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「パテントヴァル」の版間の差分

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パテントヴァルに加えて検討する価値のあるマッピングが存在する。5リミットの17平均律を考えよう。{{val| 17 27 39 }} がパテントヴァルであり、これは各素数をそれぞれ最近接丸め（再確認、パテントヴァルは純オクターブつまり整数edoを想定する）したものである。しかしこの規制を解除するなら、5/1 の「次に良い近似」を利用できるようになって、我々が気に掛ける協和音全体の被害を軽減できる。言い換えると、39 ステップは 40 ステップよりわずかに素数 5 に近いのだが、これは素朴すぎる選択であって、他の素数との組み合わせで誤差が打ち消されたり強め合ったりする効果を考慮に入れていない。この問題を深く考察すると {{val|17 27 40}} という選択肢が浮かび上がってくる。また {{val| 17 27 39 }} より {{val| 17 27 40 }} を選ぶほかの理由もある; それは異なるコンマをテンパーアウトする。
パテントヴァルに加えて検討する価値のあるマッピングが存在する。5リミットの17平均律を考えよう。{{val| 17 27 39 }} がパテントヴァルであり、これは各素数をそれぞれ最近接丸め（再確認、パテントヴァルは純オクターブつまり整数edoを想定する）したものである。しかしこの規制を解除するなら、5/1 の「次に良い近似」を利用できるようになって、我々が気に掛ける協和音全体の被害を軽減できる。言い換えると、39 ステップは 40 ステップよりわずかに素数 5 に近いのだが、これは素朴すぎる選択であって、他の素数との組み合わせで誤差が打ち消されたり強め合ったりする効果を考慮に入れていない。この問題を深く考察すると {{val|17 27 40}} という選択肢が浮かび上がってくる。また {{val| 17 27 39 }} より {{val| 17 27 40 }} を選ぶほかの理由もある; それは異なるコンマをテンパーアウトする。


{{val| 17 27 40 }} は17.1edoのパテントヴァルつまり一般化パテントヴァルであり、17.1 × log2(5) = 39.705 は 40 に切り上げられる。本質的にそこにはあるジェネレーターの存在があり、そのサイズは　2<sup>1/17.1</sup> である。これには 17、27、40 ステップがそれぞれ素数 2、3、5 の最良近似になるという事実が伴う。これはつまり、我々は素数を真実に一番近いものにしないように「強制」しているわけではないということである（問題にするなら17.1edoのパテントヴァルを17edoで使うことの強制性であろうか）。そうでない（強制している）例が {{val| 17 27 41 }} である。2 を 17 ステップに、かつ 5 を 41 ステップにマップするジェネレーターサイズを見つけることはできるが、それは必ず 3 を 28 ステップにマップするものになる。（ほかの例として、7リミットのkeenanテンペラメントを支持する（同じコンマをテンパーアウトする）平均律である91ddがある。これは72ddよりTE誤差が小さくなるのだがGPVではない。）（可能な組み合わせは右図から容易に読み取れる。）
{{val| 17 27 40 }} は17.1edoのパテントヴァルつまり一般化パテントヴァルであり、17.1 × log2(5) = 39.705 は 40 に切り上げられる。本質的にそこにはあるジェネレーターの存在があり、そのサイズは　2<sup>1/17.1</sup> である。これには 17、27、40 ステップがそれぞれ素数 2、3、5 の最良近似になるという事実が伴う。これはつまり、我々は素数を真実に一番近いものにしないように「強制」しているわけではないということである（問題にするなら17.1edoのパテントヴァルを17edoで使うことの強制性であろうか）。そうでない（強制している）例が {{val| 17 27 41 }} である。2 を 17 ステップに、かつ 5 を 41 ステップにマップするジェネレーターサイズを見つけることはできるが、それは必ず 3 を 28 ステップにマップするものになる。（ほかの例として、7リミットのkeemunテンペラメントを支持する（同じコンマをテンパーアウトする）平均律である91dd（[[ヴァル #Wart notation|wart notation]]）がある。これは72ddよりTE誤差が小さくなるのだがGPVではない。）（可能な組み合わせは右図から容易に読み取れる。<small>がwartsを書くのには情報が足りない図である</small>）


一般化パテントヴァルはまたの名を'''一様写像'''（uniform map）という（そしてパテントヴァルの別名が''integer uniform map''、または''simple map''となる）。
一般化パテントヴァルはまたの名を'''一様写像'''（uniform map）という（そしてパテントヴァルの別名が''integer uniform map''、または''simple map''となる）。
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同様の工程をオクターブ数ではなくセント値を媒介にして行っても同じである。1200*log<sub>2</sub>''p'' セントの素数音程に 1200/''N'' セントのステップがいくつ分で到達するか → (1200*log<sub>2</sub>''p'') / (1200/''N'') となり本質的に ''N'' 倍と同じ計算である。
同様の工程をオクターブ数ではなくセント値を媒介にして行っても同じである。1200*log<sub>2</sub>''p'' セントの素数音程に 1200/''N'' セントのステップがいくつ分で到達するか → (1200*log<sub>2</sub>''p'') / (1200/''N'') となり本質的に ''N'' 倍と同じ計算である。
== 例 ==
=== 12平均律 ===
{{val| 1 1.585 2.322 2.807 3.459 }} を 12 倍すると
{{val| 12 19.020 27.863 33.688 41.513 }} になり、これを四捨五入すると
{{val| 12 19 28 34 42 }} になる。これが12edoの11リミットパテントヴァルである。
=== 31平均律 ===
=== Alternate and expanded example for 31edo ===
上記の通り、ヴァルは素数音程に達するステップ数を {{Val| [2/1] [3/1] [5/1] [7/1] [etc.] }} こういう順番で並べたものである。
定義より、edoに対しては、2/1 に達するためのステップ数は分割数そのものである。31edoなら 31 ステップ。2リミットのパテントヴァルは {{val| 31 }} となる。
3/1 に達するためのステップ数は？ 31edoのステップサイズは 38.70967742 セントである。3/1 は 1901.96 セントである。
1901.955001 cents / 38.70967742 cents/step = 49.13383752 steps.
これはedoなので、0.13383752 ステップといった動きはできない。これは明らかに 49 ステップに近いので 49 ステップが「パテント」な選択である。3リミットのパテントヴァルは {{val| 31 49 }} となる。
以下同様に素数 17 まで繰り返し、17リミットのパテントヴァルとして {{val| 31 49 72 87 107 115 127 }} を得る。
さらにリミットを拡張しようと思ったら追加する素数を考える。上記のヴァルを19リミットにするために 19/1 を考えてみよう。19/1 は 5097.51 セントである。
5097.513016 cents / 38.70967742 cents/step = 131.6857529 steps.
四捨五入すると 132 ステップとなり、19リミットのパテントヴァルは {{Val| 31 49 72 87 107 115 127 132 }} となる。
もちろん {{val| 1 1.585 2.322 2.807 3.459 3.700 4.087 4.248 }} を 31 倍して四捨五入しても同じ結果を得られる。
== Properties ==
{{Main| en:Patent val/Properties }}
（後略）
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