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'''22平均律'''、または'''22音平均律'''（英: 22 equal divisions of the octave, 22 equal temperament, '''22EDO''', '''22ET'''）は、[[レギュラーテンペラメント|レギュラー音律]]の観点から見ると、オクターブを均等な22個のステップに分割した調律システムである。
'''22平均律'''、または'''22音平均律'''（英: 22 equal divisions of the octave, 22 equal temperament, '''22EDO''', '''22ET'''）は、[[レギュラーテンペラメント|レギュラー音律]]の観点から見ると、オクターブを均等な22個のステップに分割した調律システムである。


1ステップあたりの周波数比は2の22乗根 <math>(\sqrt[22]{2})</math> であり、約 54.545 [[セント|¢]] である。{{en仮リンク|9/8|9/8}} と {{en仮リンク|10/9|10/9}} を区別するので、これは{{en仮リンク|ミーントーン|meantone}}システムではない。
1ステップあたりの周波数比は2の22乗根 <math>2^{1/22}</math> であり、約 54.545 [[セント|¢]] である。{{en仮リンク|9/8|9/8}} と {{en仮リンク|10/9|10/9}} を区別するので、これは{{en仮リンク|ミーントーン|meantone}}システムではない。


==理論==
==理論==
===歴史===
===歴史===
オクターブを同じサイズの22のステップに分割するという考えは、19世紀の音楽理論家R.H.M. Bosanquetに由来しているようである。{{en仮リンク|インドの音楽理論|Indian music}}におけるオクターブの22の不均等な分割に触発され、Bosanquetはそのような均等な分割により5-リミットの音楽を許容できる精度で表現できることに注目した。この点については、20世紀に理論家のJosé Würschmidtが続き、彼はこれを[[19平均律]]の次の可能性として指摘した。また、J. Murray Barbourは、調律の歴史に関する古典的な調査書『Tuning and Temperament』の中で、これに続いた。
オクターブを同じサイズの22のステップに分割するという考えは、19世紀の音楽理論家R.H.M. Bosanquetに由来しているようである。{{en仮リンク|インドの音楽理論|Indian music}}におけるオクターブの22の不均等な分割に触発され、Bosanquetは22個への均等な分割により5-リミットの音楽を許容できる精度で表現できることに注目した。この点については、20世紀に理論家のJosé Würschmidtが続き、彼はこれを[[19平均律]]の次の可能性として指摘した。また、J. Murray Barbourは、調律の歴史に関する古典的な調査書『Tuning and Temperament』の中で、これに続いた。


=== 純正音程近似のクオリティの概観 ===
=== 純正音程近似のクオリティの概観 ===
22平均律のシステムは、実際には[[12平均律|12]]と19に次ぐ{{en仮リンク|5-リミット|5-limit}}音程を{{en仮リンク|TE誤差|TE error}} 4 ¢/oct 以内に近似することができる3番目の平均律である。ゼータ積分やゼータギャップ平均律ではないが、少なくとも{{en仮リンク|ゼータピーク平均律|The Riemann zeta function and tuning#Peak edos}}ではある。さらに12や19とは異なり、5-リミットのみならず、[[7-リミット]]、[[11-リミット]]音程をも 3 ¢/oct 以内の誤差で近似できる。[[31平均律]]の方がはるかに優れているが、22平均律でもこれらのリミットの和声を利用できる。実際、22は{{en仮リンク|11-奇数リミット|11-odd-limit}}を[[一貫性|一貫]]して表す最小の等分割である。
22平均律のシステムは、実際には[[12平均律|12]]と19に次ぐ{{en仮リンク|5-リミット|5-limit}}音程を{{en仮リンク|TE誤差|TE error}} 4 ¢/oct 以内に近似することができる3番目の平均律である。ゼータ積分やゼータギャップ平均律ではないが、少なくとも{{en仮リンク|ゼータピーク平均律|The Riemann zeta function and tuning#Peak edos}}ではある。さらに12や19とは異なり、5-リミットのみならず、{{en仮リンク|7-リミット|7-limit}}、{{en仮リンク|11-リミット|11-limit}}音程をも 3 ¢/oct 以内の誤差で近似できる。[[31平均律]]の方がはるかに優れてはいるものの、22平均律でもこれらの高リミットのハーモニーを利用できる。実際、22は{{en仮リンク|11-奇数リミット|11-odd-limit}}を[[一貫性|一貫]]して表す最小の等分割である。


22平均律は12や19とは異なり、{{en仮リンク|ミーントーン|meantone}}システムではない。22という数字があまり馴染みのない音楽領域の探求を可能にし、ある程度強制することも効果の一つであるが、最終的な効果はやはり、（22という数が小さいので）22音ギターなどの適切に設計された楽器を使用したライブパフォーマンスで使用できることであろう。
22平均律は12や19とは異なり、{{en仮リンク|ミーントーン|meantone}}システムではない。22という数字があまり馴染みのない音楽領域の探求を可能にしある程度強制することも効果の一つであるが、最終的な効果はやはり（22という数が小さいので）22音ギターなどの適切に設計された楽器を使用したライブパフォーマンスで使用することが容易いことであろう。


22平均律は、[[11平均律]]の 2.7.9.11.15.17 サブグループに倍音3と5を追加したものとして扱うこともでき、（かなり正確な）2.3.5.7.11.17 サブグループ音律になる。31倍音の近似値は 0.5 ¢ 以内であり、かなり正確であることも注目に値する。また、特に 29/24 などの29倍音を含むいくつかの間隔も近似しており、これも 0.5 ¢ 以内で一致する。これにより、2.3.5.7.11.17.29.31 がもたらされる。
22平均律は、[[11平均律]]の 2.7.9.11.15.17 [[純正律サブグループ|サブグループ]]に倍音3と5を追加したものとして扱うこともでき（かなり正確な）2.3.5.7.11.17 サブグループ音律になる。31倍音の近似値が 0.5 ¢ 以内であり、かなり正確であることも注目に値する。また、特に 29/24 などの29倍音を含むいくつかの間隔も近似しており、これも 0.5 ¢ 以内で一致する。これにより、2.3.5.7.11.17.29.31 がもたらされる。


22平均律は、拡張された「クォーターコンマarchy」に非常に近い。これはテンパーアウトされるコンマがシントニックコンマ({{en仮リンク|81/80|81/80}})である代わりにアルキュタスコンマ({{en仮リンク|64/63|64/63}})である所以外は、{{en仮リンク|クォーターコンマミーントーン|Quarter-comma meantone}}に似たようなチューニングである。このため、ほぼ純粋な7倍音系長3度（{{en仮リンク|9/7|9/7}}）を持つ。
22平均律は、拡張された「クォーターコンマarchy」に非常に近い。これはテンパーアウトされるコンマがシントニックコンマ({{en仮リンク|81/80|81/80}})である代わりにアルキュタスコンマ({{en仮リンク|64/63|64/63}})であるところ以外は、{{en仮リンク|クォーターコンマミーントーン|Quarter-comma meantone}}に似た構造のチューニングである。このため、ほぼ純粋な7倍音系長3度（{{en仮リンク|9/7|9/7}}）を持つ。


=== 素数倍音 ===
=== 素数倍音 ===
23行目: 23行目:


=== 部分集合と上位集合 ===
=== 部分集合と上位集合 ===
22は11で割り切れるため、12平均律が6平均律（全音音階）を演奏できるのと同じように、22平均律楽器は11平均律のあらゆる音楽を演奏できる。11平均律は、旋律的には12平均律（よく知られた 1:2:3 の比率で全音、半音、短3度）に聞こえる点で興味深いが、特に完全5度/4度や5-リミット長3度/短6度がないため、和声的には大きく異なる。同様に、22平均律と[[24平均律]]は、どちらも4分音や短/中/長2度を含むため、旋律的に似ている。しかし、22平均律は24よりもはるかに優れた全体的なハーモニーを提供する。{{en仮リンク|サジタルノーテーション|Sagittal notation}}では、11は22の1つおきの音として記譜できる。
22は11で割り切れるため、12平均律が6平均律（全音音階）を演奏できるのと同じように、22平均律楽器は11平均律のあらゆる音楽を演奏できる。11平均律は、旋律的には12平均律（よく知られた 1:2:3 の比率で全音、半音、短3度）に聞こえる点で興味深いが、特に完全5度/4度や5-リミット長3度/短6度がないため、和声的には大きく異なる。同様に、22平均律と[[24平均律]]は、どちらも4分音や短/中/長2度を含むため、旋律的に似ている。しかし、22平均律は24よりもはるかに優れた全体的なハーモニーを提供する。
 
{{en仮リンク|サジタルノーテーション|Sagittal notation}}では、11は22の1つおきの音として記譜できる。


==音程==
==音程==
198行目: 200行目:


<references />
<references />
==純正音程近似==
=== 15-奇数リミット音程のマッピング ===
{{Q-odd-limit intervals|22}}
[[File:22ed2.svg|250px|thumb|right|alt=alt : Your browser has no SVG support.|22平均律で近似されるいくつかの17-リミット音程]]


==記譜法==
==記譜法==
429行目: 423行目:
| N1
| N1
| C
| C
| ユニゾン
|style="text-align: left;"| ユニゾン
| P1
| P1
| D
| D
| perfect unison
|style="text-align: left;"| perfect unison
| P1
| P1
| D
| D
449行目: 443行目:
| f2
| f2
| C#, δb
| C#, δb
| アップ1度, 短2度
|style="text-align: left;"| アップ1度,<br>短2度
| ^1, m2
| ^1, m2
| ^D, Eb
| ^D, Eb
| comma-wide unison, minor second
|style="text-align: left;"| comma-wide unison, minor second
| K1, m2
| K1, m2
| KD, Eb
| KD, Eb
463行目: 457行目:
| d2
| d2
| Eb
| Eb
| 重増1度, 重減準3度
| 重増1度,<br />重減準3度
| AA1, <br>dds3
| AA1, <br>dds3
| Dx, <br>Fb<sup>3</sup>
| Dx, <br>Fb<sup>3</sup>
| natural 2nd
| 本位2度
| N2
| N2
| δ
| δ
| downaug 1sn, upminor 2nd
|style="text-align: left;"| downaug 1sn, upminor 2nd
| vA1, ^m2
| vA1, ^m2
| vD#, ^Eb
| vD#, ^Eb
| classic minor 2nd
|style="text-align: left;"| classic minor 2nd
| Km2
| Km2
| KEb
| KEb
483行目: 477行目:
| P2
| P2
| E
| E
| dim sub3rd
| 減準3度
| ds3
| ds3
| Fbb
| Fbb
| sharp 2nd, flat 3rd
| 嬰2度,<br>変3度
| s2, f3
| s2, f3
| δ#, Db
| δ#, Db
| aug 1sn, downmajor 2nd
|style="text-align: left;"| aug 1sn, downmajor 2nd
| A1, vM2
| A1, vM2
| D#, vE
| D#, vE
| classic/comma-narrow major 2nd
|style="text-align: left;"| classic/comma-narrow major 2nd
| kM2
| kM2
| kE
| kE
503行目: 497行目:
| A2
| A2
| E#
| E#
| minor sub3rd
| 短準3度
| ms3
| ms3
| Fb
| Fb
| natural 3rd
| 本位3度
| N3
| N3
| D
| D
| major 2nd
|style="text-align: left;"| major 2nd
| M2
| M2
| E
| E
| major 2nd
|style="text-align: left;"| major 2nd
| M2
| M2
| E
| E
523行目: 517行目:
| d3
| d3
| Fb
| Fb
| major sub3rd
| 長準3度
| Ms3
| Ms3
| F
| F
| sharp 3rd
| 嬰3度
| s3
| s3
| D#
| D#
| minor 3rd
|style="text-align: left;"| minor 3rd
| m3
| m3
| F
| F
| minor 3rd
|style="text-align: left;"| minor 3rd
| m3
| m3
| F
| F
543行目: 537行目:
| m3
| m3
| F
| F
| aug sub3rd
| 増準3度
| As3
| As3
| F#
| F#
| flat 4th
| 変4度
| f4
| f4
| εb
| εb
| upminor 3rd
|style="text-align: left;"| upminor 3rd
| ^m3
| ^m3
| ^F
| ^F
| classic minor 3rd
|style="text-align: left;"| classic minor 3rd
| Km3
| Km3
| KF
| KF
563行目: 557行目:
| M3
| M3
| F#
| F#
| double-aug sub3rd, <br>double-dim 4thoid
| 重増準3度,<br />重減擬4度
| AAs3, <br>dd4d
| AAs3, <br>dd4d
| Fx, <br>Gbb
| Fx, <br>Gbb
| natural 4th
| 本位4度
| N4
| N4
| ε
| ε
| downmajor 3rd
|style="text-align: left;"| downmajor 3rd
| vM3
| vM3
| vF#
| vF#
| classic major 3rd
|style="text-align: left;"| classic major 3rd
| kM3
| kM3
| kF#
| kF#
580行目: 574行目:
| s-長3度
| s-長3度
| sM3
| sM3
| 増3度, 減4度
| 増3度,<br>減4度
| A3, d4
| A3, d4
| Fx, Gb
| Fx, Gb
| dim 4thoid
| 減擬4度
| d4d
| d4d
| Gb
| Gb
| sharp 4th, flat 5th
| 嬰4度,<br>変5度
| s4, f5
| s4, f5
| ε#, Eb
| ε#, Eb
| major 3rd
|style="text-align: left;"| major 3rd
| M3
| M3
| F#
| F#
| major 3rd
|style="text-align: left;"| major 3rd
| M3
| M3
| F#
| F#
603行目: 597行目:
| m4
| m4
| G
| G
| perfect 4thoid
| 完全擬4度
| P4d
| P4d
| G
| G
| natural 5th
| 本位5度
| N5
| N5
| E
| E
| perfect 4th
|style="text-align: left;"| perfect 4th
| P4
| P4
| G
| G
| perfect 4th
|style="text-align: left;"| perfect 4th
| P4
| P4
| G
| G
618行目: 612行目:
| 10
| 10
| 545
| 545
| p-長4度, s-減5度
| p-長4度,<br>s-減5度
| pM4, sd5
| pM4, sd5
| 長4度
| 長4度
| M4
| M4
| G#
| G#
| aug 4thoid
| 増擬4度
| A4d
| A4d
| G#
| G#
| sharp 5th, flat 6th
| 嬰5度,<br>変6度
| s5, f6
| s5, f6
| E#, γb
| E#, γb
| up-4th, dim 5th
|style="text-align: left;"| up-4th, dim 5th
| ^4, d5
| ^4, d5
| ^G, Ab
| ^G, Ab
| comma-wide 4th
|style="text-align: left;"| comma-wide 4th
| K4
| K4
| KG
| KG
638行目: 632行目:
| 11
| 11
| 600
| 600
| p-増4度, p-減5度, 半オクターヴ
| p-増4度,<br>p-減5度,<br>半オクターヴ
| A4, HO
| A4, HO
| 増4度, 減5度
| 増4度,<br>減5度
| A4, d5
| A4, d5
| Gx, <br>Abb
| Gx, <br>Abb
| double-aug 4thoid, <br>double-dim 5thoid
| 重増擬4度,<br />重減擬5度
| AA4d, <br>dd5d
| AA4d, <br>dd5d
| Gx, <br>Abb
| Gx, <br>Abb
| natural 6th
| 本位6度
| N6
| N6
| γ
| γ
| downaug 4th, updim 5th
|style="text-align: left;"| downaug 4th, updim 5th
| vA4, ^d5
| vA4, ^d5
| vG#, ^Ab
| vG#, ^Ab
| comma-narrow augmented 4th
|style="text-align: left;"| comma-narrow augmented 4th<br>comma-wide diminished 5th
comma-wide diminished 5th
| kA4<br>Kd5
| kA4
Kd5
| kG#, KAb
| kG#, KAb
|-
|-
| 12
| 12
| 655
| 655
| p-短5度, s-増4度
| p-短5度,<br>s-増4度
| pm5, sA4
| pm5, sA4
| 短5度
| 短5度
| m5
| m5
| Ab
| Ab
| dim 5thoid
| 減擬5度
| d5d
| d5d
| Ab
| Ab
| sharp 6th, flat 7th
| 嬰6度,<br>変7度
| s6, f7
| s6, f7
| γ#, Gb
| γ#, Gb
| aug 4th, down-5th
|style="text-align: left;"| aug 4th, down-5th
| A4, v5
| A4, v5
| G#, vA
| G#, vA
| comma-narrow 5th
|style="text-align: left;"| comma-narrow 5th
| k5
| k5
| kA
| kA
685行目: 677行目:
| M5
| M5
| A
| A
| perfect 5thoid
| 完全擬5度
| P5d
| P5d
| A
| A
| natural 7th
| 本位7度
| N7
| N7
| G
| G
| perfect 5th
|style="text-align: left;"| perfect 5th
| P5
| P5
| A
| A
| perfect 5th
|style="text-align: left;"| perfect 5th
| P5
| P5
| A
| A
702行目: 694行目:
| s-短6度
| s-短6度
| sm6
| sm6
| 増5度, 減6度
| 増5度,<br>減6度
| A5, d6
| A5, d6
| A#, Bbb
| A#, Bbb
| aug 5thoid
| 増擬5度
| A5d
| A5d
| A#
| A#
| sharp 7th
| 嬰7度
| s7
| s7
| G#
| G#
| minor 6th
|style="text-align: left;"| minor 6th
| m6
| m6
| Bb
| Bb
| minor 6th
|style="text-align: left;"| minor 6th
| m6
| m6
| Bb
| Bb
725行目: 717行目:
| m6
| m6
| Bb
| Bb
| double-aug 5thoid, <br>double-dim sub7th
| 重増擬5度,<br>重減準7度
| AA5d, <br>dds7
| AA5d, <br>dds7
| Ax, <br>Cb<sup>3</sup>
| Ax, <br>Cb<sup>3</sup>
| flat 8th
| 変8度
| f8
| f8
| αb
| αb
| upminor 6th
|style="text-align: left;"| upminor 6th
| ^m6
| ^m6
| ^Bb
| ^Bb
| classic minor 6th
|style="text-align: left;"| classic minor 6th
| Km6
| Km6
| KBb
| KBb
745行目: 737行目:
| M6
| M6
| B
| B
| dim sub7th
| 減準7度
| ds7
| ds7
| Cbb
| Cbb
| natural 8th
| 本位8度
| N8
| N8
| α
| α
| downmajor 6th
|style="text-align: left;"| downmajor 6th
| vM6
| vM6
| vB
| vB
| classic major 6th
|style="text-align: left;"| classic major 6th
| kM6
| kM6
| kB
| kB
765行目: 757行目:
| A6
| A6
| B#
| B#
| minor sub7th
| 短準7度
| ms7
| ms7
| Cb
| Cb
| sharp 8th, flat 9th
| 嬰8度,<br>変9度
| s8, f9
| s8, f9
| α#, Ab
| α#, Ab
| major 6th
|style="text-align: left;"| major 6th
| M6
| M6
| B
| B
| major 6th
|style="text-align: left;"| major 6th
| M6
| M6
| B
| B
785行目: 777行目:
| d7
| d7
| Cb
| Cb
| major sub7th
| 長準7度
| Ms7
| Ms7
| C
| C
| natural 9th
| 本位9度
| N9
| N9
| A
| A
| minor 7th
|style="text-align: left;"| minor 7th
| m7
| m7
| C
| C
| minor 7th
|style="text-align: left;"| minor 7th
| m7
| m7
| C
| C
805行目: 797行目:
| P7
| P7
| C
| C
| aug sub7th
| 増準7度
| As7
| As7
| C#
| C#
| sharp 9th, flat 10th
| 嬰9度,<br>変10度
| s9, f10
| s9, f10
| A#, βb
| A#, βb
| upminor 7th, dim 8ve
|style="text-align: left;"| upminor 7th, dim 8ve
| ^m7, d8
| ^m7, d8
| ^C, Db
| ^C, Db
| classic minor 7th
|style="text-align: left;"| classic minor 7th
| Km7
| Km7
| kC
| kC
825行目: 817行目:
| A7
| A7
| C#
| C#
| double-aug sub7th, <br>double-dim octave
| 重増準7度,<br>重減8度
| AAs7, <br>dd8
| AAs7, <br>dd8
| Cx, <br>Dbb
| Cx, <br>Dbb
| natural 10th
| 本位10度
| N10
| N10
| β
| β
| downmajor 7th, updim 8ve
|style="text-align: left;"| downmajor 7th, updim 8ve
| vM7, ^d8
| vM7, ^d8
| vC#, ^Db
| vC#, ^Db
| classic major 7th
|style="text-align: left;"| classic major 7th
| kM7
| kM7
| kC#
| kC#
845行目: 837行目:
| d8
| d8
| Db
| Db
| dim octave
| 減8度
| d8
| d8
| Db
| Db
| sharp 10th
| 嬰10度
| s10
| s10
| β#, Cb
| β#, Cb
| major 7th, down 8ve
|style="text-align: left;"| major 7th, down 8ve
| M7, v8
| M7, v8
| C#, vD
| C#, vD
| major 7th / comma-narrow 8ve
|style="text-align: left;"| major 7th / comma-narrow 8ve
| M7 / k8
| M7 / k8
| C#, kD
| C#, kD
865行目: 857行目:
| P8
| P8
| D
| D
| perfect octave
| オクターヴ
| P8
| P8
| D
| D
| natural 11th
| 本位11度
| N11
| N11
| C
| C
| perfect octave
|style="text-align: left;"| perfect octave
| P8
| P8
| D
| D
| perfect 8ve
|style="text-align: left;"| perfect 8ve
| P8
| P8
| D
| D
|}
|}
==純正音程近似==
=== 15-奇数リミット音程のマッピング ===
{{Q-odd-limit intervals|22}}
[[File:22ed2.svg|250px|thumb|right|alt=alt : Your browser has no SVG support.|22平均律で近似されるいくつかの17-リミット音程]]


==決定づける特徴==
==決定づける特徴==
955行目: 953行目:
=== 一様写像 ===
=== 一様写像 ===
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=== コンマ ===
=== コンマ ===
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