11平均律
| ← 10平均律 | 11平均律 | 12平均律 → |
(semiconvergent)
11平均律は1200セントのオクターブを11個に均等分割したものであり、最小の音程は約109.09セントである。2、3、5、7平均律に次ぐ5番目の素数平均律である。
12よりも少ないけれど、11平均律のマップはスタンダードキーボードへ簡単にマッピングできる。Ab/G#を無視してマッピングすることを提案する。そしてまた、白鍵にOrgan[7]（Orgone）と呼ばれる音階を配置することから始めることを提案する。（無関係なA♭は22平均律によって生成され、このチューニングはelevenplusとして知られている）
理論
奇数倍音
| 倍音 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | 21 | 23 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 誤差 | 絶対 (¢) | -47.4 | +50.0 | +13.0 | +14.3 | -5.9 | +32.2 | +2.6 | +4.1 | +29.8 | -34.4 | +26.3 |
| 相対 (%) | -43.5 | +45.9 | +11.9 | +13.1 | -5.4 | +29.5 | +2.4 | +3.8 | +27.3 | -31.5 | +24.1 | |
| ステップ (reduced) |
17 (6) |
26 (4) |
31 (9) |
35 (2) |
38 (5) |
41 (8) |
43 (10) |
45 (1) |
47 (3) |
48 (4) |
50 (6) | |
純正音程近似
純正音程のマッピング
以下の表は、11平均律で15奇数リミット音程がどのように表されるかを示している。素数倍音は太字で、非一貫的な音程は斜体で示す。
| 音程と補音程 | 誤差 (絶対, ¢) | 誤差 (相対, %) |
|---|---|---|
| 1/1, 2/1 | 0.000 | 0.0 |
| 9/7, 14/9 | 1.280 | 1.2 |
| 15/8, 16/15 | 2.640 | 2.4 |
| 11/8, 16/11 | 5.863 | 5.4 |
| 15/11, 22/15 | 8.504 | 7.8 |
| 15/14, 28/15 | 10.352 | 9.5 |
| 5/3, 6/5 | 11.631 | 10.7 |
| 7/4, 8/7 | 12.992 | 11.9 |
| 9/8, 16/9 | 14.272 | 13.1 |
| 13/10, 20/13 | 17.850 | 16.4 |
| 13/9, 18/13 | 17.928 | 16.4 |
| 11/7, 14/11 | 18.856 | 17.3 |
| 13/7, 14/13 | 19.207 | 17.6 |
| 11/9, 18/11 | 20.135 | 18.5 |
| 13/12, 24/13 | 29.482 | 27.0 |
| 15/13, 26/15 | 29.559 | 27.1 |
| 13/8, 16/13 | 32.200 | 29.5 |
| 9/5, 10/9 | 35.778 | 32.8 |
| 7/5, 10/7 | 37.058 | 34.0 |
| 13/11, 22/13 | 38.063 | 34.9 |
| 11/6, 12/11 | 41.546 | 38.1 |
| 3/2, 4/3 | 47.410 | 43.5 |
| 7/6, 12/7 | 48.689 | 44.6 |
| 5/4, 8/5 | 50.050 | 45.9 |
| 11/10, 20/11 | 53.178 | 48.7 |
| 音程と補音程 | 誤差 (絶対, ¢) | 誤差 (相対, %) |
|---|---|---|
| 1/1, 2/1 | 0.000 | 0.0 |
| 15/8, 16/15 | 2.640 | 2.4 |
| 11/8, 16/11 | 5.863 | 5.4 |
| 15/11, 22/15 | 8.504 | 7.8 |
| 15/14, 28/15 | 10.352 | 9.5 |
| 7/4, 8/7 | 12.992 | 11.9 |
| 13/10, 20/13 | 17.850 | 16.4 |
| 11/7, 14/11 | 18.856 | 17.3 |
| 13/7, 14/13 | 19.207 | 17.6 |
| 15/13, 26/15 | 29.559 | 27.1 |
| 13/8, 16/13 | 32.200 | 29.5 |
| 7/5, 10/7 | 37.058 | 34.0 |
| 13/11, 22/13 | 38.063 | 34.9 |
| 11/6, 12/11 | 41.546 | 38.1 |
| 3/2, 4/3 | 47.410 | 43.5 |
| 5/4, 8/5 | 50.050 | 45.9 |
| 11/10, 20/11 | 55.913 | 51.3 |
| 7/6, 12/7 | 60.402 | 55.4 |
| 13/12, 24/13 | 79.609 | 73.0 |
| 11/9, 18/11 | 88.956 | 81.5 |
| 9/8, 16/9 | 94.819 | 86.9 |
| 5/3, 6/5 | 97.459 | 89.3 |
| 9/7, 14/9 | 107.811 | 98.8 |
| 13/9, 18/13 | 127.019 | 116.4 |
| 9/5, 10/9 | 144.869 | 132.8 |
チューニング
12平均律と比較して、11平均律の音程は拡大解釈される。
- 1ステップ→109.09セントの「短2度」は、12平均律の100セントで表される短2度と、非常によく似たメロディーやハーモニーの機能を持つ。
- 2ステップ→218.18セントの「長2度」は、12平均律の200セントで表される長2度と似た様相を示す。しかし「長9度」とする場合、協和音にはあまりならない。その反行系である981.82セントは、ブルース調の7度として機能する。7/4から13セントはなれているけれども。
- 3ステップ→327.27セントの「短3度」は、だいぶシャープされ中立3度に近づく。
- 4ステップ→436.36セントの「長3度」は、すっかりシャープされ、5/4（386.31cent）の単純な3度よりも9/7（435.08cent）のスーパーメジャーサードに近くなる。
- 5ステップ→545.45セントの「完全4度」は、全く完全5度のようには聞こえない。そして4/3（498.04cent）の単純な完全4度よりも11/8（551.32cent）のスーパーフォースとしてより簡単に近づく。
サブグループ
11平均律は22平均律とする2*11サブグループサブグループ2.9.15.7.11と同じチューニングを提供する。そしてこのサブグループは22と同じコンマをテンパーアウトする。また、このサブグループは8:9:11:14:15:16コードとそのサブコードの近似値である。エラーは比較的大きいけれども、JIコードの様々な近似コードとともに11を提供する。
11平均律の音程と近似値
11平均律はまた、2.7.9.11.15.17サブグループテンペラメントとして考えられる。その場合は以下のダイアグラムになる。
11edo_approx_2-7-9-11-15-17_2ndsave.png
一方、各周波数比の大きさが15以内で表現される純正音程は以下のようになる。これはedjirulerを用いて、[number of equal divisions=11, interval of equivalence=2, integer limit=14, threshold of JI pitch inclusion=0.2]というパラメータで生成したものである。
| EDO | interval | cent | DMS | The "neighborhood" of JI | Japanese name | ratio | diff cent | cent | diff DMS | DMS |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 11 | 0 | 0.00 | 0.00 | |||||||
| 1 | 109.09 | 32.73 | minor diatonic semitone | ダイアトニックの短2度 | 16/15 | -2.64 | 111.73 | -0.79 | 33.52 | |
| 1 | 109.09 | 32.73 | major diatonic semitone | ダイアトニックの長2度 | 15/14 | -10.35 | 119.44 | -3.11 | 35.83 | |
| 1 | 109.09 | 32.73 | 2/3-tone | 2/3全音 | 14/13 | -19.21 | 128.30 | -5.76 | 38.49 | |
| 2 | 218.18 | 65.45 | major whole tone | 大全音 | 9/8 | 14.27 | 203.91 | 4.28 | 61.17 | |
| 2 | 218.18 | 65.45 | septimal whole tone | 7リミットの全音 | 8/7 | -12.99 | 231.17 | -3.90 | 69.35 | |
| 3 | 327.27 | 98.18 | minor third | 短3度 | 6/5 | 11.63 | 315.64 | 3.49 | 94.69 | |
| 3 | 327.27 | 98.18 | undecimal neutral third | 11リミットの中立3度 | 11/9 | -20.14 | 347.41 | -6.04 | 104.22 | |
| 4 | 436.36 | 130.91 | undecimal diminished fourth or major third | 11リミットの減4度または長3度 | 14/11 | 18.86 | 417.51 | 5.66 | 125.25 | |
| 4 | 436.36 | 130.91 | septimal major third, BP third | 7リミットの長3度、ボーレン・ピアスの3度 | 9/7 | 1.28 | 435.08 | 0.38 | 130.53 | |
| 4 | 436.36 | 130.91 | tridecimal semi-diminished fourth | 13リミットの準減4度 | 13/10 | -17.85 | 454.21 | -5.36 | 136.26 | |
| 5 | 545.45 | 163.64 | undecimal augmented fourth | 11リミットの増4度 | 15/11 | 8.50 | 536.95 | 2.55 | 161.09 | |
| 5 | 545.45 | 163.64 | undecimal semi-augmented fourth | 11リミットの準増5度 | 11/8 | -5.86 | 551.32 | -1.76 | 165.40 | |
| 6 | 654.55 | 196.36 | tridecimal diminished fifth | 13リミットの減5度 | 13/9 | 17.93 | 636.62 | 5.38 | 190.99 | |
| 6 | 654.55 | 196.36 | undecimal semi-diminished fifth | 11リミットの準減5度 | 16/11 | 5.86 | 648.68 | 1.76 | 194.60 | |
| 7 | 763.64 | 229.09 | septimal minor sixth | 7リミットの長6度 | 14/9 | -1.28 | 764.92 | -0.38 | 229.47 | |
| 7 | 763.64 | 229.09 | undecimal augmented fifth | 11リミットの増5度 | 11/7 | -18.86 | 782.49 | -5.66 | 234.75 | |
| 8 | 872.73 | 261.82 | major sixth, BP sixth | 長6度、ボーレン・ピアスの6度 | 5/3 | -11.63 | 884.36 | -3.49 | 265.31 | |
| 9 | 981.82 | 294.55 | harmonic seventh | 第7倍音 | 7/4 | 12.99 | 968.83 | 3.90 | 290.65 | |
| 9 | 981.82 | 294.55 | Pythagorean minor seventh | ピタゴラスの短7度 | 16/9 | -14.27 | 996.09 | -4.28 | 298.83 | |
| 10 | 1090.91 | 327.27 | 16/3-tone | 16/3全音 | 13/7 | 19.21 | 1071.70 | 5.76 | 321.51 | |
| 10 | 1090.91 | 327.27 | classic major seventh | 古典的な長7度 | 15/8 | 2.64 | 1088.27 | 0.79 | 326.48 | |
| 11 | 1200.00 | 360.00 |
11平均律のソルフェージュ
11平均律のソルフェージュシステムは、22平均律のソルフェージュシステムから適用するのが簡単な方法である。クロマティックスケールはしたがって、「do, ra, re, me, mo, fu, su, lo, la, ta, ti, do」と歌う。
| degrees of 11edo | cents value
DMS value |
solfege | ratios* | Sagittal notation | TDW Machine notation |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.00 | do | 1/1 | A | Q\P# |
| 1 | 109.09
32°43'38" |
ra | 15/14, 16/15, 17/16, 18/17 | AII\ or B!!/ | Q#\Rb |
| 2 | 218.18
65°27'16" |
re | 8/7, 9/8, 17/15 | B | R |
| 3 | 327.27
98°10'55" |
me | 6/5, 11/9, 17/14 | C/I or BII\ or D\!!/ | R#\Sb |
| 4 | 436.36
120°54'33" |
mo | 9/7, 14/11, 22/17 | D\! or C/II\ | S |
| 5 | 545.45
163°38'11" |
fu | 11/8, 15/11 | D/I or E\!!/ | S#\Tb |
| 6 | 654.55
196°21'49" |
su | 16/11, 22/15 | E\! or D/II\ | T |
| 7 | 763.64
229°5'27" |
lo | 11/7, 14/9, 17/11 | F | T#\Ub |
| 8 | 872.73
261°49'5" |
la | 5/3, 18/11, 28/17 | FII\ or G!!/ | U |
| 9 | 981.82
294°31'44" |
ta | 7/4, 16/9, 30/17 | G | U#\Pb |
| 10 | 1090.91
327°16'22" |
ti | 15/8, 17/9, 28/15, 32/17 | GII\ or A!!/ | P\Qb |
- 2.7.9.11.15.17サブグループの中で表されるソルフェージュ
MOS音階
11平均律は12平均律よりも音程が少ないけれども、MOS音階の観点から見ると、多くのさまざまなものを提供する。これは11が素数だからである。12は素数ではない。211（11平均律の2ステップ・音程）、311、411、511は11音程すべてが発生するまで、オクターブを繰り返さない音階を生成する。
- 211は2 2 2 2 3を生成する。これはMachine[5]と呼ばれる1L 4sの音階を生成する。そしてMachine[6]（Machine）と呼ばれる2 2 2 2 2 1の5L 1sの音階を生成する。
- 311は3 3 3 2とOrgone[7]と呼ばれる1 2 1 2 1 2 2の4L3s（4L 3s）音階を生成する。
- 411は4 4 3、1 3 1 3 3という3L 2sという音階と、1 1 2 1 1 2 1 2という3L 5sの音階を作る
- 511は5 5 1、1 4 1 4 1という2L 3sという音階と、1 1 3 1 1 3 1という2L 5sの音階を作る。また、1 1 1 2 1 1 1 2 1という2L 7sの音階も作る。
コンマをなだらかにする
11平均律のヴァルを ⟨11 17 26 31 38 41] とみなした時、次のリストのコンマをテンパーアウトする。
| Comma | Monzo | Value (Cents) | Name 1 | Name 2 | Name 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| 135/128 | -7 3 1 > | 92.18 | Major Chroma | Major Limma | Pelogic Comma |
| 9931568/9752117 | -25 7 6 > | 31.57 | Ampersand's Comma | ||
| 1776337/1773750 | -68 18 17 > | 2.52 | Vavoom | ||
| 9859966/9733137 | -10 7 8 -7 > | 22.41 | Blackjackisma | ||
| 1029/1024 | -10 1 0 3 > | 8.43 | Gamelisma | ||
| 225/224 | -5 2 2 -1 > | 7.71 | Septimal Kleisma | Marvel Comma | |
| 16875/16807 | 0 3 4 -5 > | 6.99 | Mirkwai | ||
| 2401/2400 | -5 -1 -2 4 > | 0.72 | Breedsma | ||
| 121/120 | -3 -1 -1 0 2 > | 14.37 | Biyatisma | ||
| 65536/65219 | 16 0 0 -2 -3 > | 8.39 | Orgonisma |
11平均律のインスタントアンサンブル
2011年2月、微分音デザインセミナーの一部のOddmusic U-Cで、7作品のアンサンブルが11平均律で演奏された。楽器はautotuner, cümbüş, electronic keyboard, kalimba, retrofretted guitar, tuned bottles, udderbotである。
11平均律のジン
11平均律のジンがある。私たちが知る限りでは、11平均律は自身のジンを持った初めてのゼンハーモニックチューニングシステムである。11平均律のジン（11edo Zine）を参照のこと。