18平均律

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素因数分解	2 × 32
音程	66.6667¢
完全五度	11\18 (733.333¢)
半音比 (A1:m2)	5:-1 (333.3¢ : -66.67¢)
シャープ五度	11\18 (733.333¢)
フラット五度	10\18 (666.667¢) (→5\9)
長二度	3\18 (200¢) (→1\6)
一貫限度	7
厳密一貫限度	5

“3音システム”

理論

奇数倍音

18EDOにおける奇数倍音の近似

倍音		3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23
誤差	絶対 (¢)	+31.4	+13.7	+31.2	-3.9	-18.0	+26.1	-21.6	+28.4	-30.8	-4.1	-28.3
	相対 (%)	+47.1	+20.5	+46.8	-5.9	-27.0	+39.2	-32.4	+42.6	-46.3	-6.2	-42.4
ステップ (reduced)		29 (11)	42 (6)	51 (15)	57 (3)	62 (8)	67 (13)	70 (16)	74 (2)	76 (4)	79 (7)	81 (9)

純正音程近似

純正音程のマッピング

以下の表は、18平均律で15奇数リミット音程がどのように表されるかを示している。素数倍音は太字で、非一貫的な音程は斜体で示す。

18平均律内の15奇数リミット音程（直接近似, 一貫性の無いものも含む）

音程と補音程	誤差 (絶対, ¢)	誤差 (相対, %)
1/1, 2/1	0.000	0.0
7/6, 12/7	0.204	0.3
15/11, 22/15	3.617	5.4
9/8, 16/9	3.910	5.9
13/7, 14/13	5.035	7.6
13/12, 24/13	5.239	7.9
13/10, 20/13	12.453	18.7
5/4, 8/5	13.686	20.5
15/14, 28/15	13.891	20.8
11/9, 18/11	14.075	21.1
11/6, 12/11	17.304	26.0
7/5, 10/7	17.488	26.2
11/7, 14/11	17.508	26.3
9/5, 10/9	17.596	26.4
5/3, 6/5	17.692	26.5
11/8, 16/11	17.985	27.0
15/13, 26/15	18.926	28.4
15/8, 16/15	21.602	32.4
13/11, 22/13	22.543	33.8
13/8, 16/13	26.139	39.2
13/9, 18/13	30.049	45.1
7/4, 8/7	31.174	46.8
3/2, 4/3	31.378	47.1
9/7, 14/9	31.583	47.4
11/10, 20/11	31.671	47.5

18平均律内の15奇数リミット音程（パテントヴァルによるマッピング）

音程と補音程	誤差 (絶対, ¢)	誤差 (相対, %)
1/1, 2/1	0.000	0.0
7/6, 12/7	0.204	0.3
13/7, 14/13	5.035	7.6
13/12, 24/13	5.239	7.9
13/10, 20/13	12.453	18.7
5/4, 8/5	13.686	20.5
15/14, 28/15	13.891	20.8
7/5, 10/7	17.488	26.2
5/3, 6/5	17.692	26.5
11/8, 16/11	17.985	27.0
15/13, 26/15	18.926	28.4
13/8, 16/13	26.139	39.2
7/4, 8/7	31.174	46.8
3/2, 4/3	31.378	47.1
9/7, 14/9	31.583	47.4
11/10, 20/11	31.671	47.5
13/9, 18/13	36.618	54.9
13/11, 22/13	44.124	66.2
15/8, 16/15	45.065	67.6
9/5, 10/9	49.070	73.6
11/7, 14/11	49.159	73.7
11/6, 12/11	49.363	74.0
9/8, 16/9	62.757	94.1
15/11, 22/15	63.049	94.6
11/9, 18/11	80.741	121.1

基本的な特徴

18平均律はオクターブを、それぞれ約66.667セントで18個のパートに分割したものである。30セントのエラー（純正音程とのずれ）を許容しない限り、12平均律の3度、5度、7度の響きには全く近くない。しかしながら、9/8、7/6、21/16、15/11、12/7、16/9、そして13/7のチューニングには最も近づく。それはまた、36/35をテンパーアウトしない、5:6:7のハーモニックコードシリーズに近似する、最も小さい平均律である。それゆえ、6/5にも7/6にも近似するインターバルを使用しない。

実際に利用できる素晴らしい協和音にアクセスするため、とても「一般的に実践的ではない」アプローチをしなければならない。これは、通常のクローズボイシング「根音-3度-5度」コードタイプと、より圧縮された、またはより拡大され代理で使われるコードを避けることを意味する。18平均律はたぶん、17リミット4*18サブグループの、2.9.75.21.55.39.51純正律サブグループとして扱われる。このサブグループ上では、完全な17-リミット上の72として、同様のコンマを正確にテンパーアウトする。そして正確に同様のチューニングをする。サブグループは1つのコードにたどり着く。例えば、32:36:39:42:51:55:64:75。18平均律の場合、0-3-5-7-12-14-18-22。コードのトランスポーズや転回、またそのサブコードはたくさんの協和源を提供する。

しかしながら、使用するときは少し低い。18平均律は28/27（62.96セント）をテンパーアウトする、そして3つの5度、3/2（701.96）より高い（1118=733.33cent）。したがって、9/8は非常に7/6に似ている。9/8（203.91）として200セント（318）に比較的近く、それは8/7（231.17）とも認識できる。この扱いは大きい5度によって生成された音階に当てはまる。これはFatherテンペラメントとして知られる。もし本当にこのようにするならば、全てシャープされた、3/2と半オクターブからなる音階で生成される。600セントは11/8（551.32セント）、そして866セントを13/8（840.53セント）と呼ぶ。もしそれが可能ならば、たくさんの人はmavilaテンペラメントを好むだろう。

18平均律はサブ平均律2、3、6、そして9をもつ。そして18平均律自体は36平均律と72平均律の4分の1である。そのことはとてもフラットされた4度をもつ点と、良いサブマイナーサードをもつ点で、13平均律と類似点を生む。11平均律においては短3度がとてもシャープされており、その2つでとてもフラットされた5度が、16平均律とはシャープされた4度とフラットされた5度が、17平均律と19平均律とは狭い半音、そしてその半音3つが包む全音が類似点である。一般的な慣習から大きく逸れた素晴らしいチューニングである。

18平均律の音程と近似値

各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は以下のようになる。これはedjirulerを用いて、[number of equal divisions=18, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.3]というパラメータで生成したものである。「The “neighborhood” of JI」の一覧はこちら（huygens-fokker）を参照のこと。

EDO	interval	cent	DMS	The "neighborhood" of JI	Japanese name	ratio	diff cent	cent	diff DMS	DMS
18	0	0.00	0.00
	1	66.67	20.00
	2	133.33	40.00	major diatonic semitone	ダイアトニックの長2度	15/14	13.89	119.44	4.17	35.83
	2	133.33	40.00	2/3-tone	2/3全音	14/13	5.04	128.30	1.51	38.49
	2	133.33	40.00	tridecimal 2/3-tone	13リミットの2/3音	13/12	-5.24	138.57	-1.57	41.57
	2	133.33	40.00	3/4-tone, undecimal neutral second	3/4全音、11リミットの中立的な2度	12/11	-17.30	150.64	-5.19	45.19
	3	200.00	60.00	minor whole tone	小全音	10/9	17.60	182.40	5.28	54.72
	3	200.00	60.00	major whole tone	大全音	9/8	-3.91	203.91	-1.17	61.17
	4	266.67	80.00	tridecimal 5/4-tone	13リミットの5/4全音	15/13	18.93	247.74	5.68	74.32
	4	266.67	80.00	septimal minor third	7リミットの短3度	7/6	-0.20	266.87	-0.06	80.06
	5	333.33	100.00	minor third	短3度	6/5	17.69	315.64	5.31	94.69
	5	333.33	100.00	undecimal neutral third	11リミットの中立3度	11/9	-14.07	347.41	-4.22	104.22
	6	400.00	120.00	major third	長3度	5/4	13.69	386.31	4.11	115.89
	6	400.00	120.00	undecimal diminished fourth or major third	11リミットの減4度または長3度	14/11	-17.51	417.51	-5.25	125.25
	7	466.67	140.00	tridecimal semi-diminished fourth	13リミットの準減4度	13/10	12.45	454.21	3.74	136.26
	8	533.33	160.00	undecimal augmented fourth	11リミットの増4度	15/11	-3.62	536.95	-1.09	161.09
	8	533.33	160.00	undecimal semi-augmented fourth	11リミットの準増5度	11/8	-17.98	551.32	-5.40	165.40
	9	600.00	180.00	septimal or Huygens' tritone, BP fourth	7リミットまたはヒュイゲンの3全音、ボーレン・ピアスの4度	7/5	17.49	582.51	5.25	174.75
	9	600.00	180.00	Euler's tritone	レオンハルト・オイラーの3全音	10/7	-17.49	617.49	-5.25	185.25
	10	666.67	200.00	undecimal semi-diminished fifth	11リミットの準減5度	16/11	17.98	648.68	5.40	194.60
	11	733.33	220.00
	12	800.00	240.00	undecimal augmented fifth	11リミットの増5度	11/7	17.51	782.49	5.25	234.75
	12	800.00	240.00	major sixth	長6度	8/5	-13.69	813.69	-4.11	244.11
	13	866.67	260.00	major sixth, BP sixth	長6度、ボーレン・ピアスの6度	5/3	-17.69	884.36	-5.31	265.31
	14	933.33	280.00	septimal major sixth	7リミットの長6度	12/7	0.20	933.13	0.06	279.94
	15	1000.00	300.00	Pythagorean minor seventh	ピタゴラスの短7度	16/9	3.91	996.09	1.17	298.83
	15	1000.00	300.00	just minor seventh, BP seventh	純正短7度、ボーレン・ピアスの7度	9/5	-17.60	1017.60	-5.28	305.28
	16	1066.67	320.00	21/4-tone, undecimal neutral seventh	21/4全音、11リミットの中立7度	11/6	17.30	1049.36	5.19	314.81
	16	1066.67	320.00	16/3-tone	16/3全音	13/7	-5.04	1071.70	-1.51	321.51
	17	1133.33	340.00
	18	1200.00	360.00

利便性あるMOS音階

メモ：このリストは9平均律で見つけられる音階を含まない

ペンタトニック（5音音階）

3L2sのFatherペンタトニック：4 4 3 4 3

ヘクサトニック（6音音階）

6音均等の全音音階：3 3 3 3 3 3

4L2sのBicycle：4 4 1 4 4 1

2L4sのRiceヘクサトニック：2 5 2 2 5 2

ヘプタトニック（7音音階）

4L3sのAmity/Mishヘプタトニック：3 2 3 2 3 3 2

オクタトニック（8音音階）

5L3sのFatherオクタトニック：3 1 3 3 1 3 3 1

2L6sのRiceオクタトニック：2 2 3 2 2 2 3 2

デカトニック（10音音階）

8L2sのBiggieデカトニック： 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2

ギターアプリケーション

18平均律は、初めてフレットをし直すときに理想的な音階である。なぜなら12平均律からすべての偶数の数を保持できるからである。つまり1/3の仕事が終わっているのである。

「Fatherオクタトニック」音階は、6限ギターにおいて、4つの466.667セント音程と、2弦と3弦の間に生まれる1つの533.333セント音程による「逆スタンダード」チューニングでとても簡単にマップされる。そして14や16、21のような平均律より、やわからな学習曲線を作る。すべての平均律はほとんどすべて一様に、解放に4度のシャープされたものと短3度、中立3度のシリーズがチューニングされている。そしてそれらの音階はしばしば、手動で大きく拡大され位置が移動される。

コンマをなだらかにする

18平均律のヴァルを ⟨18 29 42 51 62 67] とみなした時、次のリストのコンマをテンパーアウトする。

Comma	Monzo	Value (Cents)	Name 1	Name 2
128/125	| 7 0 -3 >	41.06	Diesis	Augmented Comma
1212717/1210381	| 23 6 -14 >	3.34	Vishnuzma	Semisuper
50/49	| 1 0 2 -2 >	34.98	Tritonic Diesis	Jubilisma
686/675	| 1 -3 -2 3 >	27.99	Senga
875/864	| -5 -3 3 1 >	21.90	Keema
1728/1715	| 6 3 -1 -3 >	13.07	Orwellisma	Orwell Comma
16875/16807	| 0 3 4 -5 >	6.99	Mirkwai
3136/3125	| 6 0 -5 2 >	6.08	Hemimean
99/98	| -1 2 0 -2 1 >	17.58	Mothwellsma
100/99	| 2 -2 2 0 -1 >	17.40	Ptolemisma
65536/65219	| 16 0 0 -2 -3 >	8.39	Orgonisma
385/384	| -7 -1 1 1 1 >	4.50	Keenanisma
9801/9800	| -3 4 -2 -2 2 >	0.18	Kalisma	Gauss' Comma
91/90	| -1 -2 -1 1 1 >	19.13	Superleap

曲を聴く

• 18ETPrelude by Aaron Andrew Hunt
• Prelude in 18et by Chris Vaisvil => composer notes
• Flippertronics by Chris Vaisvil
• Gerbils at the Wheel of Government by Chris Vaisvil (in 9 and 18 edo simultaneously)
• Do Androids Dream Of 18ED2? by Carlo Serafini (blog entry)