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| [[レギュラーテンペラメント]]は単なるピッチの集合以上のものである。[[純正律サブグループ]]からそのピッチ集合の特定の音高に対応付ける''一貫したルール''を持つものである。（「抽象的なレギュラーテンペラメント」は決まった音高の集合ですらない。ピッチは決まっておらず、対応付けるルールが示す構造がテンペラメントを特徴づける。）この一貫したルールは'''マッピング'''と呼ばれている。マッピングは「この純正律の音をこのテンペラメントのどの音で演奏すればいいの？」に答えるものである。答えはその純正律の音の「テンパーされたバージョン」で、それは状況によってかなり近く近似されたりかなり外れて近似されたりする。 | | [[レギュラーテンペラメント]]は単なるピッチの集合以上のものである。[[純正律サブグループ]]からそのピッチ集合の特定の音高に対応付ける''一貫したルール''を持つものである。（「抽象的なレギュラーテンペラメント」は決まった音高の集合ですらない。ピッチは決まっておらず、対応付けるルールが示す構造がテンペラメントを特徴づける。）この一貫したルールは'''マッピング'''と呼ばれている。マッピングは「この純正律の音をこのテンペラメントのどの音で演奏すればいいの？」に答えるものである。答えはその純正律の音の「テンパーされたバージョン」で、それは状況によってかなり近く近似されたりかなり外れて近似されたりする。 |
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| 単純に一番近い（四捨五入的な意味で）音で演奏すればいいんじゃないかと思うかもしれない、しかし、それは（通常）全くレギュラーテンペラメントにならない！ それは一貫した結果を得られない。同じ純正音程が、現れた場所によって異なる音程に対応付けされてしまうのだ。レギュラーテンペラメントのマッピングというのはそれぞれの純正音程を常に''同じ''テンパーされた音程で表現する。結果として、複雑な純正音程はサイズ的に一番近い音程にはならないことが多い。 | | 単純に一番近い（四捨五入的な意味で）音で演奏すればいいんじゃないかと思うかもしれない、しかし、それは（通常）全くレギュラーテンペラメントにならない！ それは一貫した結果を得られない。同じ純正音程が、現れた場所によって異なる音程にされてしまうのだ。レギュラーテンペラメントのマッピングというのはそれぞれの純正音程を常に''同じ''テンパーされた音程で表現する。結果として、複雑な純正音程はサイズ的に一番近い音程にはならないことが多い。 |
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| == A note on mathematical terminology == | | == A note on mathematical terminology == |
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| == Equal temperament mappings == | | == Equal temperament mappings == |
| An equal temperament, also known as a rank-1 temperament (see below for a discussion of rank), is not merely a set of equally spaced pitches. An equal temperament consists of
| | 平均律、つまりランク1テンペラメントは単なる等間隔のピッチではない。平均律は |
| # A JI subgroup that is being represented, such as "5-limit JI", and | | # 表現したい純正律サブグループ、例えば"5リミット純正律" |
| # A mapping that assigns every pitch of this JI subgroup to a note of the equal temperament (which can be represented as an integer). | | # その純正律サブグループの各音高から平均律音高（本質的には整数1個で表せる）へのマッピング |
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| As an example, let's consider the familiar [[12edo]] considered as a 3-limit temperament. For concreteness, let's use A440 as the base note. In this case the JI subgroup is the [[3-limit]], that is, all pitches that form a JI interval with A440 whose prime factorization contains no primes other than 2 and 3. For people familiar with mathematical notation, this can be written as
| | からなる。 |
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| | 例として、3リミットテンペラメントとしての[[12平均律]]を考えよう。具体的に話を進めるために、{{w|A440|A=440Hz}} を基準音とする。この場合純正律サブグループは[[3リミット]]で、つまり、全ての音高がA440から 2 と 3 以外の素因数がない純正音程だけ隔たっている、そういうピッチ集合だということである。数式で書くと |
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| <math>\left\{440\cdot 2^a\cdot 3^b\,\middle|\,a,b\in\mathbb Z\right\}</math> | | <math>\left\{440\cdot 2^a\cdot 3^b\,\middle|\,a,b\in\mathbb Z\right\}</math> |
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| Let's use integers to represent the 12edo notes, so that A440 is note 0, the B♭ above that is 1, the A♭ below it is −1, and so on. Then the mapping is simply expressed by saying that each factor of 2 counts for 12 steps, and each factor of 3 counts for 19 steps (because 3/1, or 1901.955… cents, is approximated as 1900 cents, or 19 steps of 12edo). (If you want a mathematical formula, that means that the above expression is mapped to {{nowrap|12''a'' + 19''b''}}.) So, for example, 1/1 is mapped to note 0, which is exactly A440; 2/1 is mapped to note 12, the A one octave higher; 3/2 is mapped to note 7 (the E above A440); and 3<sup>12</sup>/2<sup>19</sup> (the Pythagorean comma) is mapped to 0, the same note as 1/1.
| | 次は関数の出力側である12edoの音高を表すのに整数を導入する。A440 がノート番号 0、そこから上がった B♭ がノート番号 1、下がった A♭ がノート番号 −1、… するとマッピングは素因数 2 の1個当たり 12 ステップ、素因数 3 の1個当たり 19 ステップ（3/1 は 1901.955… セントだがこれを 1900 セントに丸める）であると表される。数式で書くと<math>12a + 19b</math>となる。よって、A440から 1/1 上がった音（つまりA440）はノート番号 0、A440から（以後省略）2/1 上がった音（以後省略）はノート番号 12、3/2 はノート番号 7、そして3<sup>12</sup>/2<sup>19</sup>（ピタゴラスコンマ）はノート番号 0 （A440から動かない）となる。 |
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| === Contrast with rounding === | | === Contrast with rounding === |
| Now, consider the pitch 3<sup>36</sup>/2<sup>57</sup>. In JI, this pitch is 70.38… cents above A440, so the closest 12edo note to it is B♭. However, if you apply the mapping formula, you see that it is mapped to note 0 (A), not note 1 (B♭). Why is this? The pitch 3<sup>36</sup>/2<sup>57</sup>is three Pythagorean commas above A. If each Pythagorean comma is represented by 0 steps, then since {{nowrap|0 + 0 + 0 {{=}} 0}} the pitch 3<sup>36</sup>/2<sup>57</sup> must be represented by A, even though in JI it's closer to B♭. Mapping it to B♭ would require one of the three Pythagorean commas to be represented by 1 complete step (100 cents)! This illustrates the difference between regular mapping and rounding.
| | 3<sup>36</sup>/2<sup>57</sup> で表されるピッチを考える。純正律では、これはA440から 70.38… セント上がった音であり、12edoの音高ではB♭が一番近い。しかし、上記マッピングを適用するなら、これはノート番号 1（B♭）ではなく 0 （A）にマップされることになる。なぜかといえば、3<sup>36</sup>/2<sup>57</sup> はピタゴラスコンマを3回積み上げたものであり、ピタゴラスコンマが 0 ステップである以上それを3個積んでも0ステップである（3個目だけ1ステップになったりしない; それが線形で一貫だということ）のでやっぱりA440のままでなければならないのである。これがマッピングと四捨五入の違いである。 |
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| === Notation === | | === Notation === |
| In regular temperament theory there is a special notation for this kind of JI mapping. We notate the 3-limit 12edo temperament described above as "{{val| 12 19 }}", because the first prime (2) is mapped to 12 steps, and the second prime (3) is mapped to 19 steps. This mathematical object is known as a "mapping matrix" and it summarizes all the information in the mapping in a very compact form. Since this is an equal temperament, the mapping matrix contains only one row, and since it's a 3-limit temperament, the mapping matrix contains two columns, representing the primes 2 and 3.
| | RTTにおいてこのようなマッピングのための特別な記法がある。上記の3リミット12平均律は {{val| 12 19 }} と書かれる。最初の素数（2）は 12 ステップにマップされ、次の素数（3）は 19 ステップにマップされるという意味である。数学的に言うならこれは "マッピング行列" で、マッピングの情報をとてもコンパクトに表している。これはランク1テンペラメントなのでマッピング行列は1行であり、またこれは3リミットテンペラメントなのでマッピング行列は2列でそれぞれ素数 2 と素数 3 を表している。（ブラ記法で書かれた1行だけのマッピング行列（あるいはマッピング行列の中の行）を[[ヴァル]]と呼ぶ。） |
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| === Many 12edo temperaments === | | === Many 12edo temperaments === |