「31平均律」の版間の差分
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== 歴史 == | == 歴史 == | ||
14世紀初頭、ディエシス（オクターブと3重の長3度の比、128:125 あるいは 約41.059セント）がほぼ全音の1/5、あるいは半音の1/3である、とする研究が[https://en.wikipedia.org/wiki/Marchetto_da_Padova マルケット・ダ・パドヴァ]により行われていた。 | |||
1555年、[https://en.wikipedia.org/wiki/Nicola_Vicentino ニコラ・ヴィチェンティーノ]の『現代の実践に適応させた古代音楽』(''L'antica musica ridotta alla moderna prattica'')においてこの研究が再考され、彼により1オクターブ当たり36音に拡張された1/4コンマ中全音律の[https://en.wikipedia.org/wiki/Archicembalo Archicembalo]が造られた。 | |||
[[ファイル:Sambuca lincea accidental.png|代替文=#の線をいくつも重ねている|サムネイル|ファビオ・コロンナの五分音記号]] | [[ファイル:Sambuca lincea accidental.png|代替文=#の線をいくつも重ねている|サムネイル|ファビオ・コロンナの五分音記号]] | ||
1618年、[https://en.wikipedia.org/wiki/Fabio_Colonna ファビオ・コロンナ]によって、ヴィチェンティーノのチェンバロの研究として、オクターブあたり31音にに拡張された1/4コンマ中全音律の sambuca という楽器を造り、自著(''La Sambuca Lincea'')において全音の1/5の音程に関する変位記号を提案した。 | 1618年、[https://en.wikipedia.org/wiki/Fabio_Colonna ファビオ・コロンナ]によって、ヴィチェンティーノのチェンバロの研究として、オクターブあたり31音にに拡張された1/4コンマ中全音律の sambuca という楽器を造り、自著(''La Sambuca Lincea'')において全音の1/5の音程に関する変位記号を提案した。 | ||
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1666年に[https://en.wikipedia.org/wiki/Lemme_Rossi レメ・ロッシ]が自著(''Sistema musico, ouero Musica speculativa doue SI spiegano i più celebri sistemi di tutti i tre generi'')の中において最初にこの平均律を提案し、その後まもなく、独自にそれを発見した有名な科学者[[wiki:クリスティアーン・ホイヘンス|クリスティアーン・ホイヘンス]]がこれに関し記述した。 | 1666年に[https://en.wikipedia.org/wiki/Lemme_Rossi レメ・ロッシ]が自著(''Sistema musico, ouero Musica speculativa doue SI spiegano i più celebri sistemi di tutti i tre generi'')の中において最初にこの平均律を提案し、その後まもなく、独自にそれを発見した有名な科学者[[wiki:クリスティアーン・ホイヘンス|クリスティアーン・ホイヘンス]]がこれに関し記述した。 | ||
この時代の標準的な調律のシステムが、5度が <math>5^{1/4}</math> の周波数比に調整される[[1/4- | この時代の標準的な調律のシステムが、5度が <math>5^{1/4}</math> の周波数比に調整される[[1/4-コンマ中全音律|1/4コンマ中全音律]]であったが、31平均律はそれよりもわずかに約0.196セント広いだけの約696.774セントの音程を持つ。 | ||
ホイヘンスは、31平均律が[[7リミット]]和声の素晴らしい近似を提供することに注目した。このことは当時先進的な洞察であった。 | ホイヘンスは、31平均律が[[7リミット]]和声の素晴らしい近似を提供することに注目した。このことは当時先進的な洞察であった。 | ||
20世紀に至り、物理学者であり音楽理論家・作曲家でもある Adriaan Fokker | 20世紀に至り、物理学者であり音楽理論家・作曲家でもある Adriaan Fokker は、ホイヘンスの著述を読み、この調律システムに対する関心の復活を導いた。彼は1951年にオランダのハールレムにあるテイラー博物館に31平均律オルガンを設置した。現在オルガンはアムステルダムの[https://www.muziekgebouw.nl/nl/fokker-orgel-x5l6 アイ湾音楽堂]に移設されている。 | ||
==理論== | ==理論== | ||
[[ | 31平均律の完全5度は純正な 3/2 より 5.2￠低い。したがって、Meantone にふさわしい。長3度については純正な 5/4 よりたった0.78￠高いだけであり、[[1/4-コンマミーントーン|1/4コンマ中全音律]]よりわずかに高い程度である。31平均律の 7/4 の近似値についても1.08低い程度で、純正に極めて近い。したがって 5/4 と 7/4 がほぼ純正に近いことから、31平均律は 7-limit において比較的正確である。多くの7-limit 純正の音階は31平均律でよく近似される（当然ながら平均律化を施して）。 | ||
素数11は精度がやや低く、11/8 のような音程は約9セントずれる。しかし 11/9 や 11/6 のような音程は誤差が相殺されるため非常に良く近似される。この特性により31平均律は 11-limit の音階（特に 11-odd-limit ）の旋律的近似として非常に効率的だが、 9/7 と 14/11 、 11/8 と 15/11 などを混同する。また、 15-odd-limit のほとんどの音程を[[一貫性|一貫]]して[[マップされた音程|マップする]]が、例外は13/9、13/11、およびそれらの[[オクターブ補完音程]]である。 | |||
31平均律が特に正確である他の点として、7、9、11の odd- limit において[[ペッパーの曖昧さ]]([[:en:Pepper_ambiguity|英語版]])における記録を象徴し、一貫性を保っていることが挙げられる。また厳密な[[リーマンゼータ関数と調律#ゼータ平均律の表|ゼータ平均律]]([[:en:The_Riemann_zeta_function_and_tuning|英語版]])でもあり、ゼータピーク、ゼータピーク整数、ゼータ積分、ゼータギャップ平均律を同時に満たす。 | |||
31平均律のの1単位音程（約38.7¢）は「ディエシス」(diesis)と呼ばれる。これは12平均律で[[テンパーアウト|緩和]]される複数の音程のことについて言う。（特に 128/125 と 648/625 ）。ディエシスは31edoを特徴づける音であり、音階に直接現れない場合でも、類似した大きさの2つ以上の音程差として頻繁に現れる。 | |||
===素数倍音=== | ===素数倍音=== | ||
{{harmonics in equal|31}} | {{harmonics in equal|31}} | ||
=== 他のテンペラメントとしての音律 === | |||
31平均律は、Meantone 以外にも、[[:en:Mohajira|mohajira]] 、[[:en:Mothra|mothra]] 、そして最適とは言えない[[:en:Miracle|Miracle]] や [[:en:Valentine|valentine]] のテンペラメントにも使用できる。これらの音律は、31平均律の5度音程(18ディエシス)を2、3、6、9等分する。mohajira とその代替（migration）は31平均律において統合され、一つのステムの中で、ほぼ最適な11-limit-meantoneの構造を形成する。実際、31平均律は、81/ 80、99/ 98、121/120、126 / 125を緩和する唯一の音律として定義できます。 | |||
31平均律は、完全12度音程を7等分し、7/6に近似する音程を得るという、[[:en:Orwell|orwell]] も[[サポート]]([[:en:Support|英語版]])している。また、31平均律がサポートする注目すべき音律として、3度音程を5つの異なる音程（縮3度、短3度、中立3度、長3度、拡3度、すなわちそれぞれ 7/6 、6/5 、 11/9～16/13 、 5 /4 、 9/7 ）に分割する[[:en:Myna|myna]]もサポートしている。 | |||
=== サブセットとスーパーセット === | |||
31平均律は11番目の素数平均律であり、29平均律の次、37平均律の前に位置する。31平均律には非自明な部分集合のオクターブ等分音律は含まれないが、31ed4が含まれる。31平均律の2倍である62平均律は、音律を13、17、19-limit で拡張する別の方法を提供する。 | |||
==純正音程近似== | ==純正音程近似== | ||
| 47行目: | 61行目: | ||
| style="text-align:center;" | 0.000 | | style="text-align:center;" | 0.000 | ||
| style="text-align:center;" | 0.000 | | style="text-align:center;" | 0.000 | ||
| style="text-align:center;" | | | style="text-align:center;" | 同度，ユニゾン | ||
| style="text-align:center;" | 1/1 | | style="text-align:center;" | 1/1 | ||
| style="text-align:center;" | 0.000 | | style="text-align:center;" | 0.000 | ||
| 55行目: | 69行目: | ||
| style="text-align:center;" | 38.710 | | style="text-align:center;" | 38.710 | ||
| style="text-align:center;" | 11.613 | | style="text-align:center;" | 11.613 | ||
| style="text-align:center;" | | | style="text-align:center;" | 長1度，ディエシス， | ||
減2度 | |||
| style="text-align:center;" | 49/48 <br>45/44 | | style="text-align:center;" | 49/48 <br>45/44 | ||
| style="text-align:center;" | 35.697 <br>38.906 | | style="text-align:center;" | 35.697 <br>38.906 | ||
| 63行目: | 78行目: | ||
| style="text-align:center;" | 77.419 | | style="text-align:center;" | 77.419 | ||
| style="text-align:center;" | 23.226 | | style="text-align:center;" | 23.226 | ||
| style="text-align:center;" | | | style="text-align:center;" | 半音階的半音， | ||
増1度， | |||
縮2度 | |||
| style="text-align:center;" | 25/24 <br>22/21 <br>21/20 | | style="text-align:center;" | 25/24 <br>22/21 <br>21/20 | ||
| style="text-align:center;" | 70.672 <br>80.537 <br>84.467 | | style="text-align:center;" | 70.672 <br>80.537 <br>84.467 | ||
| 71行目: | 88行目: | ||
| style="text-align:center;" | 116.129 | | style="text-align:center;" | 116.129 | ||
| style="text-align:center;" | 34.839 | | style="text-align:center;" | 34.839 | ||
| style="text-align:center;" | | | style="text-align:center;" | 全音階的半音， | ||
短2度 | |||
| style="text-align:center;" | 16/15 <br>15/14 | | style="text-align:center;" | 16/15 <br>15/14 | ||
| style="text-align:center;" | 111.731 <br>119.443 | | style="text-align:center;" | 111.731 <br>119.443 | ||
| 87行目: | 105行目: | ||
| style="text-align:center;" | 193.548 | | style="text-align:center;" | 193.548 | ||
| style="text-align:center;" | 58.065 | | style="text-align:center;" | 58.065 | ||
| style="text-align:center;" | | | style="text-align:center;" | 全音，長2度 | ||
| style="text-align:center;" | 10/9 <br>9/8 | | style="text-align:center;" | 10/9 <br>9/8 | ||
| style="text-align:center;" | 182.404 <br>203.910 | | style="text-align:center;" | 182.404 <br>203.910 | ||
| 95行目: | 113行目: | ||
| style="text-align:center;" | 232.258 | | style="text-align:center;" | 232.258 | ||
| style="text-align:center;" | 69.677 | | style="text-align:center;" | 69.677 | ||
| style="text-align:center;" | | | style="text-align:center;" | 拡2度，減3度 | ||
| style="text-align:center;" | 8/7 | | style="text-align:center;" | 8/7 | ||
| style="text-align:center;" | 231.174 | | style="text-align:center;" | 231.174 | ||
| 103行目: | 121行目: | ||
| style="text-align:center;" | 270.968 | | style="text-align:center;" | 270.968 | ||
| style="text-align:center;" | 81.290 | | style="text-align:center;" | 81.290 | ||
| style="text-align:center;" | | | style="text-align:center;" | 縮3度，増2度 | ||
| style="text-align:center;" | 7/6 | | style="text-align:center;" | 7/6 | ||
| style="text-align:center;" | 266.871 | | style="text-align:center;" | 266.871 | ||
| 135行目: | 153行目: | ||
| style="text-align:center;" | 425.806 | | style="text-align:center;" | 425.806 | ||
| style="text-align:center;" | 127.742 | | style="text-align:center;" | 127.742 | ||
| style="text-align:center;" | | | style="text-align:center;" | 拡3度，減4度 | ||
| style="text-align:center;" | 14/11 <br>9/7 | | style="text-align:center;" | 14/11 <br>9/7 | ||
| style="text-align:center;" | 417.508 <br>435.084 | | style="text-align:center;" | 417.508 <br>435.084 | ||
| 143行目: | 161行目: | ||
| style="text-align:center;" | 464.516 | | style="text-align:center;" | 464.516 | ||
| style="text-align:center;" | 139.355 | | style="text-align:center;" | 139.355 | ||
| style="text-align:center;" | | | style="text-align:center;" | 短4度，増3度 | ||
| style="text-align:center;" | 13/10 <br>21/16 | | style="text-align:center;" | 13/10 <br>21/16 | ||
| style="text-align:center;" | 454.214 <br>470.781 | | style="text-align:center;" | 454.214 <br>470.781 | ||
| 159行目: | 177行目: | ||
| style="text-align:center;" | 541.935 | | style="text-align:center;" | 541.935 | ||
| style="text-align:center;" | 162.581 | | style="text-align:center;" | 162.581 | ||
| style="text-align:center;" | | | style="text-align:center;" | 長4度 | ||
| style="text-align:center;" | 15/11 <br>11/8 | | style="text-align:center;" | 15/11 <br>11/8 | ||
| style="text-align:center;" | 536.951 <br>551.318 | | style="text-align:center;" | 536.951 <br>551.318 | ||
| 167行目: | 185行目: | ||
| style="text-align:center;" | 580.645 | | style="text-align:center;" | 580.645 | ||
| style="text-align:center;" | 174.194 | | style="text-align:center;" | 174.194 | ||
| style="text-align:center;" | | | style="text-align:center;" | 増4度 | ||
| style="text-align:center;" | 7/5 | | style="text-align:center;" | 7/5 | ||
| style="text-align:center;" | 582.512 | | style="text-align:center;" | 582.512 | ||
| 175行目: | 193行目: | ||
| style="text-align:center;" | 619.355 | | style="text-align:center;" | 619.355 | ||
| style="text-align:center;" | 185.806 | | style="text-align:center;" | 185.806 | ||
| style="text-align:center;" | | | style="text-align:center;" | 減5度 | ||
| style="text-align:center;" | 10/7 | | style="text-align:center;" | 10/7 | ||
| style="text-align:center;" | 617.488 | | style="text-align:center;" | 617.488 | ||
| 183行目: | 201行目: | ||
| style="text-align:center;" | 658.065 | | style="text-align:center;" | 658.065 | ||
| style="text-align:center;" | 197.419 | | style="text-align:center;" | 197.419 | ||
| style="text-align:center;" | | | style="text-align:center;" | 短5度 | ||
| style="text-align:center;" | 16/11 <br>22/15 | | style="text-align:center;" | 16/11 <br>22/15 | ||
| style="text-align:center;" | 648.682 <br>663.049 | | style="text-align:center;" | 648.682 <br>663.049 | ||
| 199行目: | 217行目: | ||
| style="text-align:center;" | 735.484 | | style="text-align:center;" | 735.484 | ||
| style="text-align:center;" | 220.645 | | style="text-align:center;" | 220.645 | ||
| style="text-align:center;" | | | style="text-align:center;" | 長5度，減6度 | ||
| style="text-align:center;" | 32/21 <br>20/13 | | style="text-align:center;" | 32/21 <br>20/13 | ||
| style="text-align:center;" | 729.219 <br>745.786 | | style="text-align:center;" | 729.219 <br>745.786 | ||
| 207行目: | 225行目: | ||
| style="text-align:center;" | 774.194 | | style="text-align:center;" | 774.194 | ||
| style="text-align:center;" | 232.258 | | style="text-align:center;" | 232.258 | ||
| style="text-align:center;" | | | style="text-align:center;" | 増5度，縮6度 | ||
| style="text-align:center;" | 14/9 <br>11/7 | | style="text-align:center;" | 14/9 <br>11/7 | ||
| style="text-align:center;" | 764.916 <br>782.492 | | style="text-align:center;" | 764.916 <br>782.492 | ||
| 239行目: | 257行目: | ||
| style="text-align:center;" | 929.032 | | style="text-align:center;" | 929.032 | ||
| style="text-align:center;" | 278.710 | | style="text-align:center;" | 278.710 | ||
| style="text-align:center;" | | | style="text-align:center;" | 拡6度，減7度 | ||
| style="text-align:center;" | 12/7 | | style="text-align:center;" | 12/7 | ||
| style="text-align:center;" | 933.129 | | style="text-align:center;" | 933.129 | ||
| 247行目: | 265行目: | ||
| style="text-align:center;" | 967.742 | | style="text-align:center;" | 967.742 | ||
| style="text-align:center;" | 290.323 | | style="text-align:center;" | 290.323 | ||
| style="text-align:center;" | | | style="text-align:center;" | 縮7度，増6度 | ||
| style="text-align:center;" | 7/4 | | style="text-align:center;" | 7/4 | ||
| style="text-align:center;" | 968.826 | | style="text-align:center;" | 968.826 | ||
| 279行目: | 297行目: | ||
| style="text-align:center;" | 1122.581 | | style="text-align:center;" | 1122.581 | ||
| style="text-align:center;" | 336.774 | | style="text-align:center;" | 336.774 | ||
| style="text-align:center;" | | | style="text-align:center;" | 減8度，拡7度 | ||
| style="text-align:center;" | 21/11 | | style="text-align:center;" | 21/11 | ||
| style="text-align:center;" | 1119.463 | | style="text-align:center;" | 1119.463 | ||
| 287行目: | 305行目: | ||
| style="text-align:center;" | 1161.290 | | style="text-align:center;" | 1161.290 | ||
| style="text-align:center;" | 348.387 | | style="text-align:center;" | 348.387 | ||
| style="text-align:center;" | | | style="text-align:center;" | 短8度，増7度 | ||
| style="text-align:center;" | | | style="text-align:center;" | | ||
| style="text-align:center;" | | | style="text-align:center;" | | ||