「ヴァルと調律空間」の版間の差分

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[[ヴァル]] は純正音程を特定のステップ数にマップする。ヴァルを複数使って[[レギュラーテンペラメント]]のマッピングを定義する、つまりテンペラメントを定義することができる。ヴァルは {{val| ''a''1 ''a''2 ''a''3 … ''a''k }} のように書かれ、ここで ''a''1 ''a''2 ''a''3 … は最初の ''k'' 個の素数がマップされるステップ数をそれぞれ表す。これは[[純正律サブグループ]]の基底を対象とする形に一般化できる。基底は線形独立である必要がある。

ランク-''r'' テンペラメントは ''r'' 個のジェネレーターを持ち、''r'' 行のヴァルで定義される。[[リミット|''p''-リミット]]の通常の座標系では、ジェネレーターの組み合わせで最初の ''k'' 個の素数を表現でき、ヴァルの組み合わせが各素数音程の座標（ジェネレーターを基底とする）を示す。例えば、5リミットのランク1テンペラメント（つまり平均律）は、{{val| ''a'' ''b'' ''c'' }} というヴァルで定義され、ここで ''a'' は 2/1 に到達するジェネレーターのステップ数、''b'' は 3/1 に到達するジェネレーターのステップ数、''c'' は 5/1 に到達するジェネレーターのステップ数である。5リミットのランク2テンペラメントは 2 行のヴァルで定義される: {{monzo| {{val| ''a''1 ''b''1 ''c''1 }}, {{val| ''a''2 ''b''2 ''c''2 }} }}。これで、2/1 が二次元座標 (''a''1, ''a''2) ~~、これはモンゾで書かれる場合もある~~: {{monzo| ''a''1 ''a''2 }}、に位置づけられる。同様に 3/1 は {{monzo| ''b''1 ''b''2 }}、5/1 は {{monzo| ''c''1 ''c''2 }} となる。

ランク-''r'' テンペラメントは ''r'' 個のジェネレーターを持ち、''r'' 行のヴァルで定義される。[[リミット|''p''-リミット]]の通常の座標系では、ジェネレーターの組み合わせで最初の ''k'' 個の素数を表現でき、ヴァルの組み合わせが各素数音程の座標（ジェネレーターを基底とする）を示す。例えば、5リミットのランク1テンペラメント（つまり平均律）は、{{val| ''a'' ''b'' ''c'' }} というヴァルで定義され、ここで ''a'' は 2/1 に到達するジェネレーターのステップ数、''b'' は 3/1 に到達するジェネレーターのステップ数、''c'' は 5/1 に到達するジェネレーターのステップ数である。5リミットのランク2テンペラメントは 2 行のヴァルで定義される: {{monzo| {{val| ''a''1 ''b''1 ''c''1 }}, {{val| ''a''2 ''b''2 ''c''2 }} }}。これで、2/1 が二次元座標 (''a''1, ''a''2) 、これはモンゾのように書かれる場合もある: {{monzo| ''a''1 ''a''2 }}、に位置づけられる。同様に 3/1 は {{monzo| ''b''1 ''b''2 }}、5/1 は {{monzo| ''c''1 ''c''2 }} となる。

ミーントーンを例とする。これは 81/80 をテンパーアウトする。ミーントーンは5リミットのランク2テンペラメントと考えられ、2 行からなるマッピング {{monzo|{{val| 1 1 0 }}, {{val| 0 1 4 }}}} で定義される。これで5リミットがミーントーンにどうマップされるかが完全にわかる。2/1 は {{monzo| 1 0 }} にマップされ、2/1 と 1 番目のジェネレーター 1 個が一致していることがわかる。3/1 は {{monzo| 1 1 }} にマップされ、1 番目のジェネレーター 1 個を取り去ると 3/2 と 2 番目のジェネレーター 1 個が一致していることがわかる。5/1 は {{monzo| 0 4 }} にマップされ、3/2 を 4 個積み重ねた 81/64 と 5/1 (つまり 80/64) が一致させられていることがわかる。つまり 81/80 はテンパーアウトされている。このようにマッピングから 2 個のジェネレーターのおおよその大きさ、テンパーアウトされるコンマ、テンペラメントの複雑度（リミット内のすべての素数音程に到達するために必要な音程の数）を求めることができる。以上のように、ヴァルはレギュラーテンペラメントを記述するのにとてもコンパクトで有用な記法である。

ミーントーンを例とする。これは 81/80 をテンパーアウトする。ミーントーンは5リミットのランク2テンペラメントと考えられ、2 行からなるマッピング {{monzo|{{val| 1 1 0 }}, {{val| 0 1 4 }}}} で定義される。これで5リミットがミーントーンにどうマップされるかが完全にわかる。2/1 は {{monzo| 1 0 }} にマップされ、2/1 と 1 番目のジェネレーター 1 個が一致していることがわかる。3/1 は {{monzo| 1 1 }} にマップされ、1 番目のジェネレーター 1 個を取り去ると 3/2 と 2 番目のジェネレーター 1 個が一致していることがわかる。5/1 は {{monzo| 0 4 }} にマップされ、3/2 を 4 個積み重ねた 81/16 と 5/1 (つまり 80/16) が一致させられていることがわかる。つまり 81/80 はテンパーアウトされている。このようにマッピングから 2 個のジェネレーターのおおよその大きさ、テンパーアウトされるコンマ、テンペラメントの複雑度（リミット内のすべての素数音程に到達するために必要な音程の数）を求めることができる。以上のように、ヴァルはレギュラーテンペラメントを記述するのにとてもコンパクトで有用な記法である。

オクターブ等価性を前提とすると、ジェネレーターの一つが 2/1 の場合それに対応するヴァル以外のヴァルが重要である（2/1 に対応するヴァルは、3/1 を 4 個積んだら 5/1 と何オクターブになるか？ 3/2 を 4 個積んだら 5/4 と何オクターブになるか？のようにあまり意味を感じられない部分になる）。ミーントーンの本質的な性質は 2 行目の {{val| 0 1 4 }} が握っている。

=== ~~Definition for mathematicians~~ ===

=== 数学者向け定義 ===

~~The~~ ''p''-~~limit~~ [[~~Monzos and interval space~~|~~monzos~~]] M ~~form a free abelian group, or ℤ~~-~~module, of finite rank~~ π (''p'')~~, which is the number of primes up to and including~~ ''p''~~. The [http://planetmath.org/encyclopedia/DualModule.html dual ℤ-module]~~ M* ~~is [[Wikipedia: Group isomorphism|isomorphic]] to M, but not in a canonical way. Hence it, the group (Z-module) of~~ '''~~vals~~''', is also a free abelian group of rank π (''p''). Just as monzos are often written as [http://mathworld.wolfram.com/Ket.html kets], vals are typically written as [http://mathworld.wolfram.com/Bra.html bras]. Vals are homomorphisms from a subgroup of finite rank of ℚ*~~, the abelian group of the positive rational numbers under multiplication, to the integers~~ ℤ. The number theorist [[Yves Hellegouarch]] seems to have been the first to write about them, under the name "degrees".

''p''-リミットの[[モンゾと音程空間|モンゾ]] M は自由アーベル群、あるいはℤ-加群となる。そのrankは π (''p'') 、つまり ''p'' までの素数の数となる。M の{{w|双対加群}} M* が'''ヴァル'''の群ということになるが、これは M の{{w|群同型}}であり同じrankの自由アーベル群となる。モンゾはケット記法で書かれることが多く、ヴァルはブラ記法で書かれる。個々のヴァルは、ℚ* つまり乗法の下での正の有理数、に対する有限rankの部分群（モンゾ）、から、加法の下での整数 ℤ （ステップ数またはジェネレーターの繰り返し数）、への準同型写像となる。モンゾがケット記法になっていれば普通の内積のように計算できる。 The number theorist [[Yves Hellegouarch]] seems to have been the first to write about them, under the name "degrees".

=== ~~日本語版補足（次元解析方面から）~~ ===

=== 補足（次元解析方面から） ===

~~モンゾのアーベル群の[[Wikipedia:ja:双対]]がヴァルのアーベル群になるということだが、双対についてなじみがない場合は、[[Wikipedia:ja:~~ベクトルの共変性と反変性]] の概要が参考になる。モンゾの各成分は「その素因数の重複度」であるのに対して、ヴァルの各成分は「素因数の重複度 1 ~~あたりのステップ数」となり、重複度に関して逆の次元となっている。~~

モンゾのアーベル群の双対がヴァルのアーベル群になるということだが、双対についてなじみがない場合は、{{w|ベクトルの共変性と反変性}} の概要が参考になる。モンゾの各成分は「その素因数の重複度」であるのに対して、ヴァルの各成分は「素因数の重複度 1 あたりのステップ数」となり、重複度に関して逆の次元となっている。このことから、ヴァルとモンゾの内積を取ることが、モンゾの重複度を入力としてステップ数を出力とする関数（写像）であるとみなせることになる。

== ヴァルとモンゾ ==

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 [[ヴァル]] は純正音程を特定のステップ数にマップする。ヴァルを複数使って[[レギュラーテンペラメント]]のマッピングを定義する、つまりテンペラメントを定義することができる。ヴァルは  {{val| ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> ''a''<sub>3</sub> … ''a''<sub>k</sub> }} のように書かれ、ここで ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> ''a''<sub>3</sub> … は最初の ''k'' 個の素数がマップされるステップ数をそれぞれ表す。これは[[純正律サブグループ]]の基底を対象とする形に一般化できる。基底は線形独立である必要がある。
-ランク-''r'' テンペラメントは ''r'' 個のジェネレーターを持ち、''r'' 行のヴァルで定義される。[[リミット|''p''-リミット]]の通常の座標系では、ジェネレーターの組み合わせで最初の ''k'' 個の素数を表現でき、ヴァルの組み合わせが各素数音程の座標（ジェネレーターを基底とする）を示す。例えば、5リミットのランク1テンペラメント（つまり平均律）は、{{val| ''a'' ''b'' ''c'' }} というヴァルで定義され、ここで ''a'' は 2/1 に到達するジェネレーターのステップ数、''b'' は 3/1 に到達するジェネレーターのステップ数、''c'' は 5/1 に到達するジェネレーターのステップ数である。5リミットのランク2テンペラメントは 2 行のヴァルで定義される: {{monzo| {{val| ''a''<sub>1</sub> ''b''<sub>1</sub> ''c''<sub>1</sub> }}, {{val| ''a''<sub>2</sub> ''b''<sub>2</sub> ''c''<sub>2</sub> }} }}。これで、2/1 が二次元座標 (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>) 、これはモンゾで書かれる場合もある: {{monzo| ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> }}、に位置づけられる。同様に 3/1 は {{monzo| ''b''<sub>1</sub> ''b''<sub>2</sub> }}、5/1 は {{monzo| ''c''<sub>1</sub> ''c''<sub>2</sub> }} となる。
+ランク-''r'' テンペラメントは ''r'' 個のジェネレーターを持ち、''r'' 行のヴァルで定義される。[[リミット|''p''-リミット]]の通常の座標系では、ジェネレーターの組み合わせで最初の ''k'' 個の素数を表現でき、ヴァルの組み合わせが各素数音程の座標（ジェネレーターを基底とする）を示す。例えば、5リミットのランク1テンペラメント（つまり平均律）は、{{val| ''a'' ''b'' ''c'' }} というヴァルで定義され、ここで ''a'' は 2/1 に到達するジェネレーターのステップ数、''b'' は 3/1 に到達するジェネレーターのステップ数、''c'' は 5/1 に到達するジェネレーターのステップ数である。5リミットのランク2テンペラメントは 2 行のヴァルで定義される: {{monzo| {{val| ''a''<sub>1</sub> ''b''<sub>1</sub> ''c''<sub>1</sub> }}, {{val| ''a''<sub>2</sub> ''b''<sub>2</sub> ''c''<sub>2</sub> }} }}。これで、2/1 が二次元座標 (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>) 、これはモンゾのように書かれる場合もある: {{monzo| ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> }}、に位置づけられる。同様に 3/1 は {{monzo| ''b''<sub>1</sub> ''b''<sub>2</sub> }}、5/1 は {{monzo| ''c''<sub>1</sub> ''c''<sub>2</sub> }} となる。
-ミーントーンを例とする。これは 81/80 をテンパーアウトする。ミーントーンは5リミットのランク2テンペラメントと考えられ、2 行からなるマッピング {{monzo|{{val| 1 1 0 }}, {{val| 0 1 4 }}}} で定義される。これで5リミットがミーントーンにどうマップされるかが完全にわかる。2/1 は  {{monzo| 1 0 }} にマップされ、2/1 と 1 番目のジェネレーター 1 個が一致していることがわかる。3/1 は {{monzo| 1 1 }} にマップされ、1 番目のジェネレーター 1 個を取り去ると 3/2 と 2 番目のジェネレーター 1 個が一致していることがわかる。5/1 は {{monzo| 0 4 }} にマップされ、3/2 を 4 個積み重ねた 81/64 と 5/1 (つまり 80/64) が一致させられていることがわかる。つまり 81/80 はテンパーアウトされている。このようにマッピングから 2 個のジェネレーターのおおよその大きさ、テンパーアウトされるコンマ、テンペラメントの複雑度（リミット内のすべての素数音程に到達するために必要な音程の数）を求めることができる。以上のように、ヴァルはレギュラーテンペラメントを記述するのにとてもコンパクトで有用な記法である。
+ミーントーンを例とする。これは 81/80 をテンパーアウトする。ミーントーンは5リミットのランク2テンペラメントと考えられ、2 行からなるマッピング {{monzo|{{val| 1 1 0 }}, {{val| 0 1 4 }}}} で定義される。これで5リミットがミーントーンにどうマップされるかが完全にわかる。2/1 は  {{monzo| 1 0 }} にマップされ、2/1 と 1 番目のジェネレーター 1 個が一致していることがわかる。3/1 は {{monzo| 1 1 }} にマップされ、1 番目のジェネレーター 1 個を取り去ると 3/2 と 2 番目のジェネレーター 1 個が一致していることがわかる。5/1 は {{monzo| 0 4 }} にマップされ、3/2 を 4 個積み重ねた 81/16 と 5/1 (つまり 80/16) が一致させられていることがわかる。つまり 81/80 はテンパーアウトされている。このようにマッピングから 2 個のジェネレーターのおおよその大きさ、テンパーアウトされるコンマ、テンペラメントの複雑度（リミット内のすべての素数音程に到達するために必要な音程の数）を求めることができる。以上のように、ヴァルはレギュラーテンペラメントを記述するのにとてもコンパクトで有用な記法である。
 オクターブ等価性を前提とすると、ジェネレーターの一つが 2/1 の場合それに対応するヴァル以外のヴァルが重要である（2/1 に対応するヴァルは、3/1 を 4 個積んだら 5/1 と何オクターブになるか？ 3/2 を 4 個積んだら 5/4 と何オクターブになるか？ のようにあまり意味を感じられない部分になる）。ミーントーンの本質的な性質は 2 行目の {{val| 0 1 4 }} が握っている。
-=== Definition for mathematicians ===
+=== 数学者向け定義 ===
-The ''p''-limit [[Monzos and interval space|monzos]] M form a free abelian group, or ℤ-module, of finite rank π (''p''), which is the number of primes up to and including ''p''. The [http://planetmath.org/encyclopedia/DualModule.html dual ℤ-module] M* is [[Wikipedia: Group isomorphism|isomorphic]] to M, but not in a canonical way. Hence it, the group (Z-module) of '''vals''', is also a free abelian group of rank π (''p''). Just as monzos are often written as [http://mathworld.wolfram.com/Ket.html kets], vals are typically written as [http://mathworld.wolfram.com/Bra.html bras]. Vals are homomorphisms from a subgroup of finite rank of ℚ*, the abelian group of the positive rational numbers under multiplication, to the integers ℤ. The number theorist [[Yves Hellegouarch]] seems to have been the first to write about them, under the name "degrees".
+''p''-リミットの[[モンゾと音程空間|モンゾ]] M は自由アーベル群、あるいはℤ-加群となる。そのrankは π (''p'') 、つまり ''p'' までの素数の数となる。M の{{w|双対加群}} M* が'''ヴァル'''の群ということになるが、これは M の{{w|群同型}}であり同じrankの自由アーベル群となる。モンゾはケット記法で書かれることが多く、ヴァルはブラ記法で書かれる。個々のヴァルは、ℚ* つまり乗法の下での正の有理数、に対する有限rankの部分群（モンゾ）、から、加法の下での整数 ℤ （ステップ数またはジェネレーターの繰り返し数）、への準同型写像となる。モンゾがケット記法になっていれば普通の内積のように計算できる。 The number theorist [[Yves Hellegouarch]] seems to have been the first to write about them, under the name "degrees".
-=== 日本語版補足（次元解析方面から） ===
+=== 補足（次元解析方面から） ===
-モンゾのアーベル群の[[Wikipedia:ja:双対]]がヴァルのアーベル群になるということだが、双対についてなじみがない場合は、[[Wikipedia:ja:ベクトルの共変性と反変性]] の 概要 が参考になる。モンゾの各成分は「その素因数の重複度」であるのに対して、ヴァルの各成分は「素因数の重複度 1 あたりのステップ数」となり、重複度に関して逆の次元となっている。
+モンゾのアーベル群の双対がヴァルのアーベル群になるということだが、双対についてなじみがない場合は、{{w|ベクトルの共変性と反変性}} の 概要 が参考になる。モンゾの各成分は「その素因数の重複度」であるのに対して、ヴァルの各成分は「素因数の重複度 1 あたりのステップ数」となり、重複度に関して逆の次元となっている。このことから、ヴァルとモンゾの内積を取ることが、モンゾの重複度を入力としてステップ数を出力とする関数（写像）であるとみなせることになる。
 == ヴァルとモンゾ ==