純正律サブグループ

純正律サブグループ、あるいは純正律部分群は、有限個の非負有理数から任意の可逆な乗算によって生成されるアーベル群である。部分群を用いることで、純正音程を構成する方法が得られる。したがって、レギュラーテンペラメントなどの理論に於いては度々重要視される。

定義

どんな群も、部分群の素数限界をpとすると、その最小値のための素数限界群に含まれる。

注意深く純正律部分群を検討するのは、議題の群が、完全な素数限界群ではないときだけである。そのような部分群は、有限な指数と無限の指数の2つで、直感的に話される。その指数は、完全な素数限界群の中で、部分群の関連あるサイズを計算する。たとえば、4と3、2と9、4と6で生成された部分群は、完全なピタゴラスの3限界の中で指数2を持つ。3限界が作る音程の半分は、それらのどれか1つに所属し、そして半分は所属せず、そしてすべての3つの群は異なっている。一方、2と3と7で生成された部分群は、2と3と5と7で生成される完全な7限界群の無限な指数を作る。その指数は、行列式から計算される。行列式を求める行列は生成元のモンゾの列を持つ。

純正律部分群に使用するネーミングシステムの原則は、標準音程リストを部分群の生成元に適用することである。それはまた、リストにおける生成元の数による群の階数を与える。下により興味深い部分群システムを示す。もしシステムによって音階が与えられるなら、それは音階の音で生成された部分群を示す。純正律部分群は生成元の間のドッツのリスト化によって述べられる。ドッツを使うことの目的は、部分群を参照するという事実のフラグ化である。このネーミングの慣習は以下に従事する。

部分群のリスト

7-リミット部分群

2.3.7

これは次のような意味である。7リミット純正律のサブグループの1つである2.3.7は、2と3と7で作られる周波数比を示す。たとえば7:6や14:9、8:7などである。これらは5:4や13:11を含まない。そしてこれが発生する平均律は、5、31、36、135、571平均律である。

• 平均律: 5, 31, 36, 135, 571

• アルキュタスのダイアトニック（Archytas Diatonic）[8/7, 32/27, 4/3, 3/2, 12/7, 16/9, 2/1]

• サッフィー・アッディーンのセプティマル（Safi al-Din Septimal）[8/7, 9/7, 4/3, 32/21, 12/7, 16/9, 2/1]

2.5.7

• 平均律: 6, 25, 31, 171, 239, 379, 410, 789

2.3.7/5

• 平均律: 10, 29, 31, 41, 70, 171, 241, 412

2.5/3.7

• 平均律: 12, 15, 42, 57, 270, 327

2.5.7/3

• 平均律: 9, 31, 40, 50, 81, 90, 171, 261

2.5/3.7/3

• 平均律: 27, 68, 72, 99, 171, 517

2.27/25.7/3

• 平均律: 9

事実上、9平均律と同等で、[27/25, 7/6, 63/50, 49/36, 72/49, 100/63, 12/7, 50/27, 2]によって与えられる7リミットバージョンを持つ。

2.9/5.9/7

• 平均律: 6, 21, 27, 33, 105, 138, 171, 1848, 2019, 2190, 2361, 2532, 2703, 2874, 3045, 3216, 3387, 3558

テレイン・テンペラメント（Terrain temperament）部分群。

11-リミット部分群

2.3.11

• 平均律: 7, 15, 17, 24, 159, 494, 518, 653

• Zalzal, al-Farabi's version [9/8, 27/22, 4/3, 3/2, 18/11, 16/9, 2/1]

2.5.11

• 平均律: 6, 7, 9, 13, 15, 22, 37, 87, 320

2.7.11

• 平均律: 6, 9, 11, 20, 26, 135, 161, 296

2.3.5.11

• 平均律: 7, 15, 22, 31, 65, 72, 87, 270, 342, 407, 494

2.3.7.11

• 平均律: 9, 17, 26, 31, 41, 46, 63, 72, 135

ラドン・テンペラメント（Radon temperament）部分群。プトレマイオスが奮闘したクロマティック（Ptolemy Intense Chromatic）[22/21, 8/7, 4/3, 3/2, 11/7, 12/7, 2/1]から生成される。

Gallery of 2.3.7.11 Subgroup Scalesを参照

2.5.7.11

• 平均律: 6, 15, 31, 35, 37, 109, 618, 960

2.5/3.7/3.11/3

• 平均律: 33, 41, 49, 57, 106, 204, 253

インジウム・テンペラメント（Indium temperament）部分群。

13-リミット部分群

2.3.13

• 平均律: 7, 10, 17, 60, 70, 130, 147, 277, 424

• Mustaqim mode, Ibn Sina [9/8, 39/32, 4/3, 3/2, 13/8, 16/9, 2/1]

2.3.5.13

• 平均律: 15, 19, 34, 53, 87, 130, 140, 246, 270

• Cata, Trinidad, Parizekmicテンペラメント部分群。

2.3.7.13

• 平均律: 10, 26, 27, 36, 77, 94, 104, 130, 234

• Buzurg [14/13, 16/13, 4/3, 56/39, 3/2]

• Safi al-Din tuning [8/7, 16/13, 4/3, 32/21, 64/39, 16/9, 2/1]

• Ibn Sina tuning [14/13, 7/6, 4/3, 3/2, 21/13, 7/4, 2]

2.5.7.13

• 平均律: 7, 10, 17, 27, 37, 84, 121, 400

Huntington temperament部分群。

2.5.7.11.13

• 平均律: 6, 7, 13, 19, 25, 31, 37

Roulette temperament部分群。

2.3.13/5

• 平均律: 5, 9, 14, 19, 24, 29, 53, 82, 111, 140, 251, 362

Barbados temperament 部分群。

2.3.11/5.13/5

• 平均律: 5, 9, 14, 19, 24, 29

Bridgetown temperament部分群。

2.3.11/7.13/7

• 平均律: 5, 7, 12, 17, 29, 46, 75, 196, 271

Pepperoni temperament部分群。

2.7/5.11/5.13/5

• 平均律: 5, 8, 21, 29, 37, 66, 169, 235

Tridec temperament部分群。