「利用者:Tessyrrh1016/draft/リーマンゼータ関数と調律」の版間の差分
Tessyrrh1016 (トーク | 投稿記録) |
Tessyrrh1016 (トーク | 投稿記録) |
||
| 19行目: | 19行目: | ||
: <math>\displaystyle \xi_p(x) = \sum_{\substack{2 \le q \le p \\ q \in \mathbb{P}}} \left(\frac{||x \log_2 q||}{\log_2 q}\right)^2</math> | : <math>\displaystyle \xi_p(x) = \sum_{\substack{2 \le q \le p \\ q \in \mathbb{P}}} \left(\frac{||x \log_2 q||}{\log_2 q}\right)^2</math> | ||
この関数には、関連する一般化パテントヴァルに対応する局所的極小値がある。極小値は、関連する[[ヴァル]]のオクターブのTenney–Euclidean調律である ''x'' の値に対して発生する。一方、これらの極小値における <math>\xi_p(x)</math> | この関数には、関連する一般化パテントヴァルに対応する局所的極小値がある。極小値は、関連する[[ヴァル]]のオクターブのTenney–Euclidean調律である ''x'' の値に対して発生する。一方、これらの極小値における <math>\xi_p(x)</math> の値は、ヴァルのTenney–Euclidean相対誤差の2乗であり、TE誤差とTE複雑度の積に等しい。「TE単純悪さ」として知られている。 | ||
ここで、特定の素数リミットの式ではなく、すべての素数に適用される式が必要だとする。上式は無限和にすると収束しない。しかし、重み係数をべき乗に変更すると収束するようになる。 | ここで、特定の素数リミットの式ではなく、すべての素数に適用される式が必要だとする。上式は無限和にすると収束しない。しかし、重み係数をべき乗に変更すると収束するようになる。 | ||
| 25行目: | 25行目: | ||
: <math>\displaystyle \sum_{\substack{2 \le q \le p \\ q \in \mathbb{P}}} \frac{||x \log_2 q||^2}{q^s}</math> | : <math>\displaystyle \sum_{\substack{2 \le q \le p \\ q \in \mathbb{P}}} \frac{||x \log_2 q||^2}{q^s}</math> | ||
( | ''s'' が1より大きい場合これは収束する。ただしいくつかの調整が必要になる場合がある。まず調律が[[一貫性|一貫的]]であるのに十分なほど誤差が小さい場合、素数の2乗の誤差は素数の誤差の2倍になり、3乗の誤差は3倍になり、誤差が一貫的でなくなるまで続く。重み付けに対数が使用され、誤差測定値が一貫している場合、対数重み付けによってこの効果が打ち消されるため、素数べき乗が暗黙的にTenney–Euclidean測定値に含まれていると考えることができる。各素数べき乗 ''p''<sup>''n''</sup> に 1/''n'' をかけることで、それらを含めることができる。これを実行した結果を記述するためのやや独特だが便利な方法は、フォン・マンゴルト関数{{wikilink|フォン・マンゴルト関数}}を使用したものである。これは、素数べき乗 ''p''<sup>''n''</sup> では ln ''p'' に等しく、その他の場合は 0 となる正の整数上に定義される数論的関数{{Wikilink|数論的関数}}である。これは大文字のラムダを使用して Λ(n) と記述され、これを使って、誤差関数に素数べき乗を次のように含めることができる。 | ||
: <math>\displaystyle \xi_\infty(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{\Lambda(n)}{\ln n} \frac{||x \log_2 n||^2}{n^s}</math> | |||
ここで、和は形式的にはすべての正の整数に対して取られるが、実際は素数とその累乗以外は0である。 | |||
Another consequence of the above definition which might be objected to is that it results in a function with a [[Wikipedia:Continuous_function#Relation_to_differentiability_and_integrability|discontinuous derivative]], whereas a smooth function be preferred. The function ⌊x⌉<sup>2</sup> is quadratically increasing near integer values of x, and is periodic with period 1. Another function with these same properties is {{nowrap|1 − cos(2π''x'')}}, which is a smooth and in fact an [[Wikipedia:entire function|entire function]]. Let us therefore now define for any ''s'' > 1: | |||
: <math>\displaystyle E_s(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{\Lambda(n)}{\ln n} \frac{1 - \cos(2 \pi x \log_2 n)}{n^s}</math> | |||
For any fixed ''s'' > 1 this gives a real [[Wikipedia:analytic function|analytic function]] defined for all ''x'', and hence with all the smoothness properties we could desire. | |||
We can clean up this definition to get essentially the same function: | |||
: <math>\displaystyle F_s(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{\Lambda(n)}{\ln n} \frac{\cos(2 \pi x \log_2 n)}{n^s}</math> | |||
This new function has the property that <math>F_s(x) = F_s(0) - E_s(x)</math>, so that all we have done is flip the sign of <math>E_s(x)</math> and offset it vertically. This now increases to a maximum value for low errors, rather than declining to a minimum. Of more interest is the fact that it is a known mathematical function, which can be expressed in terms of the real part of the logarithm of the [[Wikipedia:Riemann zeta function|Riemann zeta function]]: | |||
: <math>\displaystyle F_s(x) = \Re \ln \zeta(s + 2 \pi i x/\ln 2)</math> | |||
If we take exponentials of both sides, then | |||
: <math>\displaystyle \ | : <math>\displaystyle \exp(F_s(x)) = |\zeta(s + 2 \pi i x/\ln 2)|</math> | ||
so that we see that the absolute value of the zeta function serves to measure the relative error of an equal division. | |||
===critical stripの中へ=== | ===critical stripの中へ=== | ||
2024年8月19日 (月) 13:40時点における版
en:The Riemann zeta function and tuningの翻訳の下書きです。
リーマンゼータ関数は有名な数学関数であり、200年もの間未解決の素数の分布に関する問題である、リーマン予想 (Wikipedia) との関係がよく知られている。しかし、平均律の「調和性」を測定するという驚くべき音楽的解釈もある。簡単に言うと、ある意味でゼータ関数は、与えられた平均律が倍音列、それどころか「無限リミット純正音程」までの全ての有理数までもに対し、どの程度近似しているかを示してくれる。
その結果、ゼータ関数は解析的整数論への使用が最もよく知られているが、調律論の背景にも常に存在している——調和エントロピー (en) はゼータ関数のフーリエ変換に関連する可能性があることを示している。また、無限リミットまで拡張すると、種々の調律論的な計量から、ゼータ関数と関連する式が得られる。時々、これらはゼータ関数のシンプルな式から導出できる「素数ゼータ関数」を基準にされることもある。
以下の文の多くはGene Ward Smith (en) の洞察のおかげである。以下の内容の初めはSmithの行ったオリジナルの導出であり、その後に、Smithの結果の一部を拡張した、Mike Battaglia (en) による別の導出が続く。
Gene Ward Smithによるオリジナルの導出
導出の準備
x をオクターブの等分割を表す変数であるとする。例えば、x = 80 の場合、x は 15 ¢ のステップサイズと純正なオクターブを持つ80平均律 (en) であることを表す。x は連続値でも良く、分数または「非オクターブ」の分割も表すことができるとする。例えばボーレン・ピアース・スケール (en) （3/1 の13等分、13EDT）は、「オクターブ」の約 8.202 等分であり（ただし、オクターブ自体はこのチューニングには現れない）、したがって、x = 8.202 の値で表される。
ここで ||x|| を、x と x に最も近い整数との差を表すものとする。例えば、 ||8.202|| は 8.202 と最も近い整数である 8 との差であるため、0.202 となる。||7.95|| は 7.95 と最も近い整数である 8 との差なので 0.05 となる。数学的には、||x|| は床関数 [math]\displaystyle{ \lfloor \rfloor }[/math] を用いて関数 [math]\displaystyle{ \left| x - \left\lfloor x + \frac{1}{2} \right\rfloor \right| }[/math] と表せる。
どのような x の値に対しても、p-リミット一般化パテントヴァル（英: Generalized patent val）を構成できる。具体的には、p 以下の素数 q について、log2(q) × x を最も近い整数に丸めたものが、q に対応する値となる。つまり [math]\displaystyle{ \left\lfloor x \log_2{q} + \frac{1}{2} \right\rfloor }[/math] である。
ここで、以下の関数を考える。[math]\displaystyle{ \mathbb{P} }[/math] を素数全体の集合とする。
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \xi_p(x) = \sum_{\substack{2 \le q \le p \\ q \in \mathbb{P}}} \left(\frac{||x \log_2 q||}{\log_2 q}\right)^2 }[/math]
この関数には、関連する一般化パテントヴァルに対応する局所的極小値がある。極小値は、関連するヴァルのオクターブのTenney–Euclidean調律である x の値に対して発生する。一方、これらの極小値における [math]\displaystyle{ \xi_p(x) }[/math] の値は、ヴァルのTenney–Euclidean相対誤差の2乗であり、TE誤差とTE複雑度の積に等しい。「TE単純悪さ」として知られている。
ここで、特定の素数リミットの式ではなく、すべての素数に適用される式が必要だとする。上式は無限和にすると収束しない。しかし、重み係数をべき乗に変更すると収束するようになる。
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \sum_{\substack{2 \le q \le p \\ q \in \mathbb{P}}} \frac{||x \log_2 q||^2}{q^s} }[/math]
s が1より大きい場合これは収束する。ただしいくつかの調整が必要になる場合がある。まず調律が一貫的であるのに十分なほど誤差が小さい場合、素数の2乗の誤差は素数の誤差の2倍になり、3乗の誤差は3倍になり、誤差が一貫的でなくなるまで続く。重み付けに対数が使用され、誤差測定値が一貫している場合、対数重み付けによってこの効果が打ち消されるため、素数べき乗が暗黙的にTenney–Euclidean測定値に含まれていると考えることができる。各素数べき乗 pn に 1/n をかけることで、それらを含めることができる。これを実行した結果を記述するためのやや独特だが便利な方法は、フォン・マンゴルト関数 (Wikipedia) を使用したものである。これは、素数べき乗 pn では ln p に等しく、その他の場合は 0 となる正の整数上に定義される数論的関数 (Wikipedia) である。これは大文字のラムダを使用して Λ(n) と記述され、これを使って、誤差関数に素数べき乗を次のように含めることができる。
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \xi_\infty(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{\Lambda(n)}{\ln n} \frac{||x \log_2 n||^2}{n^s} }[/math]
ここで、和は形式的にはすべての正の整数に対して取られるが、実際は素数とその累乗以外は0である。
Another consequence of the above definition which might be objected to is that it results in a function with a discontinuous derivative, whereas a smooth function be preferred. The function ⌊x⌉2 is quadratically increasing near integer values of x, and is periodic with period 1. Another function with these same properties is 1 − cos(2πx), which is a smooth and in fact an entire function. Let us therefore now define for any s > 1:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle E_s(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{\Lambda(n)}{\ln n} \frac{1 - \cos(2 \pi x \log_2 n)}{n^s} }[/math]
For any fixed s > 1 this gives a real analytic function defined for all x, and hence with all the smoothness properties we could desire.
We can clean up this definition to get essentially the same function:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle F_s(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{\Lambda(n)}{\ln n} \frac{\cos(2 \pi x \log_2 n)}{n^s} }[/math]
This new function has the property that [math]\displaystyle{ F_s(x) = F_s(0) - E_s(x) }[/math], so that all we have done is flip the sign of [math]\displaystyle{ E_s(x) }[/math] and offset it vertically. This now increases to a maximum value for low errors, rather than declining to a minimum. Of more interest is the fact that it is a known mathematical function, which can be expressed in terms of the real part of the logarithm of the Riemann zeta function:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle F_s(x) = \Re \ln \zeta(s + 2 \pi i x/\ln 2) }[/math]
If we take exponentials of both sides, then
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \exp(F_s(x)) = |\zeta(s + 2 \pi i x/\ln 2)| }[/math]
so that we see that the absolute value of the zeta function serves to measure the relative error of an equal division.