「数理最適化」の版間の差分
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=== 重み === | === 重み === | ||
重み付けは対角行列で表され、形式的素数それぞれの重要度を決定する。[[ヴァルと調律空間|tuning space]]と[[モンゾと音程空間|interval space]]は互いに双対空間であって、tuning | 重み付けは対角行列で表され、形式的素数それぞれの重要度を決定する。[[ヴァルと調律空間|tuning space]]と[[モンゾと音程空間|interval space]]は互いに双対空間であって、tuning spaceでの重要度（重要な方向はより拡大して埋め込まれる）はinterval spaceでの複雑度の評価（簡単さ・原点への近さ）に相当する。テニー重みは最もありふれた重み付けであり、 | ||
$$ W = \operatorname {diag} (1/\log_2 (Q)) $$ | $$ W = \operatorname {diag} (1/\log_2 (Q)) $$ | ||
となる。ここで ''Q'' = {{val| 2 3 5 … }} でありその中の各素数 ''q'' の重要度は 1/log<sub>2</sub>(''q'')、複雑度は log<sub>2</sub>(''q'') | となる。ここで ''Q'' = {{val| 2 3 5 … }} でありその中の各素数 ''q'' の重要度は 1/log<sub>2</sub>(''q'')、複雑度は log<sub>2</sub>(''q'') となる。重みを付けても双対空間であることを維持するために、''V'' をヴァル、''M'' をモンゾとして | ||
$$ | |||
V M = (V W) (W^{-1} M) | |||
$$ | |||
で、''W'' が重要度、''W''<sup>−1</sup> が複雑度だということである。 | |||
=== 傾き === | === 傾き === | ||
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''L''<sup>1</sup> と ''L''<sup>∞</sup> が双対ノルム（双対空間それぞれに設定されたノルムである種の性質の良さがある組み合わせ）である。''L''<sup>2</sup> の双対は ''L''<sup>2</sup> である。 | ''L''<sup>1</sup> と ''L''<sup>∞</sup> が双対ノルム（双対空間それぞれに設定されたノルムである種の性質の良さがある組み合わせ）である。''L''<sup>2</sup> の双対は ''L''<sup>2</sup> である。 | ||
これは重みの逆数関係に似た話で、斜め方向（軸と軸の間の方向）の重要度と複雑度を扱っていると思えばよく、例えばtuning spaceの斜め方向が重要でinterval spaceの斜め方向を簡単扱いとするには、tuning spaceに ''L''<sup>1</sup>、interval spaceに ''L''<sup>∞</sup> を採用する。テニー高さはinterval spaceの斜め方向を複雑扱いするもので、tuning spaceに ''L''<sup>∞</sup>、interval spaceに ''L''<sup>1</sup> を採用する。 | |||
（中略） | （中略） | ||
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== 枠組みの定式化 == | == 枠組みの定式化 == | ||
（デストレッチを除いて）テンペラメントの最適化問題は以下のように定義できる。マッピング行列 ''V''、{{en仮リンク|純正律マップ|just intonation point}} ''J'' が与えられ、重み・傾き変換行列 ''X'' | （デストレッチを除いて）テンペラメントの最適化問題は以下のように定義できる。マッピング行列 ''V''、{{en仮リンク|純正律マップ|just intonation point}} ''J'' が与えられ、重み・傾き変換行列 ''X''、tuning spaceのノルムの次数 ''q''、制約条件があるならその固有モンゾを並べた行列 ''M'' を決定する。generator tuning mapを ''G'' と書くと、 | ||
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