「数理最適化」の版間の差分

30行目:

=== 傾き ===

interval spaceにおいて各素数軸を直交させた場合は分数の形になっているものと合成数の形になっているものを同じ重要度として扱うが、分数の形のほうが重要であると考えることが多い。例えば、同じように 3 と 5 を1個づつ使っていても、5/3 のほうが 15/1 より重要だとみなされる。傾きはこれを理論に導入する。

各素数軸を直交させた場合は分数の形になっているものと合成数の形になっているものを同じ重要度として扱うが、分数の形のほうが重要であると考えることが多い。例えば、同じように 3 と 5 を1個づつ使っていても、5/3 のほうが 15/1 より重要だとみなされる。傾きはこれを理論に導入する。

{{en仮リンク|ワイルノルム|Weil norm}}はテニー重みをベースに、軸の間の角度を 60 度に傾け（さらに線形従属な軸を加え）たものである。

重みと傾きは、マッピング行列に掛けることができる行列として表現できる。一般化して考えると、両者の区別は重要ではなく、まとめて重み・傾き変換行列と呼ばれる。

=== 次数 ===

52行目:

54行目:

=== 制約 ===

制約条件（等式）を追加してそれも満たす最小化問題をきちんと解くこと。制約条件を増やした結果最小化以前に解が定まってしまう場合もある（純正のままにした音程のことを{{en仮リンク|固有モンゾ|eigenmonzo}}という。ランク-''n'' ~~テンペラメントに固有モンゾを~~ ''n'' ~~個設定すると解が定まってしまう。{{en仮リンク|minimax tuning}}なども参照のこと）。制約条件は最適化の~~{{w|実行可能領域}}を定義し、実行可能な範囲で最小化された結果をfeasibly optimalという。

制約条件（等式）を追加してそれも満たす最小化問題をきちんと解くこと。制約条件を増やした結果最小化以前に解が定まってしまう場合もある（純正のままにした音程のことを{{en仮リンク|固有モンゾ|eigenmonzo}}という。ランク-''n'' テンペラメントに固有モンゾを線形独立に ''n'' 個設定すると解が定まってしまう）。制約条件は最適化の{{w|実行可能領域}}を定義し、実行可能な範囲で最小化された結果をfeasibly optimalという。

== 枠組みの定式化 ==

（デストレッチを除いて）テンペラメントの最適化問題は以下のように定義できる。マッピング行列 ''V''、{{en仮リンク|純正律マップ|just intonation point}} ''J'' が与えられ、重み・傾き変換行列 ''X''~~、ノルムの次数~~ ''q''、制約条件があるならその固有モンゾを並べた行列 ''M'' ~~を決定する。ジェネレーター~~{{~~en仮リンク|tuning map~~}}を ''G'' ~~と書くと、~~

（デストレッチを除いて）テンペラメントの最適化問題は以下のように定義できる。マッピング行列 ''V''、{{en仮リンク|純正律マップ|just intonation point}} ''J'' が与えられ、重み・傾き変換行列 ''X''、（tuning spaceの？）ノルムの次数 ''q''、制約条件があるならその固有モンゾを並べた行列 ''M'' を決定する。generator tuning mapを ''G'' と書くと、

$$

\begin{align}

& \text{find（動かす変数）} && G \\

& \text{that minimizes（最小化したい）} && \lVert GV_X - J_X \rVert_q \\

& \text{subject to（制約条件）} && (GV - J)M = O

\end{align}

$$

ここで (·)<sub>''X''</sub> は重み・傾き付き空間での変数を表し、

$$

\begin{align}

V_X &= VX \\

J_X &= JX

\end{align}

$$

～

である。

== 主要なチューニング ==

～

@@ 30行目: / 30行目: @@
 === 傾き ===
-interval spaceにおいて各素数軸を直交させた場合は分数の形になっているものと合成数の形になっているものを同じ重要度として扱うが、分数の形のほうが重要であると考えることが多い。例えば、同じように 3 と 5 を1個づつ使っていても、5/3 のほうが 15/1 より重要だとみなされる。傾きはこれを理論に導入する。
+各素数軸を直交させた場合は分数の形になっているものと合成数の形になっているものを同じ重要度として扱うが、分数の形のほうが重要であると考えることが多い。例えば、同じように 3 と 5 を1個づつ使っていても、5/3 のほうが 15/1 より重要だとみなされる。傾きはこれを理論に導入する。
 {{en仮リンク|ワイルノルム|Weil norm}}はテニー重みをベースに、軸の間の角度を 60 度に傾け（さらに線形従属な軸を加え）たものである。
+重みと傾きは、マッピング行列に掛けることができる行列として表現できる。一般化して考えると、両者の区別は重要ではなく、まとめて重み・傾き変換行列と呼ばれる。
 === 次数 ===
@@ 52行目: / 54行目: @@
 === 制約 ===
-制約条件（等式）を追加してそれも満たす最小化問題をきちんと解くこと。制約条件を増やした結果最小化以前に解が定まってしまう場合もある（純正のままにした音程のことを{{en仮リンク|固有モンゾ|eigenmonzo}}という。ランク-''n'' テンペラメントに固有モンゾを ''n'' 個設定すると解が定まってしまう。{{en仮リンク|minimax tuning}}なども参照のこと）。制約条件は最適化の{{w|実行可能領域}}を定義し、実行可能な範囲で最小化された結果をfeasibly optimalという。
+制約条件（等式）を追加してそれも満たす最小化問題をきちんと解くこと。制約条件を増やした結果最小化以前に解が定まってしまう場合もある（純正のままにした音程のことを{{en仮リンク|固有モンゾ|eigenmonzo}}という。ランク-''n'' テンペラメントに固有モンゾを線形独立に ''n'' 個設定すると解が定まってしまう）。制約条件は最適化の{{w|実行可能領域}}を定義し、実行可能な範囲で最小化された結果をfeasibly optimalという。
 == 枠組みの定式化 ==
-（デストレッチを除いて）テンペラメントの最適化問題は以下のように定義できる。マッピング行列 ''V''、{{en仮リンク|純正律マップ|just intonation point}} ''J'' が与えられ、重み・傾き変換行列 ''X''、ノルムの次数 ''q''、制約条件があるならその固有モンゾを並べた行列 ''M'' を決定する。ジェネレーター{{en仮リンク|tuning map}}を ''G'' と書くと、
+（デストレッチを除いて）テンペラメントの最適化問題は以下のように定義できる。マッピング行列 ''V''、{{en仮リンク|純正律マップ|just intonation point}} ''J'' が与えられ、重み・傾き変換行列 ''X''、（tuning spaceの？）ノルムの次数 ''q''、制約条件があるならその固有モンゾを並べた行列 ''M'' を決定する。generator tuning mapを ''G'' と書くと、
+$$
+\begin{align}
+& \text{find（動かす変数）} && G \\
+& \text{that minimizes（最小化したい）} && \lVert GV_X - J_X \rVert_q \\
+& \text{subject to（制約条件）} && (GV - J)M = O
+\end{align}
+$$
+ここで (·)<sub>''X''</sub> は重み・傾き付き空間での変数を表し、
+$$
+\begin{align}
+V_X &= VX \\
+J_X &= JX
+\end{align}
+$$
-～
+である。
 == 主要なチューニング ==
 ～