OtonalityとUtonality

Todo

Wikipediaによる解説

導入としてまず、Wikipediaの内容を記す。

2015/12/21

From wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Otonality_and_Utonality oldid=1292303276

概要

OtonalityとUtonalityは、Harry Partchによって導入された用語であり、コードについて述べるときに使用される。そのコードとは、各音のピッチクラスが一つの根音を基準とした倍音列、または下方倍音列により与えられるものである。例えば、1/1、2/1、3/1....または、1/1、1/2、1/3......のように。

Otonalityはそれぞれの値(...identities)を持つ分子と共通する(...numerary nexus)分母によって生成された音高集合である。逆に、UtonalityはOtonalityの逆数であり、共通する分子とそれぞれの分母からなる。

定義

Utonalityは…Otonalityの逆数のようなコードである。そのOtonalityが持つ音程の連なりを、根音から逆に下方向に積んでゆく。言うならば倍音列のようなコードではなく下方倍音列、undertoneのようなコードになる。

Otonalityは、周波数比でもって固定的な根音との関係を表したピッチ集合であり、その分母は等しく分子は連続した整数である。例えば、1/1 と 5/4、そして 3/2（純正長三和音）は、Otonalityである。なぜなら、それらは 4/4、5/4、6/4 と表されるからである。連比で 4:5:6 と書ける。各Otonalityはしたがって、Harmonic Series（1:2:3:4:5:6:7:8:9:10....によって表されるもの）のメンバーによって構成されている。同様に、Utonalityの周波数比は同じ分子を共有し分母が連続する整数である。7/4、7/5、7/6、そして1/1（7/7）はUtonalityを形作る。これは（正式な書き方がないが）1/(4:5:6:7) や 7/(7:6:5:4) のように書かれる。各Utonalityはそれゆえ、Subhamonic Seriesにより構成される。

Otonalityは周波数比の等差数列、または弦楽器の弦の高次モードに対応する。金管楽器は自然とOtonalityのような高次倍音を生成する。そして実際、Otonalityはひとつの基音の倍音に内在するものである。トゥバの喉歌という歌い方の歌い手は、彼らの声道によりOtonalityを生成する。

Utonalityは反対に、周波数のSubaharmonic seriesと、または、波長（周波数の逆数）の等差数列と対応する。その数学的比例関係は、「たぶんUtonality（minor tonality）の実演とみなせる」。

もしotonalityとutonalityを広義に定義するなら、全ての純正和音はotonalityかつutonalityである。例えば、短三和音は基音の第10、第12、第15倍音（10/10、12/10、15/10）として組み立てられ、その点でotonalityの定義に合う。よりよい狭義の定義として、これらの倍音列（または、下方倍音列）は連続していなければならないものとする。よって 4:5:6 はotonalityであり、10:12:15 はそうではなくなる。（4:5:6 のコード・ヴォイシングによる 5:6:8 や 3:4:5:6 などは同様にotonalitiesとみなされるだろう。）この定義だと、ごく少数の種類のコードだけがotonalitiesまたはutonalitiesとなる資格を得る。otonalityな三和音は長三和音 4:5:6 と減三和音 5:6:7 だけ、四和音はドミナントセブンス 4:5:6:7 だけとなる。

微分音作曲家達はこのコンセプトをすべての純正律コードに適用できるように拡張した。（中略）

一般的な西洋音楽理論との関係性

詳細は「リーマン理論」を参照

Harry Partchは、1931年に「Otonality」と「Utonality」を造語したのは、Henry Cowellsによる「New Musical Resouces」においてのundertoneの議論を読んで「急き立てられた」のだと述べた。

5リミットのOtonalityは単純な純正長三和音であり、5リミットのUtonalityは純正短三和音である。したがってOtonalityとUtonalityはメジャーとマイナーのTonalityと見ることができる。しかしながら、一般的な音楽理論でマイナーコードは、ルートから短3度と完全5度で形成されるが、Utonalityは通常5度とみなされる音から下方向に組み立てられるものである。それゆえ一致は完全ではない。これはフーゴー・リーマンの二元論と一致する。

（後略）

Xenharmonic Wikiによる解説

序論

純正コードが与えられたとき、どのようにしてわれわれはOtonalなコード（倍音で構成されたコード）かUtonalなコード（下倍音で構成されたコード）かを判断できるだろうか。最初は、それは明らかだと思われるだろうが、しかし実際は驚くことに微妙なものなのである。たとえば、10:12:15という純正コードは、5奇数リミットのUtonality（Utonalの名詞形）(1/6:1/5:1/4)である。しかしまた、10，12，15倍音による15奇数リミットのOtonalityとも受け取れる。1つの筋の通った定義は、もし最大の奇数が、そのInverse（その中の全ての周波数比を逆数にした和音）の最大の奇数より小さい場合、それはOtonalであり、そしてInverseがより小さい最も大きい奇数を持つならば、Utonalである。言い直すと、コードをInvertすることによって奇数リミットが増加するならば元のコードはotonalで、減少するならばutonalである。つまり 4:5:6（長三和音）はOtonalである。なぜならばそのInverse（短三和音）である 10:12:15 よりも単純であるからである。そしてまた、10:12:15 はUtonalである。なぜならそれは 1/6:1/5:1/4 とより単純に表されるからである。ここで我々は整数リミットではなく奇数リミットを使っているため、この定義はコードヴォイシングに影響されない。4:5:6 が 3:4:5 や 2:3:5 にヴォイシングされても変わらずotonalである。

補足をすると、4:5:6 のInverseは 1/6:1/5:1/4 であり、最小公倍数を掛けて整数化すれば 10:12:15 となる。4:5:6 の奇数リミットは 5 であり、Inverseの奇数リミットは 15 である。このとき 5 のほうが 15 より小さいので、4:5:6 がOtonalであり、10:12:15 がUtonalである。

InverseとComplementは日本語では最終的に転回音程と訳されることが多いが、英語の本来的な意味としては「長三度のInverseは長三度下であり、それがオクターブ等価性のもとで短六度と同一視される。長三度と短六度を足すとオクターブとなり両者はComplementの関係にある」ということになる。コードのInverseを考えるときはまず逆数だと捉えてComplementは意識しないほうがいいだろう。

正確な定義

～～奇数リミットが変化しない場合はambitonalという。～～