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「モンゾと音程空間」の版間の差分

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ただし指数は整数である。
ただし指数は整数である。


これはしばしばケットベクトル（詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95 Wikipedia - ブラ-ケット記法]を参照のこと）を模した表記を用いて、
これはしばしばケットベクトル（詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95 Wikipedia – ブラ-ケット記法]を参照のこと）を模した表記を用いて、


:<math>\displaystyle |e_2 \, e_3 \, e_5 \ldots e_p \rangle</math>
:<math>\displaystyle |e_2 \, e_3 \, e_5 \ldots e_p \rangle</math>
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のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、{{en仮リンク|ジョセフ・モンゾ|Joseph Monzo}}の情熱的な支援にちなんでいる。
のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、{{en仮リンク|ジョセフ・モンゾ|Joseph Monzo}}の情熱的な支援にちなんでいる。


モンゾの{{en仮リンク|Tenney高さ|Tenney height}}は以下のように与えられる。
モンゾの{{en仮リンク|テニー高さ|Tenney height}}は以下のように与えられる。


:<math>\displaystyle \| |e_2 \, e_3 \ldots e_p \rangle \| = |e_2| + |e_3| \log_2 3 + \dotsb + |e_p| \log_2 p</math>
:<math>\displaystyle \| |e_2 \, e_3 \ldots e_p \rangle \| = |e_2| + |e_3| \log_2 3 + \dotsb + |e_p| \log_2 p</math>
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これはベクトル空間のノルムである。よって写像 <math>M:monzos \rightarrow I </math> によって ''p''-リミットモンゾを次元 <math>n = \pi(p)</math> のノルム線型空間 <math>I</math> に埋め込むことができる。ただし <math>\pi(x)</math> は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E8%A8%88%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0 素数計数関数]。この埋め込みの下、モンゾは格子を定義する。この格子は有限次元実ノルム線型空間 <math>I</math> を張る <math>I</math> の離散部分群である。
これはベクトル空間のノルムである。よって写像 <math>M:monzos \rightarrow I </math> によって ''p''-リミットモンゾを次元 <math>n = \pi(p)</math> のノルム線型空間 <math>I</math> に埋め込むことができる。ただし <math>\pi(x)</math> は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E8%A8%88%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0 素数計数関数]。この埋め込みの下、モンゾは格子を定義する。この格子は有限次元実ノルム線型空間 <math>I</math> を張る <math>I</math> の離散部分群である。


素数 ''k'' に対応する座標 ''e''<sub>''k''</sub> に log<sub>2</sub> ''k'' を乗じて座標を変換すると、このノルムは通常の ''L''<sup>1</sup>-ノルムとなる（詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 Wikipedia - ''L''<sup>''p''</sup> 空間#有限次元における ''p''-ノルム]を参照。）このベクトル空間はTenney音程空間であり、この通常の ''L''<sup>1</sup>-ノルムによって変換された座標がTenney空間の標準基底を構成する。
素数 ''k'' に対応する座標 ''e''<sub>''k''</sub> に log<sub>2</sub> ''k'' を乗じて座標を変換すると、このノルムは通常の ''L''<sup>1</sup>-ノルムとなる（詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 Wikipedia – ''L''<sup>''p''</sup> 空間#有限次元における ''p''-ノルム]を参照。）このベクトル空間はテニー音程空間であり、この通常の ''L''<sup>1</sup>-ノルムによって変換された座標がテニー空間の標準基底を構成する。
ここで、モンゾはある正の実数（モンゾの場合は常に有理数）と一対一で対応するが、Tenney空間のベクトルはそうではないことに注意。例えば、{{monzo| 1 0 }} は周波数比 2 を表すが、{{monzo|0 log<sub>3</sub> 2}} も同様に 2 を表す。
ここで、モンゾはある正の実数（モンゾの場合は常に有理数）と一対一で対応するが、テニー空間のベクトルはそうではないことに注意。例えば、{{monzo| 1 0 }} は周波数比 2 を表すが、{{monzo|0 log<sub>3</sub> 2}} も同様に 2 を表す。


ユークリッドノルムは数学的な利点を持つため、よく ''L''<sup>1</sup>-ノルムの代わりに音程空間のベクトルに対して適用される。この場合、Tenney音程空間の代わりに[[:en:Tenney-Euclidean metrics|Tenney-ユークリッド音程空間]]が得られる。明示的にモンゾ {{monzo | ''e''<sub>2</sub> ''e''<sub>3</sub> … ''e''<sub>''p''</sub>}} をとったとき、そのTenney-ユークリッドノルム(またはTEノルム)は以下のようになる。
ユークリッドノルムは数学的な利点を持つため、よく ''L''<sup>1</sup>-ノルムの代わりに音程空間のベクトルに対して適用される。この場合、テニー音程空間の代わりに{{en仮リンク|テニー-ユークリッド音程空間|Tenney-Euclidean metrics}}が得られる。明示的にモンゾ {{monzo | ''e''<sub>2</sub> ''e''<sub>3</sub> … ''e''<sub>''p''</sub>}} をとったとき、そのテニー-ユークリッドノルム(またはTEノルム)は以下のようになる。


:<math>\displaystyle \sqrt{e_2^2 + (e_3 \log_2 3)^2 + \dotsb + (e_p \log_2 p)^2}</math>
:<math>\displaystyle \sqrt{e_2^2 + (e_3 \log_2 3)^2 + \dotsb + (e_p \log_2 p)^2}</math>
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==関連項目==
==関連項目==
*[[:en:Fractional monzo|分数モンゾ]]
* {{en仮リンク|分数モンゾ|Fractional monzo}}
*[[:en:Vals and tuning space|ヴァルと調律空間]]
* [[ヴァルと調律空間]]


==脚注==
==脚注==
<references />
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