リミット

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限界 (音楽)

純正律において、p-リミット または p-素数限界 は、p 以下の素因数のみを持つ分母と分子からなる分数の集合である。

正の有理数 q は、それが p 以下の素数のみを使って素因数分解（次数に負の数も許す）ができるとき、かつその場合に限り、p-リミットに含まれる。数学的にはSmooth number^{[定訳なし]}として知られている。p-リミットであるために素因数 p を含んでいる必要はない。例えば、3/2 は13リミットに含まれる（3以上のすべてのリミットに含まれる）。

（p は通常素数に限定するので最小の場合でも素因数 2 が含まれるので）任意の素数リミットは無限個の音程を含む。考える音程をオクターブの範囲内に限ったとしても、2リミットより大きいリミットは無限個の音程を含む。

部分群としての素数リミット

任意の素数 p について、p-リミットの有理数全体は有限生成アーベル群となる。（有理数全体は自由アーベル群となり、p-リミットはその部分群である。）その群のランク (en) は π(p) となる（πは素数計数関数）。例えば7リミットのランクは 4 であり、素因数 2, 3, 5, 7 によって生成される。

素数リミットは純正律サブグループ（純正律部分群）の一種で、p 以下の素数がもれなくどれでも使えるものをいう。

作曲家と理論家は、そのリミットの全ての音程を使おうとするより、小さい部分集合を使うほうが実用的だと繰り返し気づいてきた。この問題はより大きいリミットではより重大になり、リミット内の全ての音程をリーズナブルに近似できる実用的な音律はどんどん少なくなる。p-リミット内の複数の部分集合を検討するために、ある理論家が p-horizonという用語を提案している。

Harmonic class

素数リミットが p 以下の素数しか使わない（p を使うとは言っていない）のに対し、harmonic class（HC）は p が実際に最大の素因数として含まれる有理数をいう。言い換えると、ある素数リミットに含まれて一つ小さい素数リミットに含まれない全ての音程である。これは群ではない。

• 7/4 はHC7である。7 を最大の素因数として含むからである。
• 5/4 はHC5である。これは7リミットに含まれるがHC7ではない。
• 9/7 はHC7である。9 は 3² であって素因数としては 7 のほうが大きい。
• 1/1 はHC2ではない。素因数 2 すら使っていないので定義によりHC2に含まれない。

この分類は単にリミット内である音程と特定の素数を使っている音程を区別するのに有用である。素数リミットと違って、HCは重なりのないカテゴリーである。

各 p-リミット純正律のページ

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67リミット	71リミット	73リミット	79リミット	83リミット	89リミット

関連項目

• アドリミット (奇数限界)
• Prime minimum
• Wikipedia: Størmer's theorem

外部リンク

• Tonalsoft Encyclopedia | Limit