれぞれ素数 2、3、5 の最良近似になるという事実が伴う。これはつまり、我々は素数を真実に一番近いものにしないように「強制」しているわけではないということである。そうでない（している）例が {{val| 17 27 41 }} である。2 を 17 ステップに、かつ 5 を 41 ステップにマップするジェネレーターサイズを見つけることはできるが、それは必ず 3 を 28 ステップにマップするものになる。（今のは雑な例だが、ミーントーンであって1/2コンマミーントーンに近い {{val| 59 93 136 163 }} (59bcddddd) なども一般化パテントヴァルでは表せない。まあ59edoならflattertoneである59bcdと解釈するほうが自然ではありこちらはGPVである。）（可能な組み合わせは右図から容易に読み取れる。）
 We can show that {{val| 17 27 40 }} is a generalized patent val because it would be the patent val for 17.1et: 17.1 × log<sub>2</sub>5 = 39.705, which rounds up to 40. Essentially this is showing that there does exist some generator size, 2<sup>1/17.1</sup>, for which it is truly the case that 17, 27, and 40 are the respective best approximations of primes 2, 3, and 5. That is, we are not "forcing" an interpretation of a prime which is not closest to the truth. A counterexample would be {{val| 17 27 41 }}: it is possible to find a generator that maps 2 to 17 steps and 5 to 41 steps, but it would require 3 to be 28 steps (this type of information can be read easily off the nearby visualization).
@@ 49行目: / 49行目: @@
 For any prime ''p'' we can find a corresponding ''p''-limit val in a canonical manner by [[Wikipedia: Scalar multiplication|scalar multiplying]] {{val| 1 log<sub>2</sub>3 log<sub>2</sub>5 … log<sub>2</sub>''p'' }} by ''N'' and rounding to the nearest integer. In general this is not guaranteed to be the most accurate available val, but if ''N''-edo has enough relative accuracy in the ''p''-limit, it will be. The name ''patent'' comes from the fact that "patent" in one sense of the word is a synonym for "obvious"; the patent val may or may not be the best choice but it's the obvious choice.
-この工程の考え方の一つが次の問いを立てることである、「各素数を得るのにいくつの 1200 セントなステップ（つまりオクターブ）が必要だろうか？」 2/1 を得るのに 1 個の完全なオクターブが必要で、3/1 を得るのに log<sub>2</sub>3 個分が必要で、5/1 を得るのに log<sub>2</sub>5 個分が必要で、以下同様。これにより {{val| 1 1.585 2.322 2.807 3.459 … log<sub>2</sub>''p'' }} を得る。
+この工程の考え方の一つが次の問いを立てることである、「各素数を得るのにいくつの 1200 セントなステップ（つまりオクターブ）が必要だろうか？」 すると 2/1 を得るのに 1 個の完全なオクターブが必要で、3/1 を得るのに log<sub>2</sub>3 個分が必要で、5/1 を得るのに log<sub>2</sub>5 個分が必要で、以下同様。これにより {{val| 1 1.585 2.322 2.807 3.459 … log<sub>2</sub>''p'' }} を得る。
 One way to think of this process is to first ask, "How many 1200-cent steps (octaves) does it take to get to each prime?" It takes one full-octave step to get to 2/1, log<sub>2</sub>3 steps to get to 3/1, log<sub>2</sub>5 to get to 5/1, and so on. This gives us {{val| 1 1.585 2.322 2.807 3.459 … log<sub>2</sub>''p'' }}.
-次の問いは、「それらの同じ場所にいくつの ''N''-edoのステップで到達できるだろうか？」 例えば12edoだったらオクターブを12等分するので先ほどの「オクターブ何個分」を 12 倍すればよい。31edoだったら 31 倍すればよい。
+次の問いは、「それらの同じ場所にいくつの ''N''-edoのステップで到達できるだろうか？」 例えば12edoだったらオクターブを 12 等分するので先ほどの「オクターブ何個分」を 12 倍すればよい。31edoだったら 31 倍すればよい。
 Then ask, "How many more ''N''-edo steps does it take to get to the same places?" One 12edo step is 1/12th of an octave, by definition; therefore, you need 12 times as many steps to reach 2/1, 3/1, 5/1, … Similarly, one 31edo step is 1/31 of an octave, so you need 31 times as many steps to reach 2/1, 3/1, 5/1, …
 なので、''N''-edoのための ''p''-リミットのパテントヴァルは {{val| 1 1.585 2.322 2.807 … log<sub>2</sub>''p'' }} を ''N'' 倍し、そういえば等分律のステップをさらに細かくするようなことはできないので、結果を一番近い整数に丸める。
+同様の工程をオクターブ数ではなくセント値を媒介にして行っても同じである。1200*log<sub>2</sub>''p'' セントの素数音程に 1200/''N'' セントのステップがいくつ分で到達するか → (1200*log<sub>2</sub>''p'') / (1200/''N'') となり本質的に ''N'' 倍と同じ計算である。
 Thus, the way to get the ''p''-limit patent val for ''N''-edo is to multiply {{val| 1 1.585 2.322 2.807 … log<sub>2</sub>''p'' }} by ''N''. Then, since you can't take fractional steps in an edo, you round the results to the nearest integers.

「パテントヴァル」の版間の差分

Dummy index (トーク | 投稿記録)