12平均律
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(convergent)
12平均律(これは明らかにテンペラメントであるので、おそらく12ETという名でよりよく知られている)は、今日、世界でも有力なチューニングである。5リミットハーモニーの響きをもつと強く言える、最小の均等分割(EDO)であり、1/12ピタゴラスコンマ(シントニックコンマのおよそ1/11あるいはスキスマ)ミーントーンとして、ミーントーンを表現するため、この地位を獲得した。
理論
素数倍音
倍音 | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
誤差 | 絶対 (¢) | +0.0 | -2.0 | +13.7 | +31.2 | +48.7 | -40.5 | -5.0 | +2.5 | -28.3 | -29.6 | -45.0 |
相対 (%) | +0.0 | -2.0 | +13.7 | +31.2 | +48.7 | -40.5 | -5.0 | +2.5 | -28.3 | -29.6 | -45.0 | |
ステップ (reduced) |
12 (0) |
19 (7) |
28 (4) |
34 (10) |
42 (6) |
44 (8) |
49 (1) |
51 (3) |
54 (6) |
58 (10) |
59 (11) |
チューニング
12平均律はオクターブを12個に均等に分割し、それはオクターブが拡大または縮小されていない限り正確に100セントである。12平均律は2セントフラットされたとてもよい近似の5度を持っている。長3度は13+2/3セントシャープされており、いくつかの音楽スタイルで十分に機能し、それ以外の音楽スタイルでは機能しない。そして短3度は15+2/3セントフラットされている。ヨーロッパのチューニングがだんだんと12ETに向かって近づいて行ったのはたぶん偶然ではない。12ETの欠陥があまり目立たなくなるように、音楽スタイルが変わったのである。けれども実際の演奏ではしばしば、演奏者によるチューニングの操作により、12ETの欠陥は減少されたことを心にとどめておくべきだ。
不完全な7度(7/4、968.83cent)は、31セントよりも大きくシャープされた音程により「示される」。そして他の四和音より明らかに目立つ。そのような四和音はしばしばドミナントセブンスコードとして機能和声で使われた。このコードの5リミットJIバージョンはおそらく1/1 - 5/4 - 3/2 - 16/9であろう。12ETは表向きには<12 19 28 34|ヴァル(val)を経由して7リミットミーントーンをサポートしているが、この7リミットの範囲における質は、疑いようもなく陳腐なものである。11と13については全く示さないと言えるが、17においては信用でき、19はより一層そうである。それでも、関連するチューニングの正確性はとても高く、12平均律は4番目のゼータインテグラル平均律である(zeta integral edo)。
次のコンマがテンパーアウトされる。ピタゴラスコンマ(3^12/2^19)、シントニックコンマ(81/80)、ディエシス(128/125)、ディアスキスマ(2048/2025)、アルキュタスコンマ(64/63)、7リミットの4分音(36/35)、ジュビリスマ(50/49)、7リミットのセミコンマ(126/125)、7リミットのクレイスマ(225/224)。特定の手法によりそれぞれは12ETの構造に影響を与える。そして問題のコンマを共有するチューニングシステムは、正確にそれらの方法で12ETに近づく。
純正音程近似
純正音程のマッピング
以下の表は、12平均律で15奇数リミット音程がどのように表されるかを示している。素数倍音は太字で、非一貫的な音程は斜体で示す。
セントは12平均律をもとに定義されているので、12平均律の絶対誤差と相対誤差は同じであることに注意。
音程と補音程 | 誤差 (絶対, ¢) | 誤差 (相対, %) |
---|---|---|
1/1, 2/1 | 0.000 | 0.0 |
3/2, 4/3 | 1.955 | 2.0 |
9/8, 16/9 | 3.910 | 3.9 |
13/11, 22/13 | 10.790 | 10.8 |
15/8, 16/15 | 11.731 | 11.7 |
5/4, 8/5 | 13.686 | 13.7 |
5/3, 6/5 | 15.641 | 15.6 |
7/5, 10/7 | 17.488 | 17.5 |
11/7, 14/11 | 17.508 | 17.5 |
9/5, 10/9 | 17.596 | 17.6 |
15/14, 28/15 | 19.443 | 19.4 |
13/7, 14/13 | 28.298 | 28.3 |
7/4, 8/7 | 31.174 | 31.2 |
7/6, 12/7 | 33.129 | 33.1 |
11/10, 20/11 | 34.996 | 35.0 |
9/7, 14/9 | 35.084 | 35.1 |
13/9, 18/13 | 36.618 | 36.6 |
15/11, 22/15 | 36.951 | 37.0 |
13/12, 24/13 | 38.573 | 38.6 |
13/8, 16/13 | 40.528 | 40.5 |
13/10, 20/13 | 45.786 | 45.8 |
11/9, 18/11 | 47.408 | 47.4 |
15/13, 26/15 | 47.741 | 47.7 |
11/8, 16/11 | 48.682 | 48.7 |
11/6, 12/11 | 49.363 | 49.4 |
音程と補音程 | 誤差 (絶対, ¢) | 誤差 (相対, %) |
---|---|---|
1/1, 2/1 | 0.000 | 0.0 |
3/2, 4/3 | 1.955 | 2.0 |
9/8, 16/9 | 3.910 | 3.9 |
15/8, 16/15 | 11.731 | 11.7 |
5/4, 8/5 | 13.686 | 13.7 |
5/3, 6/5 | 15.641 | 15.6 |
7/5, 10/7 | 17.488 | 17.5 |
11/7, 14/11 | 17.508 | 17.5 |
9/5, 10/9 | 17.596 | 17.6 |
15/14, 28/15 | 19.443 | 19.4 |
7/4, 8/7 | 31.174 | 31.2 |
7/6, 12/7 | 33.129 | 33.1 |
11/10, 20/11 | 34.996 | 35.0 |
9/7, 14/9 | 35.084 | 35.1 |
13/9, 18/13 | 36.618 | 36.6 |
15/11, 22/15 | 36.951 | 37.0 |
13/12, 24/13 | 38.573 | 38.6 |
13/8, 16/13 | 40.528 | 40.5 |
11/8, 16/11 | 48.682 | 48.7 |
11/6, 12/11 | 50.637 | 50.6 |
15/13, 26/15 | 52.259 | 52.3 |
11/9, 18/11 | 52.592 | 52.6 |
13/10, 20/13 | 54.214 | 54.2 |
13/7, 14/13 | 71.702 | 71.7 |
13/11, 22/13 | 89.210 | 89.2 |
レギュラー音律の性質
一様写像
最小サイズ | 最大サイズ | Wart記法 | Map |
---|---|---|---|
11.5000 | 11.5767 | 12bbcdddeeeff | ⟨12 18 27 32 40 43] |
11.5767 | 11.6722 | 12bbcdeeeff | ⟨12 18 27 33 40 43] |
11.6722 | 11.7071 | 12cdeeeff | ⟨12 19 27 33 40 43] |
11.7071 | 11.7554 | 12cdeff | ⟨12 19 27 33 41 43] |
11.7554 | 11.8436 | 12cde | ⟨12 19 27 33 41 44] |
11.8436 | 11.9329 | 12de | ⟨12 19 28 33 41 44] |
11.9329 | 11.9962 | 12e | ⟨12 19 28 34 41 44] |
11.9962 | 12.0256 | 12 | ⟨12 19 28 34 42 44] |
12.0256 | 12.2743 | 12f | ⟨12 19 28 34 42 45] |
12.2743 | 12.2853 | 12ccf | ⟨12 19 29 34 42 45] |
12.2853 | 12.2891 | 12cceef | ⟨12 19 29 34 43 45] |
12.2891 | 12.2958 | 12ccddeef | ⟨12 19 29 35 43 45] |
12.2958 | 12.3031 | 12ccddeefff | ⟨12 19 29 35 43 46] |
12.3031 | 12.5000 | 12bccddeefff | ⟨12 20 29 35 43 46] |
ランク2テンペラメント
Periods per octave |
Generator | Temperaments |
---|---|---|
1 | 1\12 | Ripple |
1 | 5\12 | Meantone/dominant |
2 | 1\12 | Srutal/pajara/injera |
3 | 1\12 | Augmented |
4 | 1\12 | Diminished |
6 | 1\12 | Hexe |
12平均律の音程と近似値
「The “neighborhood” of JI」の一覧はこちら(huygens-fokker)を参照のこと。各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は以下のようになる。これはedjirulerを用いて、[number of equal divisions=12, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.2]というパラメータで生成したものである。
EDO | interval | cent | DMS | The "neighborhood" of JI | Japanese name | ratio | diff cent | cent | diff DMS | DMS |
12 | 0 | 0.00 | 0.00 | |||||||
1 | 100.00 | 30.00 | minor diatonic semitone | ダイアトニックの短2度 | 16/15 | -11.73 | 111.73 | -3.52 | 33.52 | |
1 | 100.00 | 30.00 | major diatonic semitone | ダイアトニックの長2度 | 15/14 | -19.44 | 119.44 | -5.83 | 35.83 | |
2 | 200.00 | 60.00 | minor whole tone | 小全音 | 10/9 | 17.60 | 182.40 | 5.28 | 54.72 | |
2 | 200.00 | 60.00 | major whole tone | 大全音 | 9/8 | -3.91 | 203.91 | -1.17 | 61.17 | |
3 | 300.00 | 90.00 | tridecimal minor third | 13リミットの短3度 | 13/11 | 10.79 | 289.21 | 3.24 | 86.76 | |
3 | 300.00 | 90.00 | minor third | 短3度 | 6/5 | -15.64 | 315.64 | -4.69 | 94.69 | |
4 | 400.00 | 120.00 | major third | 長3度 | 5/4 | 13.69 | 386.31 | 4.11 | 115.89 | |
4 | 400.00 | 120.00 | undecimal diminished fourth or major third | 11リミットの減4度または長3度 | 14/11 | -17.51 | 417.51 | -5.25 | 125.25 | |
5 | 500.00 | 150.00 | perfect fourth | 完全4度 | 4/3 | 1.96 | 498.04 | 0.59 | 149.41 | |
6 | 600.00 | 180.00 | septimal or Huygens' tritone, BP fourth | 7リミットまたはホイヘンスの3全音、ボーレン・ピアスの4度 | 7/5 | 17.49 | 582.51 | 5.25 | 174.75 | |
6 | 600.00 | 180.00 | Euler's tritone | レオンハルト・オイラーの3全音 | 10/7 | -17.49 | 617.49 | -5.25 | 185.25 | |
7 | 700.00 | 210.00 | perfect fifth | 完全5度 | 3/2 | -1.96 | 701.96 | -0.59 | 210.59 | |
8 | 800.00 | 240.00 | undecimal augmented fifth | 11リミットの増5度 | 11/7 | 17.51 | 782.49 | 5.25 | 234.75 | |
8 | 800.00 | 240.00 | minor sixth | 短6度 | 8/5 | -13.69 | 813.69 | -4.11 | 244.11 | |
9 | 900.00 | 270.00 | major sixth, BP sixth | 長6度、ボーレン・ピアスの6度 | 5/3 | 15.64 | 884.36 | 4.69 | 265.31 | |
10 | 1000.00 | 300.00 | Pythagorean minor seventh | ピタゴラスの短7度 | 16/9 | 3.91 | 996.09 | 1.17 | 298.83 | |
10 | 1000.00 | 300.00 | just minor seventh, BP seventh | 純正短7度、ボーレン・ピアスの7度 | 9/5 | -17.60 | 1017.60 | -5.28 | 305.28 | |
11 | 1100.00 | 330.00 | classic major seventh | 古典的な長7度 | 15/8 | 11.73 | 1088.27 | 3.52 | 326.48 | |
12 | 1200.00 | 360.00 |
コンマをなだらかにする
12平均律を< 12 19 28 34 42 44 |ヴァルとみなした時、次のリストのコンマをテンパーアウトする。
Comma | Monzo | Value (Cents) | Name 1 | Name 2 | Name 3 |
---|---|---|---|---|---|
531441/524288 | -19 12 > | 23.46 | Pythagorean Comma | ||
648/625 | 3 4 -4 > | 62.57 | Major Diesis | Diminished Comma | |
128/125 | 7 0 -3 > | 41.06 | Diesis | Augmented Comma | |
81/80 | -4 4 -1 > | 21.51 | Syntonic Comma | Didymos Comma | Meantone Comma |
2048/2025 | 11 -4 -2 > | 19.55 | Diaschisma | ||
5201701/5149091 | 26 -12 -3 > | 17.60 | Misty Comma | ||
32805/32768 | -15 8 1 > | 1.95 | Schisma | ||
161 -84 -12 > | 0.02 | Atom | |||
36/35 | 2 2 -1 -1 > | 48.77 | Septimal Quarter Tone | ||
50/49 | 1 0 2 -2 > | 34.98 | Tritonic Diesis | Jubilisma | |
64/63 | 6 -2 0 -1 > | 27.26 | Septimal Comma | Archytas' Comma | Leipziger Komma |
3125/3087 | 0 -2 5 -3 > | 21.18 | Gariboh | ||
126/125 | 1 2 -3 1 > | 13.79 | Septimal Semicomma | Starling Comma | |
4000/3969 | 5 -4 3 -2 > | 13.47 | Octagar | ||
321489/320000 | -9 8 -4 2 > | 8.04 | Varunisma | ||
225/224 | -5 2 2 -1 > | 7.71 | Septimal Kleisma | Marvel Comma | |
3136/3125 | 6 0 -5 2 > | 6.08 | Hemimean | ||
5120/5103 | 10 -6 1 -1 > | 5.76 | Hemifamity | ||
33554432/33480783 | 25 -14 0 -1 > | 3.80 | Garischisma | ||
703125/702464 | -11 2 7 -3 > | 1.63 | Meter | ||
250047/250000 | -4 6 -6 3 > | 0.33 | Landscape Comma | ||
99/98 | -1 2 0 -2 1 > | 17.58 | Mothwellsma | ||
100/99 | 2 -2 2 0 -1 > | 17.40 | Ptolemisma | ||
176/175 | 4 0 -2 -1 1 > | 9.86 | Valinorsma | ||
896/891 | 7 -4 0 1 -1 > | 9.69 | Pentacircle | ||
441/440 | -3 2 -1 2 -1 > | 3.93 | Werckisma | ||
9801/9800 | -3 4 -2 -2 2 > | 0.18 | Kalisma | Gauss' Comma | |
91/90 | -1 -2 -1 1 0 1 > | 19.13 | Superleap |