マッピング

レギュラーテンペラメントは単なるピッチの集合以上のものである。純正律サブグループからそのピッチ集合の特定の音高に対応付ける一貫したルールを持つものである。（「抽象的なレギュラーテンペラメント」は決まった音高の集合ですらない。ピッチは決まっておらず、対応付けるルールが示す構造がテンペラメントを特徴づける。）この一貫したルールはマッピングと呼ばれている。マッピングは「この純正律の音をこのテンペラメントのどの音で演奏すればいいの？」に答えるものである。答えはその純正律の音の「テンパーされたバージョン」で、それは状況によってかなり近く近似されたりかなり外れて近似されたりする。

単純に一番近い（四捨五入的な意味で）音で演奏すればいいんじゃないかと思うかもしれない、しかし、それは（通常）全くレギュラーテンペラメントにならない！ それは一貫した結果を得られない。同じ純正音程が、現れた場所によって異なる音程にされてしまうのだ。レギュラーテンペラメントのマッピングというのはそれぞれの純正音程を常に同じテンパーされた音程で表現する。結果として、複雑な純正音程はサイズ的に一番近い音程にはならないことが多い。

A note on mathematical terminology

数学の用語で "mapping"（写像）は "map" や "function"（関数）の同義語であるが、RTTにおいては「マッピング」を線形写像の意味で使う。そして行列の形で取り扱う。

Equal temperament mappings

平均律、つまりランク1テンペラメントは単なる等間隔のピッチではない。平均律は

1. 表現したい純正律サブグループ、例えば"5リミット純正律"
2. その純正律サブグループの各音高から平均律音高（本質的には整数1個で表せる）へのマッピング

からなる。

例として、3リミットテンペラメントとしての12平均律を考えよう。具体的に話を進めるために、A440 を基準音とする。この場合純正律サブグループは3リミットで、つまり、全ての音高がA440から 2 と 3 以外の素因数がない純正音程だけ隔たっている、そういうピッチ集合だということである。数式で書くと

[math]\displaystyle{ \left\{440\cdot 2^a\cdot 3^b\,\middle|\,a,b\in\mathbb Z\right\} }[/math]

次は関数の出力側である12edoの音高を表すのに整数を導入する。A440 がノート番号 0、そこから上がった B♭ がノート番号 1、下がった A♭ がノート番号 −1、… するとマッピングは素因数 2 の1個当たり 12 ステップ、素因数 3 の1個当たり 19 ステップ（3/1 は 1901.955… セントだがこれを 1900 セントに丸める）であると表される。数式で書くと[math]\displaystyle{ 12a + 19b }[/math]となる。よって、A440から 1/1 上がった音（つまりA440）はノート番号 0、A440から（以後省略）2/1 上がった音（以後省略）はノート番号 12、3/2 はノート番号 7、そして3¹²/2¹⁹（ピタゴラスコンマ）はノート番号 0 （A440から動かない）となる。

Contrast with rounding

3³⁶/2⁵⁷ で表されるピッチを考える。純正律では、これはA440から 70.38… セント上がった音であり、12edoの音高ではB♭が一番近い。しかし、上記マッピングを適用するなら、これはノート番号 1（B♭）ではなく 0 （A）にマップされることになる。なぜかといえば、3³⁶/2⁵⁷ はピタゴラスコンマを3回積み上げたものであり、ピタゴラスコンマが 0 ステップである以上それを3個積んでも0ステップである（3個目だけ1ステップになったりしない; それが線形で一貫だということ）のでやっぱりA440のままでなければならないのである。これがマッピングと四捨五入の違いである。

Notation

RTTにおいてこのようなマッピングのための特別な記法がある。上記の3リミット12平均律は ⟨12 19] と書かれる。最初の素数（2）は 12 ステップにマップされ、次の素数（3）は 19 ステップにマップされるという意味である。数学的に言うならこれは "マッピング行列" で、マッピングの情報をとてもコンパクトに表している。これはランク1テンペラメントなのでマッピング行列は1行であり、またこれは3リミットテンペラメントなのでマッピング行列は2列でそれぞれ素数 2 と素数 3 を表している。（ブラ記法で書かれた1行だけのマッピング行列（あるいはマッピング行列の中の行）をヴァルと呼ぶ。）

Many 12edo temperaments

Now, let's consider 12edo, not as a 3-limit temperament, but as a 5-limit temperament. This temperament maps all the 3-limit JI intervals in the same way as above, but in addition also maps the rest of the 5-limit JI intervals. Its mapping matrix is ⟨12 19 28]. It's important to keep in mind that this is, technically speaking, a different regular temperament than ⟨12 19], even though they would both be referred to as "12-tone equal temperament" in common parlance.

Furthermore, consider 12edo as an 11-limit temperament. What is its mapping matrix? It actually depends whether you consider 11/8 a "very sharp D" or a "very flat D♯". This choice results in two different mappings, ⟨12 19 28 34 41] and ⟨12 19 28 34 42]. The latter has a more accurate 11/8, but the former has more accurate versions of other intervals, including 12/11. In the language of regular temperament theory, these are simply two different 11-limit temperaments that both happen to have 12 steps per octave. Phrases like "11-limit 12edo" are thus ambiguous because they don't specify the mapping, and therefore don't refer to a specific temperament.

Strictly speaking, "5-limit 12edo" or even "3-limit 12edo" are also ambiguous, because ⟨12 19 27], for example, is a valid temperament even though it's much less accurate than ⟨12 19 28]. In this temperament 5/4 would be represented as 3 steps of 12edo, or 300 cents. For practical purposes, of course, the ambiguity doesn't appear until higher limits.

Linear temperament mappings

Now let's consider a temperament that does not consist of a single chain of equally spaced notes. For example, consider conventional music notation without enharmonic equivalence. Every note of this system can be expressed as some combination of octaves and perfect fourths. For example:

• E5 = A440 + 1 octave − 1 perfect fourths
• B♭4 = A440 − 3 octaves + 5 perfect fourths
• A♯ = A440 + 4 octaves − 7 perfect fourths

In other words, every note can be represented as an ordered pair of integers (x, y) where x is the number of octaves from A440 (positive is up, negative is down), and y is the number of perfect fourths.