MOSスケール

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MOS (英: moment of symmetry) は、ピリオド以外の音程がそれぞれ2種類の大きさになる周期的な音階である。

例: 全音階

全音階はMOSスケールの古典的な例である。これは5個の大きなstep(全音)と 2 個の小さなstep(半音)の計7音に分割する。大きなstepを 'L' と、小さなstepを 's' と略記することによって、全音階は5L 2sと短く書ける。長音階の分割の様子を書き下した場合、LLsLLLs となる。他の旋法はこのパターンの転回形である(例えば LsLLsLL は自然短音階である)。MOSスケールの重要な特徴は、1stepは長2度と短2度、2stepは長3度と短3度、3stepは完全4度と増4度、4stepは完全5度と減5度等のように各音程が2種類の大きさになることである。これは旋律的短音階 (LsLLLLs) では成り立たない。ここには5度が完全(3L+1s)と減(2L+2s)と増(4L)の 3 種類ある。このため旋律的短音階はMOSスケールではない。

定義

いくつかの等価な定義がある:

1. Maximum variety 2 (上記のような、音程の種類数のこと)
2. Binary and has a generator (ステップがLとsの2種類で、かつ1本のジェネレーターチェーンですべての音階を渡ること)
3. Binary and distributionally even (ステップがLとsの2種類で、かつなるべく均等にLとsを配置させること)
4. Binary and balanced (任意の k において、 k-ステップの音程である u と v の間の差が 0 または L − s = c であること)
5. Mode of a Christoffel word. (有理数 p/q の傾きによる Christoffel word とは、2次元格子上で (0, 0) から (p, q) までを一意に結ぶ経路であって、x軸とy = p/q*x に挟まれ y = p/q*x のなるべく近くを通る経路である。+x方向の1ステップを'L'に、+y方向の1ステップを's'に読み替えるとステップパターンの表現になる)

それぞれの特徴づけは、ステップの大きさが3種類以上ある状況に一般化すると等価ではなくなる。

歴史と用語

MOSという用語とスケール構成法は、アーブ・ウィルソンによって1975年に発明された。彼の原著論文は Anaphoria.com の Moments of Symmetry にアーカイブされている。Kraig Gradyによる導入 Introduction to Erv Wilson's Moments of Symmetry も参考になる（いずれも英語）。

時には、スケールはピリオドに加え等価音程(equivalence interval)に関連して定義される。等価音程は、ピッチクラスが繰り返しになる音程である（通常はオクターブになる）。MOS上の等価音程はピリオドの整数倍であり、それがピリオドの2回以上の積み重ねであるならそのMOSはMulti-MOSと呼ばれる。等価音程とピリオドが一致するならそのMOSはStrict MOSと呼ばれる。等価音程のことを考えていないMOSはMOSという以上の名前がない。

With a few notable exceptions, Wilson generally focused his attention on MOS with period equal to the equivalence interval. Hence, some people prefer to use the term distributionally even scale, with acronym DE, for the more general class of scales which are MOS with respect to other intervals. MOS/DE scales are also sometimes known as well-formed scales, the term used in the 1989 paper by Norman Carey and David Clampitt. A great deal of interesting work has been done on scales in academic circles extending these ideas. The idea of MOS also includes secondary or bi-level MOS scales which are actually the inspiration of Wilson's concept. They are in a sense the MOS of MOS patterns. This is used to explain the pentatonics used in traditional Japanese music, where the 5 tone cycles are derived from a 7 tone MOS, which are not found in the concept of DE.

As for using MOS scales in practice for making music, the period and equivalence interval are often taken to be the octave, but an additional parameter is required for defining a scale: the step ratio, which is the ratio of the small step (usually denoted s) to the large step (usually denoted L). This is usually written as L/s, however, using s/L has the advantage of avoiding division by zero in the trivial case where s = 0. Different step ratios can produce very varied sounding scales (and very varied corresponding potential temperament interpretations) for a given MOS pattern and period, so it's useful to consider a spectrum of simple step ratios for tunings. The TAMNAMS system has names for both specific ratios and ranges of ratios.

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