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正の有理数 ''q'' は、それが ''p'' 以下の素数のみを使って素因数分解（次数に負の数も許す）ができるとき、かつその場合に限り、''p''-リミットに含まれる。数学的にはSmooth number<sup>[定訳なし]</sup>として知られている。''p''-リミットであるために素因数 ''p'' を含んでいる必要はない。例えば、3/2 は13リミットに含まれる（3以上のすべてのリミットに含まれる）。

任意の素数 ''p'' について、''p''-リミットの有理数全体は{{w|有限生成アーベル群}}~~となる。その群の~~{{en仮リンク|ランク|rank}}はπ (''p'')となる（πは{{w|素数計数関数}}）。例えば[[7リミット]]のランクは 4 ~~であり、素因数2~~, 3, 5, ~~7によって生成される。~~

（''p'' は通常素数に限定するので最小の場合でも素因数 2 が含まれるので）任意の素数リミットは無限個の音程を含む。考える音程を[[オクターブ]]の範囲内に限ったとしても、2リミットより大きいリミットは無限個の音程を含む。

== 部分群としての素数リミット ==

任意の素数 ''p'' について、''p''-リミットの有理数全体は{{w|有限生成アーベル群}}となる。（有理数全体は{{w|自由アーベル群}}となり、''p''-リミットはその部分群である。）その群の{{en仮リンク|ランク|rank}}は π(''p'') となる（πは{{w|素数計数関数}}）。例えば[[7リミット]]のランクは 4 であり、素因数 2, 3, 5, 7 によって生成される。

素数リミットは[[純正律サブグループ]]（純正律部分群）の一種で、''p'' 以下の素数がもれなくどれでも使えるものをいう。

作曲家と理論家は、そのリミットの全ての音程を使おうとするより、小さい部分集合を使うほうが実用的だと繰り返し気づいてきた。この問題はより大きいリミットではより重大になり、リミット内の全ての音程をリーズナブルに近似できる実用的な音律はどんどん少なくなる。''p''-リミット内の複数の部分集合を検討するために、ある理論家が ''p''-horizonという用語を提案している。

== Harmonic class ==

素数リミットが ''p'' 以下の素数しか使わない（''p'' を使うとは言っていない）のに対し、'''harmonic class'''（HC）は ''p'' が実際に最大の素因数として含まれる有理数をいう。言い換えると、ある素数リミットに含まれて一つ小さい素数リミットに含まれない全ての音程である。これは群ではない。

* [[7/4]] はHC7である。7 を最大の素因数として含むからである。

* [[5/4]] はHC5である。これは7リミットに含まれるがHC7ではない。

* [[9/7]] はHC7である。9 は 3<sup>2</sup> であって素因数としては 7 のほうが大きい。

* [[1/1]] はHC2ではない。素因数 2 すら使っていないので定義によりHC2に含まれない。

この分類は単にリミット内である音程と特定の素数を使っている音程を区別するのに有用である。素数リミットと違って、HCは重なりのないカテゴリーである。

== 各 ''p''-リミット純正律のページ ==

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== 関連項目 ==

* [[Harmonic class]]

* [[アドリミット]] (奇数限界)

* [[Prime minimum]]

* [[Wikipedia: Størmer's theorem]]

* {{w|en:Størmer's theorem|Wikipedia: Størmer's theorem}}

== 外部リンク ==

* [http://tonalsoft.com/enc/l/limit.aspx Tonalsoft Encyclopedia | ''Limit'']

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 正の有理数 ''q'' は、それが ''p'' 以下の素数のみを使って素因数分解（次数に負の数も許す）ができるとき、かつその場合に限り、''p''-リミットに含まれる。数学的にはSmooth number<sup>[定訳なし]</sup>として知られている。''p''-リミットであるために素因数 ''p'' を含んでいる必要はない。例えば、3/2 は13リミットに含まれる（3以上のすべてのリミットに含まれる）。<!--Also, an interval with a ''p'' in it is not necessarily within the ''p''-limit. 23/13 is not within the 13-limit, since 23 is a prime number higher than 13. -->
-任意の素数 ''p'' について、''p''-リミットの有理数全体は{{w|有限生成アーベル群}}となる。その群の{{en仮リンク|ランク|rank}}はπ (''p'')となる（πは{{w|素数計数関数}}）。例えば[[7リミット]]のランクは 4 であり、素因数2, 3, 5, 7によって生成される。
+（''p'' は通常素数に限定するので最小の場合でも素因数 2 が含まれるので）任意の素数リミットは無限個の音程を含む。考える音程を[[オクターブ]]の範囲内に限ったとしても、2リミットより大きいリミットは無限個の音程を含む。
+== 部分群としての素数リミット ==
+任意の素数 ''p'' について、''p''-リミットの有理数全体は{{w|有限生成アーベル群}}となる。（有理数全体は{{w|自由アーベル群}}となり、''p''-リミットはその部分群である。）その群の{{en仮リンク|ランク|rank}}は π(''p'') となる（πは{{w|素数計数関数}}）。例えば[[7リミット]]のランクは 4 であり、素因数 2, 3, 5, 7 によって生成される。
+素数リミットは[[純正律サブグループ]]（純正律部分群）の一種で、''p'' 以下の素数がもれなくどれでも使えるものをいう。
+作曲家と理論家は、そのリミットの全ての音程を使おうとするより、小さい部分集合を使うほうが実用的だと繰り返し気づいてきた。この問題はより大きいリミットではより重大になり、リミット内の全ての音程をリーズナブルに近似できる実用的な音律はどんどん少なくなる。''p''-リミット内の複数の部分集合を検討するために、ある理論家が ''p''-horizonという用語を提案している。
+== Harmonic class ==
+素数リミットが ''p'' 以下の素数しか使わない（''p'' を使うとは言っていない）のに対し、'''harmonic class'''（HC）は ''p'' が実際に最大の素因数として含まれる有理数をいう。言い換えると、ある素数リミットに含まれて一つ小さい素数リミットに含まれない全ての音程である。これは群ではない。
+* [[7/4]] はHC7である。7 を最大の素因数として含むからである。
+* [[5/4]] はHC5である。これは7リミットに含まれるがHC7ではない。
+* [[9/7]] はHC7である。9 は 3<sup>2</sup> であって素因数としては 7 のほうが大きい。
+* [[1/1]] はHC2ではない。素因数 2 すら使っていないので定義によりHC2に含まれない。
+この分類は単にリミット内である音程と特定の素数を使っている音程を区別するのに有用である。素数リミットと違って、HCは重なりのないカテゴリーである。
 == 各 ''p''-リミット純正律のページ ==
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 == 関連項目 ==
-* [[Harmonic class]]
 * [[アドリミット]] (奇数限界)
 * [[Prime minimum]]
-* [[Wikipedia: Størmer's theorem]]
+* {{w|en:Størmer's theorem|Wikipedia: Størmer's theorem}}
 == 外部リンク ==
 * [http://tonalsoft.com/enc/l/limit.aspx Tonalsoft Encyclopedia | ''Limit'']