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31平均律 (31 Equal temperament)は、31-TET, 31-EDO, 31-ET とも略称され、[[オクターブ]]を31段の等間隔なステップ（等しい周波数比）に分割することにより得られる音律である。各ステップは周波数比 <math>2^{1/31}</math>、または 1200/31 ≈ 38.70967742 [[セント|¢]] である。
31平均律 (31 Equal temperament)は、31-TET, 31-EDO, 31-ET とも略称され、[[オクターブ]]を31段の等間隔なステップ（等しい周波数比）に分割することにより得られる音律である。各ステップは周波数比 <math>2^{1/31}</math>、または 1200/31 ≈ 38.70967742 [[セント|¢]] である。


==理論==
== 歴史 ==
[[29平均律]]の後であり、[[37平均律]]の前に位置する、8番目の[[素数]]平均律である。
14世紀初頭、ディエシス（オクターブと3重の長3度の比、128:125 あるいは 約41.059セント）がほぼ全音の1/5、あるいは半音の1/3である、とする研究が[https://en.wikipedia.org/wiki/Marchetto_da_Padova マルケット・ダ・パドヴァ]により行われていた。


オクターヴの31段への分割は、lesser diesis（オクターブと3重の長3度の比、128:125 あるいは 約41.059セント） は、ほぼ全音の1/5、あるいは半音の1/3である、というルネッサンス音楽理論から自然に起こった。
1555年、[https://en.wikipedia.org/wiki/Nicola_Vicentino ニコラ・ヴィチェンティーノ]の『現代の実践に適応させた古代音楽』(''L'antica musica ridotta alla moderna prattica'')においてこの研究が再考され、彼により1オクターブ当たり36音に拡張された1/4コンマ中全音律の[https://en.wikipedia.org/wiki/Archicembalo Archicembalo]が造られた。
[[ファイル:Sambuca lincea accidental.png|代替文=#の線をいくつも重ねている|サムネイル|ファビオ・コロンナの五分音記号]]
1618年、[https://en.wikipedia.org/wiki/Fabio_Colonna ファビオ・コロンナ]によって、ヴィチェンティーノのチェンバロの研究として、オクターブあたり31音にに拡張された1/4コンマ中全音律の sambuca という楽器を造り、自著(''La Sambuca Lincea'')において全音の1/5の音程に関する変位記号を提案した。


1666年に Lemme Rossi が最初にこの平均律を提案し、その後まもなく、独自にそれを発見した有名な科学者[[クリスティアーン・ホイヘンス]]がこれに関し記述した。
1666年に[https://en.wikipedia.org/wiki/Lemme_Rossi レメ・ロッシ]が自著(''Sistema musico, ouero Musica speculativa doue SI spiegano i più celebri sistemi di tutti i tre generi'')の中において最初にこの平均律を提案し、その後まもなく、独自にそれを発見した有名な科学者[[wiki:クリスティアーン・ホイヘンス|クリスティアーン・ホイヘンス]]がこれに関し記述した。


この時代の標準的な調律のシステムが、5度が 51/4 の周波数比に調整される[[1/4-コンマミーントーン]]であったが、31平均律はそれよりもわずかに約0.196セント広いだけの約696.774セントの音程を持つ。
この時代の標準的な調律のシステムが、5度が <math>5^{1/4}</math> の周波数比に調整される[[1/4-コンマ中全音律|1/4コンマ中全音律]]であったが、31平均律はそれよりもわずかに約0.196セント広いだけの約696.774セントの音程を持つ。


ホイヘンスは、31平均律が[[7リミット]]和声の素晴らしい近似を提供することに注目した。このことは当時先進的な洞察であった。
ホイヘンスは、31平均律が[[7リミット]]和声の素晴らしい近似を提供することに注目した。このことは当時先進的な洞察であった。


20世紀に至り、物理学者であり音楽理論家・作曲家でもある Adriaan Fokker は、ホイヘンスの著述を読み、この調律システムに対する関心の復活を導いた。
20世紀に至り、物理学者であり音楽理論家・作曲家でもある Adriaan Fokker は、ホイヘンスの著述を読み、この調律システムに対する関心の復活を導いた。彼は1951年にオランダのハールレムにあるテイラー博物館に31平均律オルガンを設置した。現在オルガンはアムステルダムの[https://www.muziekgebouw.nl/nl/fokker-orgel-x5l6 アイ湾音楽堂]に移設されている。
==理論==
31平均律の完全5度は純正な 3/2 より 5.2￠低い。したがって、Meantone にふさわしい。長3度については純正な 5/4 よりたった0.78￠高いだけであり、[[1/4-コンマミーントーン|1/4コンマ中全音律]]よりわずかに高い程度である。31平均律の 7/4 の近似値についても1.08低い程度で、純正に極めて近い。したがって 5/4 と 7/4 がほぼ純正に近いことから、31平均律は 7-limit において比較的正確である。多くの7-limit 純正の音階は31平均律でよく近似される（当然ながら平均律化を施して）。
 
素数11は精度がやや低く、11/8 のような音程は約9セントずれる。しかし 11/9 や 11/6 のような音程は誤差が相殺されるため非常に良く近似される。この特性により31平均律は 11-limit の音階（特に 11-odd-limit ）の旋律的近似として非常に効率的だが、 9/7 と 14/11 、 11/8 と 15/11 などを混同する。また、 15-odd-limit のほとんどの音程を[[一貫性|一貫]]して[[マップされた音程|マップする]]が、例外は13/9、13/11、およびそれらの[[オクターブ補完音程]]である。
 
31平均律が特に正確である他の点として、7、9、11の odd- limit において[[ペッパーの曖昧さ]]([[:en:Pepper_ambiguity|英語版]])における記録を象徴し、一貫性を保っていることが挙げられる。また厳密な[[リーマンゼータ関数と調律#ゼータ平均律の表|ゼータ平均律]]([[:en:The_Riemann_zeta_function_and_tuning|英語版]])でもあり、ゼータピーク、ゼータピーク整数、ゼータ積分、ゼータギャップ平均律を同時に満たす。
 
31平均律のの1単位音程（約38.7¢）は「ディエシス」(diesis)と呼ばれる。これは12平均律で[[テンパーアウト|緩和]]される複数の音程のことについて言う。（特に 128/125 と 648/625 ）。ディエシスは31edoを特徴づける音であり、音階に直接現れない場合でも、類似した大きさの2つ以上の音程差として頻繁に現れる。


===素数倍音===
===素数倍音===
{{harmonics in equal|31}}
{{harmonics in equal|31}}
=== 他のテンペラメントとしての音律 ===
31平均律は、Meantone 以外にも、[[:en:Mohajira|mohajira]] 、[[:en:Mothra|mothra]] 、そして最適とは言えない[[:en:Miracle|Miracle]] や [[:en:Valentine|valentine]] のテンペラメントにも使用できる。これらの音律は、31平均律の5度音程(18ディエシス)を2、3、6、9等分する。mohajira とその代替（migration）は31平均律において統合され、一つのステムの中で、ほぼ最適な11-limit-meantoneの構造を形成する。実際、31平均律は、81/ 80、99/ 98、121/120、126 / 125を緩和する唯一の音律として定義できます。
31平均律は、完全12度音程を7等分し、7/6に近似する音程を得るという、[[:en:Orwell|orwell]] も[[サポート]]([[:en:Support|英語版]])している。また、31平均律がサポートする注目すべき音律として、3度音程を5つの異なる音程（縮3度、短3度、中立3度、長3度、拡3度、すなわちそれぞれ 7/6 、6/5 、 11/9～16/13 、 5 /4 、 9/7 ）に分割する[[:en:Myna|myna]]もサポートしている。
=== サブセットとスーパーセット ===
31平均律は11番目の素数平均律であり、29平均律の次、37平均律の前に位置する。31平均律には非自明な部分集合のオクターブ等分音律は含まれないが、31ed4が含まれる。31平均律の2倍である62平均律は、音律を13、17、19-limit で拡張する別の方法を提供する。


==純正音程近似==
==純正音程近似==
43行目: 61行目:
| style="text-align:center;" | 0.000
| style="text-align:center;" | 0.000
| style="text-align:center;" | 0.000
| style="text-align:center;" | 0.000
| style="text-align:center;" | 同度
| style="text-align:center;" | 同度，ユニゾン
| style="text-align:center;" | 1/1
| style="text-align:center;" | 1/1
| style="text-align:center;" | 0.000
| style="text-align:center;" | 0.000
51行目: 69行目:
| style="text-align:center;" | 38.710
| style="text-align:center;" | 38.710
| style="text-align:center;" | 11.613
| style="text-align:center;" | 11.613
| style="text-align:center;" | 半増1度
| style="text-align:center;" | 長1度，ディエシス，
減2度
| style="text-align:center;" | 49/48 <br>45/44
| style="text-align:center;" | 49/48 <br>45/44
| style="text-align:center;" | 35.697 <br>38.906
| style="text-align:center;" | 35.697 <br>38.906
59行目: 78行目:
| style="text-align:center;" | 77.419
| style="text-align:center;" | 77.419
| style="text-align:center;" | 23.226
| style="text-align:center;" | 23.226
| style="text-align:center;" | 半音階的半音
| style="text-align:center;" | 半音階的半音，
増1度，
縮2度
| style="text-align:center;" | 25/24 <br>22/21 <br>21/20
| style="text-align:center;" | 25/24 <br>22/21 <br>21/20
| style="text-align:center;" | 70.672 <br>80.537 <br>84.467
| style="text-align:center;" | 70.672 <br>80.537 <br>84.467
67行目: 88行目:
| style="text-align:center;" | 116.129
| style="text-align:center;" | 116.129
| style="text-align:center;" | 34.839
| style="text-align:center;" | 34.839
| style="text-align:center;" | 全音階的半音
| style="text-align:center;" | 全音階的半音，
短2度
| style="text-align:center;" | 16/15 <br>15/14
| style="text-align:center;" | 16/15 <br>15/14
| style="text-align:center;" | 111.731 <br>119.443
| style="text-align:center;" | 111.731 <br>119.443
83行目: 105行目:
| style="text-align:center;" | 193.548
| style="text-align:center;" | 193.548
| style="text-align:center;" | 58.065
| style="text-align:center;" | 58.065
| style="text-align:center;" | 全音
| style="text-align:center;" | 全音，長2度
| style="text-align:center;" | 10/9 <br>9/8
| style="text-align:center;" | 10/9 <br>9/8
| style="text-align:center;" | 182.404 <br>203.910
| style="text-align:center;" | 182.404 <br>203.910
91行目: 113行目:
| style="text-align:center;" | 232.258
| style="text-align:center;" | 232.258
| style="text-align:center;" | 69.677
| style="text-align:center;" | 69.677
| style="text-align:center;" | Supermajor second
| style="text-align:center;" | 拡2度，減3度
| style="text-align:center;" | 8/7
| style="text-align:center;" | 8/7
| style="text-align:center;" | 231.174
| style="text-align:center;" | 231.174
99行目: 121行目:
| style="text-align:center;" | 270.968
| style="text-align:center;" | 270.968
| style="text-align:center;" | 81.290
| style="text-align:center;" | 81.290
| style="text-align:center;" | Subminor third
| style="text-align:center;" | 縮3度，増2度
| style="text-align:center;" | 7/6
| style="text-align:center;" | 7/6
| style="text-align:center;" | 266.871
| style="text-align:center;" | 266.871
131行目: 153行目:
| style="text-align:center;" | 425.806
| style="text-align:center;" | 425.806
| style="text-align:center;" | 127.742
| style="text-align:center;" | 127.742
| style="text-align:center;" | Supermajor third
| style="text-align:center;" | 拡3度，減4度
| style="text-align:center;" | 14/11 <br>9/7
| style="text-align:center;" | 14/11 <br>9/7
| style="text-align:center;" | 417.508 <br>435.084
| style="text-align:center;" | 417.508 <br>435.084
139行目: 161行目:
| style="text-align:center;" | 464.516
| style="text-align:center;" | 464.516
| style="text-align:center;" | 139.355
| style="text-align:center;" | 139.355
| style="text-align:center;" | 半減4度
| style="text-align:center;" | 短4度，増3度
| style="text-align:center;" | 13/10 <br>21/16
| style="text-align:center;" | 13/10 <br>21/16
| style="text-align:center;" | 454.214 <br>470.781
| style="text-align:center;" | 454.214 <br>470.781
155行目: 177行目:
| style="text-align:center;" | 541.935
| style="text-align:center;" | 541.935
| style="text-align:center;" | 162.581
| style="text-align:center;" | 162.581
| style="text-align:center;" | 半増4度
| style="text-align:center;" | 長4度
| style="text-align:center;" | 15/11 <br>11/8
| style="text-align:center;" | 15/11 <br>11/8
| style="text-align:center;" | 536.951 <br>551.318
| style="text-align:center;" | 536.951 <br>551.318
163行目: 185行目:
| style="text-align:center;" | 580.645
| style="text-align:center;" | 580.645
| style="text-align:center;" | 174.194
| style="text-align:center;" | 174.194
| style="text-align:center;" | 狭い三全音
| style="text-align:center;" | 増4度
| style="text-align:center;" | 7/5
| style="text-align:center;" | 7/5
| style="text-align:center;" | 582.512
| style="text-align:center;" | 582.512
171行目: 193行目:
| style="text-align:center;" | 619.355
| style="text-align:center;" | 619.355
| style="text-align:center;" | 185.806
| style="text-align:center;" | 185.806
| style="text-align:center;" | 広い三全音
| style="text-align:center;" | 減5度
| style="text-align:center;" | 10/7
| style="text-align:center;" | 10/7
| style="text-align:center;" | 617.488
| style="text-align:center;" | 617.488
179行目: 201行目:
| style="text-align:center;" | 658.065
| style="text-align:center;" | 658.065
| style="text-align:center;" | 197.419
| style="text-align:center;" | 197.419
| style="text-align:center;" | 半減5度
| style="text-align:center;" | 短5度
| style="text-align:center;" | 16/11 <br>22/15
| style="text-align:center;" | 16/11 <br>22/15
| style="text-align:center;" | 648.682 <br>663.049
| style="text-align:center;" | 648.682 <br>663.049
195行目: 217行目:
| style="text-align:center;" | 735.484
| style="text-align:center;" | 735.484
| style="text-align:center;" | 220.645
| style="text-align:center;" | 220.645
| style="text-align:center;" | 半増5度
| style="text-align:center;" | 長5度，減6度
| style="text-align:center;" | 32/21 <br>20/13
| style="text-align:center;" | 32/21 <br>20/13
| style="text-align:center;" | 729.219 <br>745.786
| style="text-align:center;" | 729.219 <br>745.786
203行目: 225行目:
| style="text-align:center;" | 774.194
| style="text-align:center;" | 774.194
| style="text-align:center;" | 232.258
| style="text-align:center;" | 232.258
| style="text-align:center;" | Subminor sixth
| style="text-align:center;" | 増5度，縮6度
| style="text-align:center;" | 14/9 <br>11/7
| style="text-align:center;" | 14/9 <br>11/7
| style="text-align:center;" | 764.916 <br>782.492
| style="text-align:center;" | 764.916 <br>782.492
235行目: 257行目:
| style="text-align:center;" | 929.032
| style="text-align:center;" | 929.032
| style="text-align:center;" | 278.710
| style="text-align:center;" | 278.710
| style="text-align:center;" | Supermajor sixth
| style="text-align:center;" | 拡6度，減7度
| style="text-align:center;" | 12/7
| style="text-align:center;" | 12/7
| style="text-align:center;" | 933.129
| style="text-align:center;" | 933.129
243行目: 265行目:
| style="text-align:center;" | 967.742
| style="text-align:center;" | 967.742
| style="text-align:center;" | 290.323
| style="text-align:center;" | 290.323
| style="text-align:center;" | Subminor seventh
| style="text-align:center;" | 縮7度，増6度
| style="text-align:center;" | 7/4
| style="text-align:center;" | 7/4
| style="text-align:center;" | 968.826
| style="text-align:center;" | 968.826
275行目: 297行目:
| style="text-align:center;" | 1122.581
| style="text-align:center;" | 1122.581
| style="text-align:center;" | 336.774
| style="text-align:center;" | 336.774
| style="text-align:center;" | 減8度
| style="text-align:center;" | 減8度，拡7度
| style="text-align:center;" | 21/11
| style="text-align:center;" | 21/11
| style="text-align:center;" | 1119.463
| style="text-align:center;" | 1119.463
283行目: 305行目:
| style="text-align:center;" | 1161.290
| style="text-align:center;" | 1161.290
| style="text-align:center;" | 348.387
| style="text-align:center;" | 348.387
| style="text-align:center;" | 半減8度
| style="text-align:center;" | 短8度，増7度
| style="text-align:center;" |  
| style="text-align:center;" |  
| style="text-align:center;" |  
| style="text-align:center;" |  
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